高数知识点总结(上册).pdf

高数知识点总结（上册）高数知识点总结（上册）函数：函数：绝对值得性质：绝对值得性质：(1)|a+b|a|+|b|(2)|a-b|a|-|b|(3)|ab|=|a|b|(4)|=ba)0(|bba函数的表示方法：函数的表示方法：（1）表格法（2）图示法（3）公式法（解析法）函数的几种性质：函数的几种性质：（1）函数的有界性 （2）函数的单调性（3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性反函数：反函数：定理：定理：如果函数在区间a,b上是单调的，则它的反函数存在，且是单)(xfy)(1xfy值、单调的。基本初等函数：基本初等函数：（1）幂函数（2）指数函数（3）对数函数（4）三角函数（5）反三角函数复合函数的应用复合函数的应用极限与连续性：极限与连续性：数列的极限：数列的极限：定义：定义：设是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数（不管它多么小），nx总存在正整数 N，使得对于 nN 的一切，不等式都成立，则称数 a 是数列nx axn的极限，或称数列收敛于 a，记做，或（）nx nxaxnnlimaxnn收敛数列的有界性：收敛数列的有界性：定理：定理：如果数列收敛，则数列一定有界 nx nx推论：推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛函数的极限：函数的极限：定义及几何定义函数极限的性质：函数极限的性质：（1）同号性定理同号性定理：如果，而且 A0(或 AN 时，与都存在且)(xf)(x0)(x（3）存在（或为），则极限存在（或为），且)()(limxxfx)()(limxxfx=)()(limxxfx)()(limxxfx未定式未定式1、情形情形ax 如果（1）时，与都趋于无穷大ax)(xf)(x （2）在点 a 的某领域（点 a 可除外）内，与都存在且)(xf)(x0)(x （3）存在（或为），则则极限存在（或为），且)()(limxxfax)()(limxxfax=)()(limxxfax)()(limxxfax2、情形情形x推论：推论：如果（1）时，与都趋于无穷大x)(xf)(x（2）当|x|N 时，与都存在且)(xf)(x0)(x（3）存在（或为），则则极限存在（或为），)()(limxxfax)()(limxxfax且=)()(limxxfax)()(limxxfax注意：注意：1、洛必达法则仅适用于型及型未定式00 2、当不存在时，不能断定不存在，此时不能应用洛必达法则)()(lim)(xxfxax)()(lim)(xxfxax泰勒公式（略）泰勒公式（略）迈克劳林公式（略）迈克劳林公式（略）函数单调性的判别法：函数单调性的判别法：必要条件：必要条件：设函数在上连续，在内具有导数，如果在上单调增)(xfba,ba,)(xfba,加（减少），则在内，（）ba,0)(xf0)(xf充分条件：充分条件：设函数在上连续，在内具有导数，)(xfba,ba,（1）如果在内，则在上单调增加ba,0)(xf)(xfba,（2）如果在内，则在上单调减少ba,0)(xf)(xfba,函数的极值及其求法函数的极值及其求法极值定义（见书 176 页）极值存在的充分必要条件极值存在的充分必要条件必要条件：必要条件：设函数在点处具有导数，且在点处取得极值，则)(xf0 x0 x0)(xf函数的极值点一定是驻点导数不存在也可能成为极值点驻点：使的点，称为函数的驻点0)(xf)(xf充分条件（第一）：充分条件（第一）：设连续函数在点的一个邻域（点可除外）内具有导数，)(xf0 x0 x当 x 由小增大经过时，如果0 x（1）由正变负，则是极大点)(xf0 x（2）由负变正，则是极小点)(xf0 x（3）不变号，则不是极值点)(xf0 x充分条件（第二）：充分条件（第二）：设函数在点处具有二阶导数，且，)(xf0 x0)(0 xf0)(0;xf（1）如果，则在点处取得极大值0)(0;xf)(xf0 x（2）如果，则在点处取得极小值0)(0;xf)(xf0 x函数的最大值和最小值（略）函数的最大值和最小值（略）曲线的凹凸性与拐点：曲线的凹凸性与拐点：定义：定义：设在上连续，如果对于上的任意两点、恒有)(xfba,ba,1x2x，则称在上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向2)()2(2121xfxfxxf)(xfba,上）凸的。判别法：判别法：定理：定理：设函数在上连续，在内具有二阶导数)(xfba,),(ba（1）如果在内，那么的图形在上是凹的),(ba0)(0;xf)(xfba,（2）如果在内，那么的图形在上是凸的),(ba0)(0;xf)(xfba,拐点：拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。不定积分不定积分原函数：原函数：如果在某一区间上，函数与满足关系式：)(F x)(xf或，则称在这个区间上，函数是函数的一个原原)()(xfxFdxxfxdF)()()(F x)(xf函数函数结论：结论：如果函数在某区间上连续，则在这个区间上必有原函数)(xf)(xf定理：定理：如果函数是的原函数，则（C 为任意常数）也是的原函数，且)(F x)(xfC)(Fx)(xf的任一个原函数与相差为一个常数)(xf)(F x不定积分的定义：不定积分的定义：定义：定义：函数的全体原函数称为的不定积分，记做)(xf)(xfdxxf)(不定积分的性质：不定积分的性质：性质一：性质一：或)()(xfdxxfdxxfdxxfd)()(及或Cxfdxxf)()(Cxfxdf)()(性质二：性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即dxxfdxxfdxxfdxxfxfxfnn)()()()()()(2121LL性质三：性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即（k 为常数，且 k0dxxfkdxxkf)()(基本积分表：基本积分表：（1）（k 是常数）（2）Ckxkdx)1(11aCaxdxxaa（3）（4）Cxdxx|ln1Cedxexx（5）（6）)1,0(lnaaCaadxaxxCxxdxcossin（7）（8）CxxdxsincosCxxdxdxxtanseccos122（9）（10）Cxxdxdxxcotcscsin122Cxxdxxsectansec（11）（12）CxxdxxcsccotcscCxdxxarcsin112（13）Cxdxxarctan112第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）CxFdxxxf)()()(Cxxdx|cos|lntanCxxdx|sin|lncot第二类换元法：变量代换第二类换元法：变量代换被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式基本积分表添加公式：结论：结论：如果被积函数含有，则进行变量代换化去根式22xa taxsin如果被积函数含有，则进行变量代换化去根式22ax taxtan如果被积函数含有，则进行变量代换化去根式22ax taxsec分部积分法：分部积分法：对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法-分部积分法分部积分公式vduuvudv1、如果被积函数是幂函数与的积，可以利用分部积分法指数函数三角函数令 u 等于幂函数2、如果被积函数是幂函数与的积，可使用分部积分法反三角函数对数函数令 u=反三角函数对数函数3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。定积分定积分定积分的定义定积分的定义定理：定理：如果函数在上连续，则在上可积)(xf,ba)(xf,ba定理：定理：如果函数在上只有有限个第一类间断点，则在上可积,ba)(xf,ba定积分的几何意义：定积分的几何意义：1、在上，这时的值在几何上表示由曲线、x 轴及二直线,ba0)(xfbadxxf)()(xfy x=a、x=b 所围成的曲边梯形的面积2、在上，其表示曲边梯形面积的负值,ba0)(xf3、在上，既取得正值又取得负值,ba)(xf几何上表示由曲线、x 轴及二直线 x=a、x=b 所围成平面图形位于 x 轴上)(xfy 方部分的面积减去 x 轴下方部分的面积定积分的性质：定积分的性质：性质一、性质一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(性质二、性质二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即（k 是常数）babadxxfkdxxkf)()(性质三、性质三、如果将区间分成两部分和，那么,ba,ca,bc、bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(性质四、性质四、如果在上，那么,ba1)(xfbabaabdxdxxf)(性质五、性质五、如果在上，那么,ba0)(xfbadxxf0)(性质六、性质六、如果在上，那么,ba)()(xgxfbabadxxgdxxf)()(性质七、性质七、设 M 及 m，分别是函数在区间上的最大值及最小值，则)(xf,bam(b-a)M(b-a)(aa，如果极限存在，则称此)(xf,ababdxxf)(lim极限为函数在区间上的广义积分，记做即)(xf,aadxxf)(babadxxfdxxf)(lim)(无界函数的广义积分（见书 279 页）定积分的应用（见书 286 页）元素法在极坐标系中的计算法