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两个变量的线性相关.ppt

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2、网站删除。,在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,,研究人员获得了一组样本数据:,年龄,23,27,39,41,45,49,50,脂肪,9.5,17.8,21.2,25.9,27.5,26.3,28.2,年龄,53,54,56,57,58,60,61,脂肪,29.6,30.2,31.4,30.8,33.5,35.2,34.6,根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间,有怎样的关系?,散点图:,两个变量的,散点图,中点的分布的位置是从左,下角到右上角的区域,即一个变量值由小变大,,另一个变量值也由小变大,我们称这种相关关系,为,正相关,。,二、两个变量的线性相关,思考:1、两个变量成负相关关系时

3、散点图有什么特点?,两个变量的散点图中点的分布的位置是从左上角到右下角的区域,即一个变量值由小变大,而另一个变量值由大变小,我们称这种相关关系为负相关。,2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相关的例子吗,?,3,、,若两个变量散点图呈下图,它们之间是否具有相关关系?,散点图,回归直线:如果散点图中点的分布,从,整体,上看,大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有,线性相关关系,,这条直线就叫做,回归直线。,这条回归直线的方程,简称为回归方程。,方案一:采用测量的方法:先画一条直线,测量出各点到它的距离,然后移动直线,到达一个使距离之和最小的位置,测量出此时直线的斜率和截距,就得到

4、回归方程。,如何具体的求出回归方程?,方案二、在图中选取两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同。,我们应该如何具体的求出这个回归方程呢?,方案三、在散点图中多取几组点,确定几条直线的方程,分别求出各条直线的斜率和截距的平均数,将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。,我们应该如何具体的求出这个回归方程呢?,上述三种方案均有一定的道理,但可靠性不强,我们回到回归直线的,定义,。,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与直线的偏差最小”。,计算回归方程的斜率和截距的一般公式:,其中,,b,是回归方程的斜率,,a,是截距。,最小二乘法的公式的探索过程如下:,设已经得到具有线性

5、相关关系的变量的一组数据:,(,x,1,,y,1,),(x,2,,y,2,),(x,n,,y,n,),设所求的回归直线方程为,Y=bx+a,,其中,a,b,是待定的系数。当变量,x,取,x,1,,x,2,,x,n,时,可以得到,Y,i,=bx,i,+a(i=1,2,n),它与实际收集得到的,y,i,之间偏差是,y,i,-Y,i,=y,i,-(bx,i,+a)(i=1,2,n),(,x1,y1),(,x2,y2),(,xi,yi),yi-Yi,y,x,这样,用这,n,个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。,(y,i,-Y,i,),的最小值,n,i=1,|,y,i,-Y,i,|,

6、的最小值,n,i=1,(y,i,-Y,i,),2,的最小值,n,i=1,Q=(y,1,-bx,1,-a),2,+(y,2,-bx,2,-a),2,+(y,n,-bx,n,-a),2,当,a,b,取什么值时,,Q,的值最小,即总体偏差最小,(x,i,-x)(y,i,-y),n,i=1,b=,(x,i,-x),n,i=1,a=y-bx,问题归结为,:a,b,取什么值时,Q,最小,即总体和最小,.,Q=(y,1,-bx,1,-a),2,+(y,2,-bx,2,-a),2,+(y,n,-bx,n,-a),2,先对,a,配方,再对,b,配方,我们可以用计算机来求,回归方程,。,人体脂肪含量与年龄之间的规

7、律,由此回归直线来反映。,将年龄作为,x,代入上述回归方程,看看得出数值与真实值之间有何关系?,年龄,23,27,39,41,45,49,50,脂肪,9.5,17.8,21.2,25.9,27.5,26.3,28.2,回归值,12.8,15.1,22.0,23.2,25.5,27.8,28.4,年龄,53,54,56,57,58,60,61,脂肪,29.6,30.2,31.4,30.8,33.5,35.2,34.6,回归值,30.1,30.7,31.8,32.4,33.0,34.1,34.7,若某人65岁,可预测他体内脂肪含量在37.1(0.57765-0.448=37.1)附近的可能性比较大

8、但不能说他体内脂肪含量一定是37.1。,例、假设关于某设备的使用年限,x(,年)和所支出的维修费用,y(,万元),有如下的统计资料:,使用年限,x(,年)2 3 4 5 6,维修费用,y(,万元)2.2 3.8 5.5 6.5 7.0,若资料知,y,x,呈,线性相关关系,,试求:,(1)线性回归方程,Y=bx+a,的回归系数,a、b;,(2),估计使用年限为10年时,维修费用是多少?,i,解:,(1)于是有,b=(112.3-5*4*5)/(90-5*42)=1.23,a=5-1.23*4=0.08,(2),回归方程,为,Y=1.23x+0.08,,当,x=10,时,,Y=12.38 (,万

9、元),即估计使用10年时维护费用是12.38万元。,小结,1.,求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行:,第一步,计算平均数,第二步,求和,第三步,计算,第四步,写出回归方程,2.,回归方程被样本数据惟一确定,各样本点大致分布在回归直线附近,.,对同一个总体,不同的样本数据对应不同的回归直线,所以回归直线也具有随机性,.,3.,对于任意一组样本数据,利用上述公式都可求得“回归方程”,如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在回归直线,那么所得的“回归方程”是没有实际意义的,.,因此,对一组样本数据,应先作散点图,在具有线性相关关系的前提下再求回归方程,.,例,1,:有一个同学家开了一个小卖部

10、他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表:,1,、画出散点图;,2,、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律;,3,、求回归方程;,4,、如果某天的气温是,2,摄氏度,预测这天卖出的热饮杯数。,1,、散点图,2,、从图,3-1,看到,各点散布在从左上角到由下角的区域里,因此,气温与热饮销售杯数之间成负相关,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少。,3,、从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此利用公式,1,求出回归方程的系数。,Y=-2.352x+147.767,4,、当,x=2,时,,Y=143.063,因此,某天的气温为,2,摄氏度时,这天大约可以卖出,143,杯热饮。,

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