1、全微分的定义可微的条件小结 思考题 作业total differentiation第三节 全 微 分第八章 多元函数微分法及其应用1函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时全 微 分2先来介绍全增量的概念为了引进全微分的定义,全增量.域内有定义,函数取得的增量全增量.全 微 分一、全微分的定义3全微分的定义处的全微分.全 微 分可表示为可微分,在点则称函数称为函数记作即函数若在某平面区域D内处处可微时,则称可微函数.这函数在D内的而不依赖于4 可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数注全微分有类似一元函数微分的A=?B=?两个性质:全 微 分全
2、微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的线性函数;高阶无穷小.51.可微分的必要条件(可微必可导).定理1 1(可微必要条件)如果函数可微分,且函数的全微分为全 微 分二、可微的条件6证总成立,同理可得上式仍成立,此时的某个邻域如果函数可微分,全 微 分可微分,7都不能保证函数在该点连续.多元函数在某点可微是否保证 事实上,显然,答:由全微分的定义有可得多元函数可微必连续 连续的定义不连续的函数上一节指出,多元函数在某点各个偏导数即使都存在,函数在该点连续如果函数可微分,则函数在该点连续.一定是不可微的.全 微 分8多元函数的各偏导数存在 全微分存在如，下面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导
3、数.一元函数在某点的导数存在 微分存在回忆:一元函数的可导与可微的关系?但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得)由定理1知全 微 分9则说明它不能随着而趋于0,因此,如果考虑点沿直线趋近于全 微 分10说明 各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.这也是一元函数推广到多元函数出现的又函数是可微分的.多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.一个原则区别.现再假定函数的则可证明全 微 分各个偏导数连续,112.可微分的充分条件 证在该点的某一邻域内必存在的意思.定理2 2(今后常这样理解).用拉氏定理(微分充分条件)假定偏导数在点P(x,y)连续,就含有偏导数全
4、微 分偏导数12全 微 分13同理全 微 分14在原点(0,0)可微.并非必要条件.如事实上,注 定理2的条件(即两个偏导数在点连续)可微的充分全 微 分仅是函数在点条件,同样,15全 微 分在原点(0,0)可微.于是,16即函数f(x,y)在原点(0,0)可微.但是,事实上,偏导数在原点(0,0)不连续.全 微 分 所以,特别是 不存在.即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.极限fy(x,y)在原点(0,0)也不连续.同理可证,函数在一点可微,此题说明:在这点偏导数不一定连续.17记全微分为 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况.一元函数的许多微分
5、性质,(一阶)全微分形式的不变性.同样有:习惯上,称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理这里仍适用.全 微 分如三元函数则18解全 微 分计算函数在点的全微分.所以例19解全 微 分例20答案全 微 分21全 微 分解例试比较的值.22全 微 分解例 计算的近似值.利用函数在点处的可微性,可得23全 微 分 2002年考研数学一,3分考虑二元函数 f(x,y)的下面4条性质:f(x,y)在点(x0,y0)处连续,f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续,f(x,y)在点(x0,y0)处可微,f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.若用“”表示可由性质P推出性质Q,则有(A).
6、(B).(C).(D).单项 选择题24上海交大考题(95级)连续.D全 微 分结论不正确的是().都存在,25上海交大考题(98级)D全 微 分26上海交大考题(93级)上海交大考题(96级)全 微 分填空题27上海交大考题(97级)(非)事实上,全 微 分是非题28全微分的定义全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意：与一元函数有很大的区别)全 微 分可微分的必要条件、可微分的充分条件三、小结29 对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：可微 可导 连续 有极限 对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续 可微 连续 有极限 有偏导全 微 分30全 微 分全微分公式恒成立吗?不一定.考虑函数思考题131全 微 分某城市的大气污染指数 P 取决于两个因素,即空气中固体废物的数量 x 和空气中有害气体的数量 y.它们之间的关系可表示成(1)计算和并说明它们的实际意义.(2)该城市空气污染的情况怎样?(3)城市空气污染的状况是否有所改善.思考题232作业习题8-3(24页)1.(3)(4)2.3.33 (A)偏导数不存在;(B)不可微;(C)偏导数存在且连续;(D)可微.全 微 分(选择正确答案)补充题34屏蔽泵厂家 http:/ 仉睿聪奌35
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