高数二公式大全.doc

高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：

一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

·正弦定理： ·余弦定理：

·反三角函数性质：

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分的近似计算：

定积分应用相关公式：

空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用

微分法在几何上的应用：
方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法：

重积分及其应用：

柱面坐标和球面坐标：

曲线积分：

曲面积分：

高斯公式：

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

常数项级数：

级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛：

幂级数：

函数展开成幂级数：

一些函数展开成幂级数：

欧拉公式：

三角级数：

傅立叶级数：

周期为的周期函数的傅立叶级数：

微分方程的相关概念：

一阶线性微分方程：

全微分方程：

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)式的通解
两个不相等实根

两个相等实根

一对共轭复根

二阶常系数非齐次线性微分方程

一、原函数与不定积分概念
微积分学主要包含两大内容：微分学与积分学，主要工具是极限思想方法。单元二和单元三就是微分学及其应用。本单元是积分学中的不定积分，是求导数的逆过程。例如，如果已知运动的速度规律： v = v （ t ），要求运动的位移规律 s = s （ t ）；又如，已知函数的变化率为 y = f （ x ），要求原来的函数 y = F （ x ），这都是求不定积分问题。
定义 1 设函数 y = f （ x ）在某个区间上有定义，如果存在函数 y = F （ x ），对于该区间上任一点 x ，使得 F' （ x ） = f （ x ）或 d F （ x ） = f （ x ） dx 成立，则称 F （ x ）是 f （ x ）在该区间上的一个原函数（ primitive function ）。例如
（ 1 ） 上的一个原函数
（ 2 ） 上的一个原函数
（ 3 ） 上的一个原函数
（ 4 ） 上的一个原函数
（ 5 ） 上的一个原函数
一般地说，由于常数的导数为 0 ，如果 F （ x ）是 f （ x ）的一个原函数，那么 F （ x ） + C 也都是 f （ x ）的原函数（其中 C 是任意常数）。因此，如果 f （ x ）有一个原函数 F （ x ），它就有原函数族： F （ x ） +C ，这个原函数族就称为 f （ x ）的不定积分。即
定义 2 如果 F （ x ）是 f （ x ）的一个原函数，则称原函数族 F （ x ） +C 为 f （ x ）的不定积分（ indefinite integral ），记为 ，即
其中 为积分号（ integral sign ）， 为被积表达式（ integrand expression ）， 被积函数（ integrand ）， x 为积分变量（ variable of integration ）。
求不定积的的问题：求出一个原函数，两加上一个任意常数。例如

不定积分的几何意义：由于 中 C 的取值不同，代表了不同的积曲线，且它们均可由 的图像在垂直方向平移而得，是一族“平行”的曲线。

二、不定积分的性质
性质 1 或 ；
或
本性质表明：如果先积分，后求导（或求微分），则两种运算互相抵消。反之，先求导（或求微分），后积分，则二者作用抵消后还需加上积分常数。即是说，积分运算是求导运算（或微分运算）的逆运算。
性质 2 函数的代数和的积分等于各自积分的代数和，即

性质 3 被积函数中的非零常数因子可以提到积号外，即
（其中常数 K ≠ 0 ）
三、基本积分公式 （公式中 C 为积分常数）
(1) （ K是常数）
(2) （常数 a≠1）
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12) 或 =
(13) 或 =

不定积分简单方法
例 1 利用基本公式求不定积分：
(1) (2) (3) (4)
解： (1) 利用公式（ 2 ），这里 a=3 ，

(2) 利用基本公式（ 5 ）

(3) 利用基本公式（ 6 ）

(4) 利用基本公式（ 3 ）

例 2 求
解：利用基本公式和不定积分性质：

注：当积分被子分成代数和来计算时，只在最后求出积分再加上一个任意常数即可。
例 3 求下列不定积分
（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）
解：不能直接利用公式时，可考虑作适当变化，朝可用公式的方向进行
（ 1 ）