1、4/17/2024三、其他未定式三、其他未定式 二、二、型未定式型未定式一、一、型未定式型未定式第二节第二节洛必达法则洛必达法则 4/17/2024微分中值定微分中值定理理函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态函数之商的函数之商的极限极限导数之商的导数之商的极限极限 转转化化(或或 型型)本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则4/17/2024一、一、存在存在(或为或为 )定理定理 1.型未定式型未定式(洛必达法则洛必达法则)【定义定义】这种在一定条件下通过分子分这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则的方法称为洛必达
2、法则.4/17/2024推推论1.定理定理 1 中中换为下列过程换为下列过程之一之一:推论推论 2.若若理理1条条件件,则则条件条件 2)作相应的修改作相应的修改,定理定理 1 仍然成立仍然成立.洛必达法则洛必达法则4/17/2024例例1.求求解解:原式原式注意注意:不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则!洛洛洛洛4/17/2024例例2.求求解解:原原式式 思考思考:如何如何求求(n 为正整为正整数数)?洛洛4/17/2024二、二、型未定式型未定式存在存在(或为或为)定理定理 2.(洛必达法则洛必达法则)4/17/2024说明说明:定定理中理中换为换为之之一一,条件条件 2
3、)作相应的修改作相应的修改,定理定理仍然成立仍然成立.4/17/2024例例3.求求解解:原式原式例例4.求求解解:(1)n 为正整数为正整数的情形的情形.原原式式洛洛洛洛洛洛4/17/2024例例4.求求(2)n 不为正整数不为正整数的情形的情形.从而从而由由(1)用夹逼准则用夹逼准则存在正整数存在正整数 k,使当使当 x 1 时时,4/17/2024例例4.例例3.说明明:1)例例3,例例4 表表明明时时,后者比前者后者比前者趋于趋于更快更快.例如例如,事实事实上上用洛必达法则用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决则不能解决 计算问题
4、计算问题.4/17/20243)若若例如例如,极限不存在极限不存在不能用洛必达法则不能用洛必达法则!即即 4/17/2024三、其他未定式三、其他未定式:解决方解决方法法:通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化例例5.求求解解:原式原式洛洛4/17/2024解解:原原式式例例6.求求通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化洛洛4/17/2024例例7.求求解解:利用利用 例例5通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化4/17/2024例例8.求求解解:注意注意到到原原式式洛洛4/17/2024例例3例例9.求求法法1.直接用洛必达直接用洛必达法
5、则法则.下一步计算很繁下一步计算很繁!法法2.利用例利用例3结结果果.原式原式例例34/17/2024内容小内容小结洛必达法则洛必达法则4/17/2024思考与思考与练习1.设设是未定式极限是未定式极限,如果如果是是否否的极限也不存在的极限也不存在?举举例说明例说明.极限不存在极限不存在,说明说明3)3)原式原式分析分析:说明说明3)4/17/2024分析分析:3.原式原式洛洛4/17/2024则则4.求求解解:令令原式原式洛洛洛洛4/17/2024作作业 P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),*4第三节第三节 4/17/2024洛必达洛必达(1661 1704)
6、法国数学家法国数学家,他著有他著有无穷小分析无穷小分析(1696),并在该书中提出了求未定式极并在该书中提出了求未定式极限的方法限的方法,后人将其命名为后人将其命名为“洛必达法洛必达法的摆线难题的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的以后又解出了伯努利提出的“最速降最速降 线线”问题问题,在他去世后的在他去世后的1720 年出版了他的关于圆年出版了他的关于圆锥曲线的书锥曲线的书.则则”.他在他在15岁时就解决了帕斯卡提出岁时就解决了帕斯卡提出4/17/2024求下列极求下列极限限:解解:备用用题洛洛4/17/2024则则原式原式=解解:令令(用洛必达法则用洛必达法则)(继续用洛必达法则继续用洛必达法则)4/17/2024解解:原式原式=第三节第三节 洛洛
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