1、第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.分部积分法 第四章(Integration by parts)1.分部积分公式 formula of integration by parts 2.分部积分法常见类型:(1)指数函数或三角函数与多项式的乘积.例如,(2)对数函数或反三角函数与多项式的乘积.例如,(3)指数函数与三角函数的乘积.例如,解题技巧:按“反对幂指三”的顺序,前者为 后者为反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数3.例1.求解:令则 原式思考:如何求提示:令则原式4.例2.求解:令则原式=5.例3.求解:令则 原式6.例4.求解:令,则
2、原式=7.例5.求解:令,则原式=8.例6.求解:令,则 原式再令,则故 原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.9.例.求 与10.例7.求解:令则 原式=11.例8.求解:令则 原式=12.总结13.有了以上的六个基本积分公式,我们就可以计算以下的 两类不定积分:方法:配元,化为标准型,然后根据上述公式即可得.14.例.求15.例11.求解:令则原式令16.例9.求解:令则得递推公式17.说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,18.例10.证明递推公式证:注:或19.说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的
3、 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)例43)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.20.例12.求解法1 先换元后分部令即则故21.解法2 用分部积分法22.例13.已知的一个原函数是求解:说明:此题若先求出再求积分反而复杂.23.内容小结 分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前 u 后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:24.练习.求解:令则可用表格法求多次分部积分25.练习.求解:令则原式原式=26.思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得 0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法.27.2.求对比 P370 公式(128),(129)提示:28.作业 P213 1-2429.备用题.1.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则30.方法2(先换元,再分部)令则故31.2.求解:原式=32.3.求解:令则 原式=33.求下列不定积分：34.35.
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