高数下册知识点.pdf

高等数学（下）知识点第 1 页 共 15 页第九章第九章 多元函数微分法及其多元函数微分法及其应应用用 基本概念基本概念1 距离，距离，邻邻域，内点，外点，域，内点，外点，边边界点，聚点，开集，界点，聚点，开集，闭闭集，集，连连通集，区域，通集，区域，闭闭区域，有界区域，有界集，无界集。集，无界集。2 多元函数：多元函数：，图图形：形：),(yxfz 3 极限：极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(004 连续连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx5 偏偏导导数：数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006 方向方向导导数：数：其中其中为为的方向角。的方向角。coscosyfxflf,l7 梯度：梯度：，则则。),(yxfz jyxfiyxfyxgradfyxrr),(),(),(0000008 全微分：全微分：设设，则则),(yxfz dddzzzxyxy 性性质质1 函数可微，偏函数可微，偏导连续导连续，偏，偏导导存在，函数存在，函数连续连续等概念之等概念之间间的关系：的关系：高等数学（下）知识点第 2 页 共 15 页偏偏导导数存在数存在函数可微函数可微函数函数连续连续偏偏导导数数连续连续充分条件充分条件必要条件必要条件定定义义122342 闭闭区域上区域上连续连续函数的性函数的性质质（有界性定理，最大最小（有界性定理，最大最小值值定理，介定理，介值值定理）定理）3 微分法微分法1 定定义义：ux2 复合函数求复合函数求导导：链链式法式法则则 z 若若，则则 (,),(,),(,)zf u v uu x y vv x yvy，zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy3 隐隐函数求函数求导导：两：两边边求偏求偏导导，然后解方程（，然后解方程（组组）应应用用1 极极值值1 无条件极无条件极值值：求函数：求函数的极的极值值),(yxfz 解方程解方程组组 求出所有求出所有驻驻点，点，对对于每一个于每一个驻驻点点，令，令00yxff),(00yx，),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy 若若，函数有极小，函数有极小值值，02 BAC0A若若，函数有极大，函数有极大值值；02 BAC0A高等数学（下）知识点第 3 页 共 15 页 若若，函数没有极，函数没有极值值；02 BAC 若若，不定。，不定。02 BAC2 条件极条件极值值：求函数：求函数在条件在条件下的极下的极值值),(yxfz 0),(yx令：令：Lagrange 函数函数),(),(),(yxyxfyxL解方程解方程组组 0),(00yxLLyx2 几何几何应应用用1 曲曲线线的切的切线线与法平面与法平面曲曲线线，则则上一点上一点（对应对应参数参数为为）处处的的)()()(:tzztyytxx),(000zyxM0t切切线线方程方程为为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程法平面方程为为：0)()()(000000zztzyytyxxtx2 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线线曲面曲面，则则上一点上一点处处的切平面方程的切平面方程为为：0),(:zyxF),(000zyxM0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法法线线方程方程为为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章第十章 重重积积分分 二重二重积积分分高等数学（下）知识点第 4 页 共 15 页1 定定义义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2 性性质质：（：（6 条）条）3 几何意几何意义义：曲：曲顶顶柱体的体柱体的体积积。4 计计算：算：1 直角坐直角坐标标，bxaxyxyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)dbxaxDf x yx yxf x yy，dycyxyyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx2 极坐极坐标标)()(),(21D21()()(,)d d(cos,sin)dDf x yx ydf 三重三重积积分分1 定定义义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2 性性质质：3 计计算：算：高等数学（下）知识点第 5 页 共 15 页1 直角坐直角坐标标 -“先一后二先一后二”Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先二后一先二后一”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(2 柱面坐柱面坐标标，zzyxsincos(,)d(cos,sin,)d d df x y zvfzz 3 球面坐球面坐标标cossinsincossinrzryrx2(,)d(sin cos,sin sin,cos)sin d d df x y zvf rrrrr 应应用用曲面曲面的面的面积积：DyxyxfzS),(,),(:yxyzxzADdd)()(122第十一章第十一章 曲曲线积线积分与曲面分与曲面积积分分 对对弧弧长长的曲的曲线积线积分分1 定定义义：01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 2 性性质质：高等数学（下）知识点第 6 页 共 15 页1）(,)(,)d(,)d(,)d.LLLf x yx ysf x ysg x ys2）12(,)d(,)d(,)d.LLLf x ysf x ysf x ys).(21LLL3）在上，若，则L),(),(yxgyxf(,)d(,)d.LLf x ysg x ys4）(l 为为曲曲线线弧弧 L 的的长长度度)lsLd3 计计算：算：设设在曲在曲线线弧弧上有定上有定义义且且连续连续，的参数方程的参数方程为为，),(yxfLL)(),(),(ttytx其中其中在在上具有一上具有一阶连续导阶连续导数，且数，且，则则)(),(tt,0)()(22tt22(,)d(),()()()d ,()Lf x ysfttttt 对对坐坐标标的曲的曲线积线积分分1 定定义义：设设 L 为为面内从面内从 A 到到 B 的一条有向光滑弧，函数的一条有向光滑弧，函数，xoy),(yxP在在 L 上有界，定上有界，定义义，),(yxQnkkkkLxPxyxP10),(limd),(.nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(向量形式：向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(dr2 性性质质：用用表示表示的反向弧的反向弧,则则LLLLryxFryxFd),(d),(rr3 计计算：算：设设在有向光滑弧在有向光滑弧上有定上有定义义且且连续连续,的参数方程的参数方程为为),(,),(yxQyxPLL高等数学（下）知识点第 7 页 共 15 页，其中，其中在在上具有一上具有一阶连续导阶连续导数，且数，且):(),(),(ttytx)(),(tt,，则则0)()(22tt(,)d(,)d (),()()(),()()d LP x yxQ x yyPtttQtttt4 两两类类曲曲线积线积分之分之间间的关系：的关系：设设平面有向曲平面有向曲线线弧弧为为，上点上点处处的切向量的方向角的切向量的方向角为为：)()(tytxL为 为L),(yx，,)()()(cos22ttt)()()(cos22ttt则则.dd(coscos)dLLP xQ yPQs 格林公式格林公式1、格林公式：、格林公式：设设区域区域 D 是由分段光滑是由分段光滑正向正向曲曲线线 L 围围成，函数成，函数在在),(,),(yxQyxPD 上具有上具有连续连续一一阶阶偏偏导导数数,则则有有LDyQxPyxyPxQdddd2、为为一个一个单连单连通区域，函数通区域，函数在在上具有上具有连续连续一一阶阶偏偏导导数，数，则则G),(,),(yxQyxPG 曲曲线积线积分分 在在内与路径无关内与路径无关yPxQddLP xQ yG曲曲线积线积分分dd0LP xQ y 在在内内为为某一个函数某一个函数的全微分的全微分yyxQxyxPd),(d),(G),(yxu 对对面面积积的曲面的曲面积积分分1 定定义义：高等数学（下）知识点第 8 页 共 15 页设设为为光滑曲面，函数光滑曲面，函数是定是定义义在在上的一个有界函数，上的一个有界函数，),(zyxf定定义义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(102 计计算：算：“一一单单二投三代入二投三代入”，则则),(:yxzz xyDyx),(yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22 对对坐坐标标的曲面的曲面积积分分1 预备预备知知识识：曲面的：曲面的侧侧，曲面在平面上的投影，流量，曲面在平面上的投影，流量2 定定义义：设设为为有向光滑曲面，函数有向光滑曲面，函数是定是定义义在在上的有界函数，上的有界函数，),(),(),(zyxRzyxQzyxP定定义义 01(,)d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS 同理，同理，01(,)d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS 01(,)d dlim(,)()niiiizxiQ x y zz xRS 3 性性质质：1），则则2112d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y2）表示与表示与取相反取相反侧侧的有向曲面的有向曲面,则则d dd dR x yR x y 4 计计算：算：“一投二代三定号一投二代三定号”，在在上具有一上具有一阶连续阶连续偏偏导导数，数，在在),(:yxzz xyDyx),(),(yxzz xyD),(zyxR高等数学（下）知识点第 9 页 共 15 页上上连续连续，则则,为为上上侧侧取取“+”，(,)d d,(,)d dx yDR x y zx yR x y z x yx y 为为下下侧侧取取“-”.5 两两类类曲面曲面积积分之分之间间的关系：的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd其中其中为为有向曲面有向曲面在点在点处处的法向量的方向角。的法向量的方向角。,),(zyx 高斯公式高斯公式1 高斯公式：高斯公式：设设空空间闭间闭区域区域由分片光滑的由分片光滑的闭闭曲面曲面所所围围成成,的方向取外的方向取外侧侧,函函数数在在上有上有连续连续的一的一阶阶偏偏导导数数,则则有有,P Q RyxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddd ddd或或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscos ddd2 通量与散度通量与散度通量：向量通量：向量场场通通过过曲面曲面指定指定侧侧的通量的通量为为：),(RQPAryxRxzQzyPdddddd散度：散度：zRyQxPAdivr 斯托克斯公式斯托克斯公式1 斯托克斯公式：斯托克斯公式：设设光滑曲面光滑曲面 的的边边界界 是分段光滑曲是分段光滑曲线线,的的侧侧与与 的正向的正向符合右手法符合右手法则则,在包含在包含 在内的一个空在内的一个空间间域内具有域内具有连续连续),(),(),(zyxRzyxQzyxP一一阶阶偏偏导导数数,则则有有高等数学（下）知识点第 10 页 共 15 页zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddd dddddd为为便于便于记忆记忆,斯托克斯公式斯托克斯公式还还可写作可写作:zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd2 环环流量与旋度流量与旋度环环流量：向量流量：向量场场沿着有向沿着有向闭闭曲曲线线 的的环环流量流量为为),(RQPArzRyQxPddd旋度：旋度：yPxQxRzPzQyRArot ,r第十二章第十二章 无无穷级穷级数数 常数常数项级项级数数1 定定义义：1）无）无穷级穷级数：数：LLnnnuuuuu3211部分和：部分和：，nnkknuuuuuSL3211正正项级项级数：数：，1nnu0nu交交错级错级数：数：，1)1(nnnu0nu2）级级数收数收敛敛：若：若存在，存在，则则称称级级数数收收敛敛，否，否则则称称级级数数发发散散SSnnlim1nnu1nnu高等数学（下）知识点第 11 页 共 15 页3）条件收）条件收敛敛：收收敛敛，而，而发发散；散；1nnu1nnu绝对绝对收收敛敛：收收敛敛。1nnu2 性性质质：1 改改变变有限有限项项不影响不影响级级数的收数的收敛敛性；性；2 级级数数，收收敛敛，则则收收敛敛；1nna1nnb1)(nnnba3 级级数数收收敛敛，则则任意加括号后仍然收任意加括号后仍然收敛敛；1nna4 必要条件：必要条件：级级数数收收敛敛.（注意：不是充分条件！）（注意：不是充分条件！）1nnu0limnnu3 审敛审敛法法正正项级项级数：数：，1nnu0nu1 定定义义：存在；存在；SSnnlim2收收敛敛有界；有界；1nnu nS3 比比较审敛较审敛法：法：，为为正正项级项级数，且数，且1nnu1nnv),3,2,1(Lnvunn 若若收收敛敛，则则收收敛敛；若；若发发散，散，则则发发散散.1nnv1nnu1nnu1nnv4 比比较较法的推法的推论论：，为为正正项级项级数，若存在正整数数，若存在正整数，当，当时时，1nnu1nnvmmn，而，而收收敛敛，则则收收敛敛；若存在正整数；若存在正整数，当，当时时，而，而nnkvu 1nnv1nnummn nnkvu 发发散，散，则则发发散散.1nnv1nnu高等数学（下）知识点第 12 页 共 15 页5 比比较较法的极限形式：法的极限形式：，为为正正项级项级数，若数，若，而，而1nnu1nnv)0(limllvunnn收收敛敛，则则收收敛敛；若；若或或，而，而发发散，散，则则发发散散.1nnv1nnu0limnnnvunnnvulim1nnv1nnu6 比比值值法：法：为为正正项级项级数，数，设设，则则当当时时，级级数数收收敛敛；则则当当1nnuluunnn1lim1l1nnu时时，级级数数发发散；当散；当时时，级级数数可能收可能收敛敛也可能也可能发发散散.1l1nnu1l1nnu7 根根值值法：法：为为正正项级项级数，数，设设，则则当当时时，级级数数收收敛敛；则则当当1nnulunnnlim1l1nnu时时，级级数数发发散；当散；当时时，级级数数可能收可能收敛敛也可能也可能发发散散.1l1nnu1l1nnu8 极限极限审敛审敛法：法：为为正正项级项级数，若数，若或或，则级则级数数1nnu0limnnunnnunlim发发散；若存在散；若存在，使得，使得，则级则级数数收收敛敛.1nnu1p)0(limllunnpn1nnu交交错级错级数：数：莱布尼茨莱布尼茨审敛审敛法：交法：交错级错级数：数：，满满足：足：，且，且1)1(nnnu0nu),3,2,1(1Lnuunn，则级则级数数收收敛敛。0limnnu1)1(nnnu任意任意项级项级数：数：绝对绝对收收敛敛，则则收收敛敛。1nnu1nnu常常见见典型典型级级数：几何数：几何级级数：数：1 1 0qqaqnn为 为为 为为 为为 为为 为为 为p-级级数：数：1p 1 11为 为为 为为 为为 为为 为为 为pnnp高等数学（下）知识点第 13 页 共 15 页 函数函数项级项级数数1 定定义义：函数：函数项级项级数数，收，收敛敛域，收域，收敛敛半径，和函数；半径，和函数；1)(nnxu2 幂级幂级数：数：0nnnxa收收敛敛半径的求法：半径的求法：，则则收收敛敛半径半径 nnnaa1lim0 ,00 ,1R3 泰勒泰勒级级数数 nnnxxnxfxf)(!)()(000)(0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR展开步展开步骤骤：（直接展开法）：（直接展开法）1 求出求出；L,3,2,1 ),()(nxfn2 求出求出；L,2,1,0 ),(0)(nxfn3 写出写出；nnnxxnxf)(!)(000)(4 验证验证是否成立。是否成立。0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR间间接展开法：（利用已知函数的展开式）接展开法：（利用已知函数的展开式）1）；),(,!10 xxnennx高等数学（下）知识点第 14 页 共 15 页2）；),(,!)12(1)1(sin0121xxnxnnn3）；),(,)!2(1)1(cos021xxnxnnn4）；)1 ,1(,110 xxxnn5）)1 ,1(,)1(110 xxxnnn6）1 ,1(,1)1()1ln(01xxnxnnn7）)1 ,1(,)1(11022xxxnnn8）)1 ,1(,!)1()1(1)1(1xxnnmmmxnnmL4 傅里叶傅里叶级级数数1 定定义义：正交系：正交系：函数系中任何不同的两个函数系中任何不同的两个LLnxnxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin,1函数的乘函数的乘积积在区在区间间上上积积分分为为零。零。,傅里叶傅里叶级级数：数：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn系数：系数：),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1LLnxnxxfbnxnxxfann2 收收敛敛定理：定理：(展开定理展开定理)高等数学（下）知识点第 15 页 共 15 页设设 f(x)是周期是周期为为 2 的周期函数的周期函数,并并满满足狄利克雷足狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内在一个周期内连续连续或只有有限个第一或只有有限个第一类间类间断点断点;2)在一个周期内只有有限个极在一个周期内只有有限个极值值点点,则则 f(x)的傅里叶的傅里叶级级数收数收敛敛,且有且有为 为为 为为 为为 为为 为为 为为 为为 为xxfxfxxfnxbnxaannn ,2)()(),(sincos2103 傅里叶展开：傅里叶展开：求出系数：求出系数：；),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1LLnxnxxfbnxnxxfann写出傅里叶写出傅里叶级级数数；)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn根据收根据收敛敛定理判定收定理判定收敛敛性。性。