1、第二课时,/,数列的性质和递推公式,课标要求,学法指导,1.,了解数列递推公式的概念,;,知道递推公式是给出数列的一种方法,.,2.,能根据数列的递推公式写出数列,.,3.,能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大,(,小,),项,.,4.,了解数列的周期性,能解决相关的简单问题,.,1.,数列的递推公式是给出数列的另一重要形式,.,一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系,就可以依次求出数列的各项,.,2.,由于数列可以看作是一类特殊的函数,因此许多函数的性质可以应用到数列中,例如,数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质,.,新课
2、导入,知识探究,题型探究,达标检测,新课导入,实例引领 思维激活,实例,:,(1),有一个小型会议室,共,15,排,第一排有,7,个座位,从第二排起,后一排都比前一排多,2,个座位,(,如图,),那么各排的座位数依次为,:7,9,11,13,15,.,(2),有一只小猴子到桃园里摘了,62,个桃子,.,第一天,小猴子吃掉了桃子的一半,感觉不过瘾,又吃了一个,;,第二天,小猴子又吃掉了所剩桃子的一半,然后又多吃一个,;,第三天仍然这样,依此下去,那么每一天小猴子所剩桃子的个数依次为,:30,14,6,2,0.,想一想,实例中,每个数列的相邻两项,(,或三项,),之间具有什么关系,?,知识探究,自
3、主梳理 思考辨析,1.,数列的函数性质,(1),数列可以看成以,(,或它的有限子集,),为定义域的函数,a,n,=,f(n,),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值,.,(2),在数列,a,n,中,若,a,n+1,a,n,则,a,n,是递增数列,;,若,a,n+1,a,n,则,a,n,为递减数列,;,若,a,n+1,=a,n,则,a,n,为常数列,.,2.,数列的递推公式,如果已知数列,a,n,的第一项,(,或前几项,),且从第二项,(,或某一项,),开始的任一项,a,n,与它的前一项,a,n-1,(,或前几项,)(n2,n,N,*,),间的关系可以用一个公式来表示,那么这
4、个公式就叫做这个数列的递推公式,.,正整数集,N,*,1,2,n,思考,:,数列的通项公式与递推公式有什么区别,?,提示,:,通项公式直接反映,a,n,和,n,之间的关系,即,a,n,是,n,的函数,知道任意一个具体的,n,值,通过通项公式就可以求出该项的值,a,n,;,而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个,(,或多个,),相邻项之间的推导关系,不能由,n,直接得出,a,n,.,题型探究,典例剖析 举一反三,题后反思,根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较,a,n,与,a,n+1,的大小关系,从而判断数列的单调性,若,a,n+1,a,n,恒成立,则,a,n,是递增数列,;,
5、若,a,n+1,a,n,恒成立,则,a,n,是递减数列,.,题型二 求数列的最大,(,小,),项,【,例,2】,已知数列,a,n,的通项公式为,a,n,=n,2,-5n+4.,求,n,为何值时,a,n,有最小值,?,并求出最小值,.,名师导引,:,思路一,:a,n,与,n,之间是什么函数关系,?(a,n,是,n,的二次函数,),二次函数怎样求最值,?(,配方,求出对称轴,),数列中的,n,取值有何特点,?,由此怎样确定最小项,?(n,只能取正整数,因此若对称轴不是正整数,应取离对称轴最近的整数值,),思路二,:,当,a,n,中,a,n,最小时,a,n,应满足什么条件,?(a,n,a,n+1,与
6、a,n,a,n-1,恒成立,),又,n,N,*,故,n=2,或,3,时,a,n,有最小值,其最小值为,a,2,=a,3,=2,2,-52+4=-2.,答案,:,-1,2,题后反思,利用数列的周期性求数列中的项的解题思路,:,先根据递推关系式求出数列的前几项,由此观察发现数列的周期,然后将欲求的项转化为前几项中某一项,从而得到它的值,.,备选例题,解,:,(1)a,1,=0,a,n+1,=a,n,+(2n-1),a,2,=a,1,+(21-1)=0+1=1;,a,3,=a,2,+(22-1)=1+3=4;,a,4,=a,3,+(23-1)=4+5=9;,a,5,=a,4,+(24-1)=9+7
7、16.,故该数列的一个通项公式是,a,n,=(n-1),2,.,达标检测,反馈矫正 及时总结,2.,若数列,a,n,满足,a,n+1,=2a,n,-1,且,a,8,=16,则,a,6,=,.,答案,:,-3,答案,:,4,课堂小结,1.,同数列的通项公式一样,数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一,.,递推公式法与通项公式法统称为公式法,.,2.,判断一个数列的增减性,可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断,即通过判断一个数列,a,n,的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性,.,3.,有关数列的最大、最小项问题均可借助数列的增减性来解决,也常转化为函数的最值问题,.,点击进入课后作业,
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