高数复习知识点.pdf

高等数学（上）知识点第 1 页 共 12 页高等数学上册知高等数学上册知识识点点、函数与极限函数与极限、函数函数1、函数定函数定义义及性及性质质（有界性、（有界性、单调单调性、奇偶性、周期性）；性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：初等函数：幂幂函数、指数函数、函数、指数函数、对对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；反双曲函数；4、函数的函数的连续连续性与性与间间断点；断点；（重点）（重点）函数函数在在连续连续 )(xf0 x)()(lim00 xfxfxx 第一第一类类：左右极限均存在：左右极限均存在.间间断点断点 可去可去间间断点、跳断点、跳跃间跃间断点断点 第二第二类类：左右极限、至少有一个不存在：左右极限、至少有一个不存在.无无穷间穷间断点、振断点、振荡间荡间断点断点5、闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质：有界性与最大：有界性与最大值值最小最小值值定理、定理、零点定理零点定理（重点）、（重点）、介介值值定理及其推定理及其推论论.、极限极限1、定定义义1、数列极限数列极限 axNnNaxnnn ,0lim2、函数极限函数极限AxfxxxAxfxx)(0 ,0 ,0)(lim00使 使使 使使 使高等数学（上）知识点第 2 页 共 12 页左极限：左极限：右极限：右极限：)(lim)(00 xfxfxx)(lim)(00 xfxfxx)()()(lim000 xfxfAxfxx使 使使 使2、极限存在准极限存在准则则1、夹夹逼准逼准则则：1）)(0nnzxynnn2）azynnnnlimlimaxnnlim2、单调单调有界准有界准则则：单调单调有界数列必有极限有界数列必有极限.3、无无穷穷小（大）量小（大）量1、定定义义：若：若则则称称为为无无穷穷小量；若小量；若则则称称为为无无穷穷大量大量.lim0lim2、无无穷穷小的小的阶阶：高：高阶阶无无穷穷小、同小、同阶阶无无穷穷小、等价无小、等价无穷穷小、小、阶阶无无穷穷小小kTh1 ;)(oTh2 （无（无穷穷小代小代换换）limlim lim,使 使使 使使 使使 使4、求极限的方法求极限的方法1、单调单调有界准有界准则则；2、夹夹逼准逼准则则；3、极限运算准极限运算准则则及函数及函数连续连续性；性；4、两个重要极限：两个重要极限：（重点）（重点）a)b)1sinlim0 xxxexxxxxx)11(lim)1(lim105、无无穷穷小代小代换换：（：（）（重点）（重点）0 xa)xxxxxarctanarcsintansin高等数学（上）知识点第 3 页 共 12 页b)221cos1xxc)（）xex1axaxln1d)（）xx)1ln(axxaln)1(loge)xx1)1导导数与微分数与微分、导导数数1、定定义义：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx左左导导数：数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx右右导导数：数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx函数函数在在点可点可导导)(xf0 x)()(00 xfxf2、几何意几何意义义：为为曲曲线线在点在点处处的切的切线线的斜率的斜率.)(0 xf)(xfy)(,00 xfx3、可可导导与与连续连续的关系：的关系：4、求求导导的方法的方法1、导导数定数定义义；（重点）（重点）2、基本公式；基本公式；3、四四则则运算；运算；4、复合函数求复合函数求导导（链链式法式法则则）；）；重点）（重点）5、隐隐函数求函数求导导数；数；（重点）（重点）6、参数方程求参数方程求导导；（重点）（重点）高等数学（上）知识点第 4 页 共 12 页7、对对数求数求导导法法.（重点）（重点）5、高高阶导阶导数数1、定定义义：dxdydxddxyd222、Leibniz 公式：公式：nkknkknnvuCuv0)()()(、微分微分1、定定义义：，其中，其中与与无关无关.)()()(00 xoxAxfxxfyAx2、可微与可可微与可导导的关系：可微的关系：可微可可导导，且，且dxxfxxfdy)()(00、微分中微分中值值定理与定理与导导数的数的应应用用、中中值值定理定理1、Rolle 定理：定理：（重点）（重点）若函数若函数满满足：足：)(xf1）；2）；3）；,)(baCxf),()(baDxf)()(bfaf则则.0)(),(fba使 使2、Lagrange 中中值值定理：若函数定理：若函数满满足：足：)(xf1）；2）；,)(baCxf),()(baDxf则则.)()()(),(abfafbfba使 使3、Cauchy 中中值值定理：若函数定理：若函数满满足：足：)(),(xFxf1）；2）；3）,)(),(baCxFxf),()(),(baDxFxf),(,0)(baxxF则则)()()()()()(),(FfaFbFafbfba使 使高等数学（上）知识点第 5 页 共 12 页、洛必达法洛必达法则则（重点）（重点）、Taylor 公式公式（不考）（不考）、单调单调性及极性及极值值1、单调单调性判性判别别法：法：（重点）（重点），则则若若，,)(baCxf),()(baDxf0)(xf则则单调单调增加；增加；则则若若，则则单调单调减少减少.)(xf0)(xf)(xf2、极极值值及其判定定理：及其判定定理：a)必要条件：必要条件：在在可可导导，若，若为为的极的极值值点，点，则则.)(xf0 x0 x)(xf0)(0 xfb)第一充分条件：第一充分条件：（重点）（重点）在在的的邻邻域内可域内可导导，且，且，)(xf0 x0)(0 xfc)则则若当若当时时，当，当时时，则则为为极大极大值值点；点；0 xx 0)(xf0 xx 0)(xf0 x若当若当时时，当，当时时，则则为为极小极小值值点；点；0 xx 0)(xf0 xx 0)(xf0 x若在若在的两的两侧侧不不变变号，号，则则不是极不是极值值点点.0 x)(xf 0 xd)第二充分条件：第二充分条件：（重点）（重点）在在处处二二阶阶可可导导，且，且，)(xf0 x0)(0 xf，0)(0 xfe)则则若若，则则为为极大极大值值点；点；若若，则则为为极小极小值值点点.0)(0 xf0 x0)(0 xf0 x3、凹凸性及其判断，拐点凹凸性及其判断，拐点1）在区在区间间 I 上上连续连续，若，若，则则称称在在)(xf2)()()2(,212121xfxfxxfIxx)(xf区区间间 I 上的上的图图形是凹的；若形是凹的；若，则则称称在在2)()()2(,212121xfxfxxfIxx)(xf区区间间 I 上的上的图图形是凸的形是凸的.2）判定定理）判定定理（重点）（重点）：在在上上连续连续，在，在上有一上有一阶阶、二、二阶导阶导数，数，则则)(xf,ba),(ba a)若若,则则在在上的上的图图形是凹的；形是凹的；0)(),(xfbax)(xf,ba b)若若,则则在在上的上的图图形是凸的形是凸的.0)(),(xfbax)(xf,ba高等数学（上）知识点第 6 页 共 12 页3）拐点：）拐点：设设在区在区间间 I 上上连续连续，是是的内点，如果曲的内点，如果曲线线经过经过)(xfy 0 x)(xf)(xfy 点点时时，曲，曲线线的凹凸性改的凹凸性改变变了，了，则则称点称点为为曲曲线线的拐点的拐点.)(,(00 xfx)(,(00 xfx、不等式不等式证证明明1、利用微分中利用微分中值值定理；定理；2、利用函数利用函数单调单调性；性；（重点）（重点）3、利用极利用极值值（最（最值值）.、方程根的方程根的讨论讨论1、连续连续函数的介函数的介值值定理；定理；2、Rolle 定理；定理；3、函数的函数的单调单调性；性；4、极极值值、最、最值值；5、凹凸性凹凸性.、渐渐近近线线1、铅铅直直渐渐近近线线：，则则为为一条一条铅铅直直渐渐近近线线；)(limxfaxax 2、水平水平渐渐近近线线：，则则为为一条水平一条水平渐渐近近线线；bxfx)(limby 3、斜斜渐渐近近线线：存在，存在，则则为为一条斜一条斜 kxxfx)(limbkxxfx)(limbkxy渐渐近近线线.、图图形描形描绘绘、不定不定积积分分、概念和性概念和性质质1、原函数：在区原函数：在区间间 I 上，若函数上，若函数可可导导，且，且，则则称称为为)(xF)()(xfxF)(xF高等数学（上）知识点第 7 页 共 12 页的一个原函数的一个原函数.（重点）（重点）)(xf2、不定不定积积分：在区分：在区间间 I 上，函数上，函数的的带带有任意常数的原函数称有任意常数的原函数称为为在区在区)(xf)(xf间间 I 上的不定上的不定积积分分.3、基本基本积积分表（分表（P188，13 个公式）；个公式）；（重点）（重点）4、性性质质（线线性性）性性）.、换换元元积积分法分法（重点）（重点）1、第一第一类换类换元法（凑微分）：元法（凑微分）：)()(d)()(xuduufxxxf2、第二第二类换类换元法（元法（变变量代量代换换）：）：)(1d)()()(xttttfdxxf、分部分部积积分法：分法：（重点）（重点）vduuvudv、有理函数有理函数积积分分 1、“拆拆”；2、变变量代量代换换（三角代（三角代换换、倒代、倒代换换、根式代、根式代换换等）等）.、定定积积分分、概念与性概念与性质质：1、定定义义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2、性性质质：（：（7 条）条）性性质质 7（积积分中分中值值定理）定理）函数函数在区在区间间上上连续连续，则则，使，使)(xf,ba,ba高等数学（上）知识点第 8 页 共 12 页 （平均（平均值值：）)()(abfdxxfbaabdxxffba)()(、微微积积分基本公式（分基本公式（NL 公式）公式）（重点）（重点）1、变变上限上限积积分：分：设设，则则xadttfx)()()()(xfx 推广：推广：)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx2、NL 公式：若公式：若为为的一个原函数，的一个原函数，则则)(xF)(xf)()()(aFbFdxxfba、换换元法和分部元法和分部积积分分（重点）（重点）1、换换元法：元法：tttfdxxfbad)()()(2、分部分部积积分法：分法：bababavduuvudv、反常反常积积分分1、无无穷积穷积分：分：tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(00)()()(dxxfdxxfdxxf2、瑕瑕积积分：分：（a 为为瑕点）瑕点）btatbadxxfdxxf)(lim)(（b 为为瑕点）瑕点）tabtbadxxfdxxf)(lim)(高等数学（上）知识点第 9 页 共 12 页两个重要的反常两个重要的反常积积分：分：1)1 ,11 ,d1ppapxxpap2)1 ,1 ,1)()(d)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq、定定积积分的分的应应用用、平面平面图图形的面形的面积积1、直角坐直角坐标标：（重点）（重点）badxxfxfA)()(12 2、极坐极坐标标：dA)()(212122高等数学（上）知识点第 10 页 共 12 页、体体积积1、旋旋转转体体体体积积：（重点）（重点）a)曲曲边边梯形梯形轴轴，绕绕轴轴旋旋转转而成的旋而成的旋转转体的体体的体积积：xbxaxxfy,),(x baxdxxfV)(2 b)曲曲边边梯形梯形轴轴，绕绕轴轴旋旋转转而成的旋而成的旋转转体的体体的体积积：xbxaxxfy,),(y （柱壳法）（柱壳法）baydxxxfV)(22、平行截面面平行截面面积积已知的立体：已知的立体：badxxAV)(、弧弧长长1、直角坐直角坐标标：badxxfs2)(12、参数方程：参数方程：dttts22)()(3、极坐极坐标标：ds22)()(、微分方程微分方程、概念概念高等数学（上）知识点第 11 页 共 12 页1、微分方程：表示未知函数、未知函数的微分方程：表示未知函数、未知函数的导导数及自数及自变变量之量之间间关系的方程关系的方程.阶阶：微分方程中所出：微分方程中所出现现的未知函数的最高的未知函数的最高阶导阶导数的数的阶阶数数.2、解：使微分方程成解：使微分方程成为为恒等式的函数恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶阶数相同数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.、变变量可分离的方程量可分离的方程（重点）（重点），两，两边积边积分分dxxfdyyg)()(dxxfdyyg)()(、齐齐次型方程次型方程，设设，则则；)(xydxdyxyu dxduxudxdy或或，设设，则则)(yxdydxyxv dydvyvdydx、一一阶线阶线性微分方程性微分方程（重点）（重点）)()(xQyxPdxdy用常数用常数变变易法或用公式：易法或用公式：CdxexQeydxxPdxxP)()()(、可降可降阶阶的高的高阶阶微分方程微分方程1、，两，两边积边积分分 次；次；)()(xfynn2、（不（不显显含有含有），令），令，则则；),(yxfy ypy py 3、（不（不显显含有含有），令），令，则则),(yyfy xpy dydppy 、线线性微分方程解的性微分方程解的结结构构高等数学（上）知识点第 12 页 共 12 页1、是是齐齐次次线线性方程的解，性方程的解，则则也是；也是；21,yy2211yCyC2、是是齐齐次次线线性方程的性方程的线线性无关的特解，性无关的特解，则则是方程的通解；是方程的通解；21,yy2211yCyC3、为为非非齐齐次方程的通解，其中次方程的通解，其中为对应齐为对应齐次方程的次方程的线线*2211yyCyCy21,yy性无关的解，性无关的解，非非齐齐次方程的特解次方程的特解.*y、常系数常系数齐齐次次线线性微分方程性微分方程（重点）（重点）二二阶阶常系数常系数齐齐次次线线性方程：性方程：0 qyypy特征方程：特征方程：，特征根：，特征根：02qprr21,rr特征根特征根通通 解解实实根根 21rr xrxreCeCy2121221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx、常系数非常系数非齐齐次次线线性微分方程性微分方程 )(xfqyypy 1、（重点）（重点）)()(xPexfmx设设特解特解，其中，其中)(*xQexymxk是重根是一个单根不是特征根,k2102、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(设设特解特解，xxRxxRexymmxksin)(cos)()2()1(*其中其中，,maxnlm 是是特特征征根根不不是是特特征征根根iik ,1 ,0