可用数学归纳法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学归纳法,从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“,一,”字。第二天先生又教了个“,二,”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“,三,”字。于是他得了一个结论：“,四,”一定是四横，“,五,”一定是五横，以此类推，,从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“,万百千,”写名字结果可想而知。”,万百千的笑话,犯了不完全归纳法的错误,一二三的写法只是特殊情况，并不是所有的字都是这样写的，他根据这几个特殊字的写法推断出所有的字都这样写就错了。,万百千在学习上犯了什么错误,?,多米诺骨牌和台球的游戏,骨牌倒下用不用一块一块人工推倒？,课题探究,第一，必须推倒,第一块,，,第二,假如,前面一块,倒下，要保证它倒下时会,撞倒下一块,。,想一想,要保证这个游戏成功，必须满足什么,条件,？,人群中的多米诺,像这种由一系列有限的,特殊事例,得出,一般结论,的推理方法，通常叫做,归纳法,。,一、复习与引入,1,、在等差数列 中，已知首项为 ，公差为,d,，,2,、粉笔盒内的粉笔是什么颜色的？,（完全归纳法）,结论：,盒内粉笔都是白色的,（不完全归纳法）,（,1,）不完全归纳法有利于发现问题，但结论,不一定正确。,（,2,）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。,例：,说 明：,由两种归纳法得出的结论一定正确吗？,想 一 想 ：,这种证明方法叫做,（,一）、数学归纳法的定义（原理）,数学归纳法,。,然后假设当 时命题成立，,先证明当,取第一个值 例 时命题成立,并证明当 时命题也成立，,那么就证明了这个命题成立。,因为证明了这一点，就可断定这个命题对于 取,第一个值后面的所有正整数也都成立。,多米诺骨牌游戏原理,数学归纳法证明步骤,(2),假设,n=k,时命题成立，,证明当,n=k+1,时命题也成立,。,（,1,）第一块骨牌倒下。,（,1,）当,n=1,时猜想成立。,（,2,）假设第,k,块倒下时，则相邻的第,k+1,块也倒下。,根据（,1,）和 （,2,），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下。,根据（,1,）和（,2,），可知对所有的自然数,n,，,猜想都成立。,利用相似性,规范二步骤,分析：,综,(1)(2),知命题成立。,即,（,2,）假设当,时命题成立，,即 成立吗？,那么当,时命题成立吗？,（,1,）当,时，,成立吗？,等差数列 的通项公式为 。,例：用数学归纳法证明首项为 ，公差为,的,根据,(,1)(2),知当对任意的 命题成立。,（,1,）当,时，左边 ，右边 ，,证明：,命题成立。,（,2,）假设当 时命题成立，即,那么当,时，,即当 时命题成立。,（依据）,（结论传递性）,（二）、数学归纳法的步骤,根据,(1)(2),知对任意的 时命题成立。,注：,（,1,）,证明当 取第一个值 或 时结论正确,（,2,）,假设当 时结论正,确，并证明当,时结论也正确。,两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了,递推的依据,。,只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个,总的结论,。,（,3,）数学归纳法用来证明与,正整数,有关的命题。,（,1,）,（,2,）,（三）数学归纳法的应用举例,1,3,5,（,2n,1,）,例,1,、用数学归纳法证明,n,2,即当,n,=,k,+1,时等式也成立。,根据（,1,）和（,2,）可知，等式对任何都成立。,证明：,1,3,5,（,2,k,1,）,+2(,k,+1),1,那么当,n,=,k,+1,时,（,2,）假设当,n,k,时，等式成立，即,（,1,）当,n,=1,时，左边,1,，右边,1,，等式成立。,1,3,5,（,2,k,1,）,k,2,+2(,k,+1),1,k,2,2,k,1,k,2,（,k,+1,）,2,（假设）,（利用假设）,练习：,用数学归纳法证明,3,、,1,、,2,、,首项是 ，公比是 的等比数列的通项公式是,三、小结,归纳法：,由特殊到一般,，是数学发现的重要方法。,数学归纳法的,原理,与,科学性,：基础正确；可递推。,数学归纳法的步骤：,两个步骤，一个结论,。,事物,由特殊到一般、由有限到无限。,数学归纳法的,优点,：,可以帮助我们,由简到繁、,认识,四、作业,习题,2.1 1,、（,1,）（,2,）,谢谢光临指导,再见,第二步,第二步,第二步,