高水平数学教学——到底该教什么？.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高水平数学教学,到底该教什么？,李 祎 福建师范大学,一、数学教师应具备的素质,（一）提高数学素养,（二）掌握教育理论,二、数学教学“教什么”,（一）教学生学“本质”,（二）教学生学“过程”,（三）教学生学“思想”,（四）教学生学“结构”,一、数学教师应具备的素质,庸师：,如同庸医，不仅不能教好学，反而会把学生越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。,教书匠：,知识的搬运工，把自己会的东西简单的搬运给学生，没有智慧，没有思维火花，不会贻误学生一生，但也没有太大发展。,经师,：不仅能教给学生知识和技能，并且能培养学生一定的能力，属于较高水平的教师。,人师,：不仅给学生知识和能力，还能给学生智慧，更能在思想上、人格上影响学生，使学生在获得知识、培养能力的同时，还产生了智慧，形成了健康人格。,深入深出型,，,自己的知识很丰富、很深奥，交给学生的知识也很深奥，学生听得不明所以然。,浅入深出型,，,自己的知识很贫乏，但却要装得很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩。,浅入浅出型，,自己懂得并不多，但能用通俗的语言教给学生，虽说学生不会有太多提高，但能学到一些知识。,深入浅出型，,自己的学问很深，但能把晦涩难懂的知识通俗化，学生听得懂、学得会。,如何做到“深入浅出”呢？,教师的知识结构：,本体性知识，条件性知识，实践性知识，一般文化知识。,数学教师“两手抓，两手硬”：,数学素养与教育理论素养。,数学教学设计的关键：,理解数学与稚化思维。,（一）提高数学素养,1.,提高数学素养的六个维度,（,1,）从微观上对数学知识的准确、深刻理解,（,2,）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握,（,3,）对显性知识背后隐性的思想方法的认识,（,4,）对中小学数学中某些拓展性知识的认知,（,5,）对数学知识“来龙去脉”的过程性把握,（,6,）从高观点对中小学数学的居高临下的认识,通过“追问”提高数学素养：,（,1,）通过追问形成正确认识,指数函数中为什么要规定,a0,？,频率的极限是概率吗？,（,2,）通过追问获得深层理解,为什么,0,不能做除数？为什么先乘除后加减？,（,3,）通过追问拓展学科知识,一元三次方程有求根公式吗？,有等和数列与等积数列吗？是否存在正切定理？,（,4,）通过追问获得较高观点,自然数的个数比偶数的个数多吗？,复数为什么不能比较大小？,2.,理解数学的五个视角,袁隆平,：“我最喜欢外语、地理、化学，最不喜欢数学，因为在学正负数的时候，搞不清为什么负负相乘得正，就去问老师，老师说你记得就是；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还是一样回答，我由此得出结论，,数学不讲道理,，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。,数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？,知名华人数学家、哈佛大学教授,丘成桐,兴冲冲地赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面。结果却让他颇为失望：,“,大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才,。”,数学理解重于形式运算。,（,1,）厘清,“,是什么,”,基本事件是相对的，还是绝对的？,（,2,）追问,“,为什么,”,有了角度制，为什么还要引入弧度制？,（,3,）建构内容联系,三角公式内在联系的建构,（,4,）挖掘思想方法,“,二分法,”,教学中的逼近思想,（,5,）寻求多元表征,直观表征，符号表征,（二）掌握教育理论,1.,建构性数学教学思想,2.,理解性数学教学思想,3.,过程性数学教学思想,4.,启发式数学教学思想,5.,问题式数学教学思想,6.,情境式数学教学思想,7.,主体性数学教学思想,8.,生成性数学教学思想,9.,有效性数学教学思想,教学的本质,教学：,就是“教学生学”。,学生：,学什么,；怎么学。,教师,：“教什么”是指“,教学生学什么,”和“教学生怎么学”。,研究,：“怎样教”是指“怎样教学生学什么”和“怎样教学生怎么学”。,二、数学教学“教什么”,“教什么”始终比“怎么教”重要。,前者关乎教学内容，后者关乎教学形式。教学内容决定教学形式，教学形式服务于教学内容。,先进理念首先关乎教学内容，首先要关注“教什么”。,但在目前，一提到教师培训、业务研讨，想到的都是数学教学理念，数学教学的方法与技巧，而数学学科知识本身则受到冷落。,人们对教学方法研究情有独钟。研究教学导入的艺术，研究指导探究的艺术，研究练习设计的艺术,但却唯独忘了研究那些貌似简单却内涵深刻的中小学数学知识。,从“教什么”的视角来看，数学教师的教学水平的高低，首当其冲地体现在对教学内容的把握上。,低水平的教书匠，只会照本宣科，看到什么就教给学生什么，只是知识的搬运工；,高水平的教师，能透过现象看到本质，在教教材中显性知识的同时，能挖掘出其后的隐性知识，,教到一些别人教不出来的内容,。,这些不易教到的隐性知识是什么呢？概括而言，是,数学的本质、过程、思想和结构,等四个方面。,（一）教学生学“本质”,1.,数学概念的本质,概念是反映事物本质属性的思维产物,.,数学：空间形式和数量关系,.,数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物,.,本质属性：共有性，特有性，整体性。,示例,1,：集合的本质,幼儿园小孩子学集合,示例,2,：复数的本质,复数是,二元数,实数是一元数,.,与把一元的实数看作“单纯的数”相比,二元的复数不仅数量意义,而且还有方向意义,它是一种“,有方向的数,”，“数量加方向”是复数的本质属性。,用几何形式表示,：它的意义是一个向量,其本质特征是向量的长度和方向,;,用三角形式表示,：在,z=,r(cos+isin,),中,r,表示复数向量的长度,表示复数向量的方向,.,用代数形式表示,:,本质属性不是很明显,需要揭示,.,示例,3,：函数概念的本质,数学概念的本质属性，是指一类特定数学对象在,一定范围内,保持不变的性质，而可变的性质则是“非本质属性”。,设,A,、,B,是,非空数集,，如果按照某种确定的,对应关系,f,，使对于集合,A,中的,任意,一个数,x,，在,B,中都有,唯一,确定的数,f,（,x,）和它对应，则称,f,：,AB,为从集合,A,到集合,B,的一个函数,，记作,y=f,（,x,），,xA,.,其中,x,叫做自变量，,x,的取值范围,A,叫做函数的定义域；与,x,的值相对应的,y,值叫做函数值，函数值的集合,f,（,x,）,|,xA,叫做函数的值域。显然，值域是集合,B,的子集,。,“,非空数集,”是否为函数的本质属性？,“,单值对应,”是否为函数的本质属性？,“变量说”的局限性,：,“对应说”的局限性,：,“关系说”定义函数,：积集,的子集,人教版函数定义指暇,：,B,的困惑,函数究竟是什么？,2.,数学结论的本质,（,1,）人为约定的结论,数学知识不是“铁板一块”,示例,4,：集合的“三性”,确定性，无序性，互异性,模糊集，有序集，多重集,示例,5,：指数函数,y=a,x,(a,0,a,1),为什么要规定,a,0,？,（,2,）可以证明的结论,什么是数学结论,:,经常用到,推证不易,形式简单,。,示例,6,：等差数列的求和公式,它有什么作用？,为什么它是成立的？,其他，比如：,等比数列求和公式：,(1-q)(1+q+q,2,+q,n-1,)=1-q,n,绝对值不等式：,理解数学结论：功用，内容，证明，联系。,3.,数学方法的本质,数学中除了一些结论性知识，还有大量的方法性知识，比如运算的方法、度量的方法、变换的方法、论证的方法等。,掌握数学方法的本质，不仅要掌握“怎么做”，即方法运用的程序与步骤，还要掌握“为什么可以这样做”，即数学方法的内涵是什么，不同数学方法使用的条件是什么，适用的范围是什么，数学方法与问题特质具有怎样的关联性。,示例,7,：数的加、减运算,必需抓住计数单位这一本质。,自然数,以“1”,为标准，“,1”,是自然数的单位，所以任何两个自然数都可以直接相加减。,同分母,分数,，因为它们的分数单位相同，所以能直接相加减；异分母分数，因为它们的单位不同，所以要把它们化成相同单位才可以相加减。,小数,的加减运算中，小数点对齐才能相加减。因为只要小数点对齐，相同数位就对齐了，相同计数单位也就同样能相加减了，而不必考虑小数的末位是不是一定对齐。,示例,8,：十字相乘法,不仅适用于二次三项式：,ax,2,+bx+c=(a,1,x+c,1,)(a,2,x+c,2,),将任意代数式分成三项之和：,f(x,)=A+B+C,若,A=,ab,C,=,cd,且,ad+bc,=B,即有下面的十字关系：,则,f(x,)=(,a+c)(b+d,),a,b,c,d,示例,9,：判别式法,对于题目“求 的所有实数根”的求解，当有人在求解中用二次方程之判别式应大于或等于,0,时，即 时，许多人对此提出“更正”。,产生这一错误认识的根本原因，就在于当熟记住了一元二次方程的求根公式之后，许多人忘记了判别式其实是“配方法的结果”，想当然地认为只有对一元二次方程才能使用判别式非负的性质。,省质检,：斜坐标系,示例,10,：点到线面距离公式的推导,点到线的距离公式推导,点到面的距离公式推导,设,n,是平面,的法向量，在,内取一点,B,，则,A,到,的距离：,此外：,过程与结果的辩证关系：,科学意义，教学意义,过程性是追求的目标：,三个层次,过程性作为目标的意义：,本质，方法，能力,过程性的完整含义：,知识的，思维的，活动的,“谁”的过程性：,教师，还是学生？,怎样的该过程性：,结果的，还是过程的？,过程性观下之审视：,预习、作业、备课,（二）教学生学“过程”,1.,过程性中培养数学能力,示例,11,：函数的单调性,单调性教学设计大体从三个层次展开：,首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；,其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量随自变量的增大而增大（或减小）；,最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。,教学的困惑,：从图像上不难获得图像“上升”或“下降”的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？,解释和说明：“上升”“下降”是一种日常语言，用日常语言描述“单调增”“单调减”这样的数学性质是,不够准确的,。,能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果可以的话，又该如何来描述呢？,这时结合图像的特点，即它是,“函数”的图像,，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。,教学的难点,：如何用符号化的数学语言来描述递增的特征，这其中有两个难点：,示例,12,：直线的方向向量与平面的法向量,为什么要提出方向向量与法向量的概念？,如何来刻画直线与平面的方向？,为什么要用方向向量来刻画直线的方向？,为什么要用法向量来刻画平面的方向？,2.,过程性中加强数学理解,示例,13,：导数,为什么要“淡化形式，注重实质”？,导数概念的提出是分析问题与解决问题的过程,导数的本质是瞬时变化率,导数概念的提出是辩证法的成功运用,理解三层次：,其然，所以然，何由以知其所以然,示例,14,：直线的斜率,为什么有了倾斜角已能确定直线方向的前提下，还一定要将其代数化？,变量,(x,，,y),与作为不变量的倾斜角，不能直接建立起关系，还必须将倾斜角代数化，变量,(x,，,y),与不变量,斜率,k,才能建立起关系。,斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性；斜率在研究直线平行与垂直上的作用。,“,率,”,，是指两个相关数的比值，x,变化单位长时，看,y,变化了多少，实质是对,x,和,y,变化的快慢程度的刻画。角越大，倾斜程度越大，该特定比值越大。,教学难点：,建立直线方程的过程，是寻求其不变量,k,，建立变量,(x,，,y),与不变量,k,的数量关系的过程。但这里的不变量是角度，而不是距离。比之圆、椭圆、双曲线、抛物线几种曲线，尽管直线是简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。,为什么要用正切？,首先与“坡度”概念一致。坡面的铅直高度和水平长度的比。（垂直变化率）,其次，不管是锐角变化，还是钝角变化，反映的都是倾斜角越大，斜率越大。,第三，正切值就是直线的变化率，这样，采用正切值与导数保持了一致性。,数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中概括的基本观点。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。,显性的知识,是写在教材上的一条明线，,隐性的思想,是潜藏其中的一条暗线。,“没有过程就等于没有思想”，要让学生在过程中去逐步体会和理解。,（三）教学生学“思想”,米山国藏：,学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。,真正的教育是什么？,1.,一法多用，体现迁移性,示例,15,：各种函数性质的研究,通过图像研究函数的性质,数形结合思想,；,通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质,从特殊到一般的归纳思想,；,区分情况来讨论函数的性质,分类讨论思想,；,通过对比来研究函数性质,类比的思想方法,；,函数性质应用实例,数学模型思想方法,。,例如,:,反比例函数，单调性，指数函数，对数函数,这些思想方法，不依内容而异，呈现出某种相通性。它们看不见、摸不着，只有教师在教学中有意识地使用提示语，才能使数学思想方法显化，从而使思想方法的学习和掌握，从自发走向自觉，从无意识默会走向有意识习得。,常言道“授人以鱼，不如授人以渔”，思想方法之所重要，就在于其可迁移性。,2.,多法归一，体现相通性,示例16,：正弦定理的各种证法,证法,1,：作高法,证法,2,：面积法,证法,3,：外接圆法,证法,4,：角平分线法,问题的关键并不在于方法的多与寡，而更在于能否透过不同解法，挖掘与提炼出更一般的思想方法，即不变量思想和化归转化思想。,多法归一归出的“一”,不变量思想与化归转化思想，就是数学中经常用到的重要数学思想，前者在建立等量关系时用到，而后者是矛盾转化的基本方法。,基础知识,基本技能,基本活动经验,基本思想,数学活动,哲学的视角：,形式与内容；运动与静止；偶然与必然,；,现象与本质,；,原因与结果,；,整体与局部；有限与无限；等。,思维的视角：,观察与实验；类比与猜想；归纳与演绎,；,分析与综合,；,抽象与概括,；,特殊与一般,；,比较与分类,；等。,数学的视角：,1,、全局性的方法：数学模型方法；关系映射反演方法；公理化方法；坐标方法；等。,2,、技巧性的方法：解题策略层面；解题方法层面；解题技巧层面。,高考考试说明：,函数与方程思想；数形结合思想；分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与一般思想；有限与无限思想；必然与或然思想。,数学抽象的思想,派生出的有：,分类的思想；,集合的思想；,数形结合的思想；,变中有不变的思想；,符号表示的思想；,对称的思想；,对应的思想；,有限与无限的思想等。,数学推理的思想,派生出的有：,归纳的思想；,演绎的思想；,公理化思想；,转换与化归的思想；,联想与类比的思想；,逐步逼近的思想；,代换的思想；,特殊与一般的思想等。,数学模型的思想,派生出的有：,简化的思想；,量化的思想；,函数的思想；,方程的思想；,优化的思想；,随机的思想；,抽样统计的思想等。,对内容进行设计时，不能,“,就事论事,”,，仅考虑到这一,“,点,”,知识，这样可能会,“,见木不见林,”,。,在对教材进行分析时，要树立,“,整体观,”,，要从教学系统的,“,宏观视野,”,的显现状况与课堂运行的,“,微型框架,”,两方面进行结构化设计。,学习理论的现代研究表明，组织良好的知识是围绕,核心概念或,“,大观点,”,组织的。,（四）教学生学“结构”,布鲁纳认为，,学习的实质是一个人把同类事物联系起来,，并把它们组织成赋予它们意义的结构。学习就是,认知结构的组织和重新组织,。,知识的学习就是在学生的头脑中形成各学科的知识结构。这种知识结构是由学科知识中的,基本概念、基本思想或基本原理组成的,。,布鲁纳：学习知识就是,学习事物是怎样相互关联的,。,“,不论我们选教什么学科，务必使学生理解各门学科的基本结构,”,。,1.,宏观结构与微观结构,宏观结构,示例,17,：几何结构与代数结构,直观几何：,对平面图形、立体图形的认识；,度量几何：,求长度、角度、面积、体积等问题；,演绎几何：,垂直、平行、全等、相似,运动几何：,如平移、旋转和对称等；,坐标几何。,代数：,数式运算和方程求解。,三种数：,有理数，无理数，复数；,三种式：,整式，分式，根式；,六种运算：,加，减，乘，除，乘方，开方；,四类方程：,整式方程，分式方程，根式方程，方程组。,进一步发展：,未知数更多的方程，次数更高的方程。,从代数式（符号代表数），到方程（符号代表未知数），到函数（符号代表变数）（函数实质是几何的代数化）,微观结构,示例,18,：线面平行的判定定理与性质定理,线面平行判定定理：,平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。,线面平行性质定理：,一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。,更好践行“用教材教，而不是教教材”的理念。,2.,知识结构与方法结构,示例,19,：知识结构,圆与方程,结构,理解,联系,:,新知识结点与其他结点的,连线越多,，该结点的,入口就越多,，经由这些通道进入该结点的机会也就增多；,本质性的联系越多,，准确性越强，这些联系就越紧密和牢固，这样，,经由其他结点激活该节点的可能性越大，,回忆必然越方便越迅速。,示例,20,：方法结构,度量方法,线段,长,多边形周长圆周长（多边形周长的极限值）弧长；,两直线的,夹角,线与面的夹角面与面的夹角,单位正方形,面积,长方形与正方形面积其他多边形面积圆面积（多边形面积的极限值）多面体表面积；,单位正方体,体积,长方体与正方体体积圆柱体积圆锥体积。,逻辑结构,:,定义几何量确定度量单位简化算法,.,3.,纵向联系形成结构,示例,21,：对称性,小学数学：,二年级上“美丽的对称图形”（认识并画出：画一画）；五年级“图形的变换,轴对称”（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量一量，数一数）,初中数学：,初二上“轴对称”（坐标系中研究轴对称的特征和性质）,高中数学：,函数的对称性,奇偶性；方程曲线的对称性,函数图像的对称性：,方程曲线的对称性：,4.,横向联系形成结构,示例,22,：单调性、斜率与导数,(1),单调性：,(2),斜率,直线是线性的，它描述的是均匀变化，是最简单的变化。即直线在某个区间,上的平均变化率,，与直线上任意一点,x,0,的瞬时变化率（导数）,是相同的，都等于这条直线的斜率,k,。,(3),正切,(4),导数,导数是平均变化率的极限，即表示瞬时变化率。其几何意义是切线的斜率。,递增；递减。,融汇贯通的过程，使我们透过繁杂的现象，抓住了本质,，同时简化了记记。,更重要的是接触到一种崭新的认识问题的方法，,把个别的、离散的现象构造成浑然一体的系统。,这标志着能力的提高和素质的发展。以这种提高和发展，去学习、去解题，将与过去不可同日而语。因为,解题的过程的本质，就是以敏锐的观察、分析，去发现和建立已知条件和结论之间的联系。（,等角定理,）,1.,从本科生实习试教谈数学教学中存在的若干问题,数学通讯,，,2010,年第,7,期2.,数学知识不是,“,铁板一块,”,谈数学教师应树立的知识观，,数学通报,，,2011,年第,10,期,3.,学会追问,“,数学,”,数学教师成长的重要阶梯，,数学通讯,，,2011,年第,11,期,4.,提高教师数学素养的,“,六维度,”,，,数学通讯,，,2012,年第,10,期,5.,刍议稚化思维的数学教学策略，,数学通报,，,2013,年第,10,期,6.,函数概念的本质与定义方式探究，,数学教育学报,，,2013,年第,6,期,7.,刍议教师理解数学的几个维度，,数学通报,即将刊出,8.,高水平数学教学,到底该教什么，,数学教育学报,即将刊出,本书内容是作者着眼于数学理解，对数学进行自觉“追问”和反思所取得的成果，目的在于澄清数学中的模糊认识,揭示数学的来龙去脉，洞察数学知识的本质，帮助人们更好地认识数学和理解数学，以克服和解决数学教学中存在的“会而不懂”现象。,全书内容分别从微观和宏观两个层面展开。微观层面依内容和学段的不同，分为“小学数学篇”、“初中数学篇”和“高中数学篇”。宏观层面着眼于内在联系和学科整体，由“学科视野篇”和“思想方法篇”两部分构成。,谢谢！,欢迎交流！,电话：,13459192429,邮箱：,fjsfdxsjxy,