理论力学动量矩定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,？,几个有意义的实际问题,谁最先到,达顶点,？,几个有意义的实际问题,直升飞机如果,没有尾翼将发生,什么现象,？,跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动,几个有意义的实际问题,？,跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动,几个有意义的实际问题,动物高速奔跑的姿态分析,12 动量矩定理,质点和质点系的动量矩,动量矩定理,刚体绕定轴转动的微分方程,刚体对轴的转动惯量,质点系相对质心的动量矩定理,刚体平面运动微分方程,引言,由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。,由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。,若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。,1,质点的动量矩,质点,Q,的动量对于点,O,的矩，定义为质点对于点,O,的,动量矩，,是矢量。,12.1 质点和质点系的动量矩,x,y,zq,O,m,v,M,O,(,m,v,),M,z,(,m,v,),r,质点,动量,m,v,在,oxy,平面内的投影(,m,v,),xy,对于点,O,的矩，定义为质点动量对于,z,轴的矩，简称对于,z,轴的动量矩，是代数量。,类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，,质点对点,O,的动量矩矢在,z,轴上的投影，等于对,z,的动量矩。,在国际单位制中，动量矩的单位是 kgm,2,/s。,M,O,(,m,v,),z,M,z,(,m,v,),12.1 质点和质点系的动量矩,质点系对某点,O,的动量矩等于各质点对同一点,O,的动量矩的矢量和。,2,质点系的动量矩,L,O,=,M,O,(,m,v,),质点系对某轴,z,的动量矩等于各质点对同一,z,轴的动量矩的代数和。,L,O,=,M,z,(,m,v,),质点系对某点,O,的动量矩矢在通过该点的,z,轴上的投影，等于质点系对 该轴的动量矩。,L,O,z,=,L,z,12.1 质点和质点系的动量矩,3 平动刚体的动量矩,刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。,4 定轴转动刚体的动量矩,令,J,z,m,i,r,i,2,称为刚体对,z,轴的,转动惯量,于是得,即：,绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积,。,12.1 质点和质点系的动量矩,例12-1,均质圆盘可绕轴,O,转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物,A,。若圆盘对转轴,O,的转动惯量为,J,，半径为,r,，角速度为,w,，重物,A,的质量为,m,，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系统对轴,O,的动量矩。,解,：,L,O,的转向沿逆时针方向。,12.1 质点和质点系的动量矩,12.2.1 质点的动量矩定理,设质点对,固定点,O,的动量矩为,M,O,(,m,v,)，作用力,F,对同一点的矩为,M,O,(,F,)，如图所示。,12.2 动量矩定理,x,y,z,O,M,O,(,m,v,),m,v,r,M,O,(,F,),F,将动量矩对时间取一次导数，得,12.2.1 质点的,动量矩定理,因为,所以,又因为,所以,x,y,z,O,M,O,(,m,v,),m,v,r,M,O,(,F,),F,质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。,将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得,质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。,12.2.1 质点的,动量矩定理,例12-2,图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为,m,，摆线长为,l,，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过,O,点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。,解：,以摆锤为研究对象，受力如图，建立如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为,v,，,摆的偏角为,j,，,则,式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标,j,的正负号相反。它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。,M,y,x,N,v,m,g,12.2.1 质点的,动量矩定理,由,即,这就是单摆的运动微分方程。当,j,很小时摆作微摆动，sin,j,j,，于是上式变为,此微分方程的解为,其中,A,和,a,为积分常数，取决于初始条件。可见单摆的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为,显然，周期只与,l,有关，而与初始条件无关。,得,设质点系内有,n,个质点，作用于每个质点的力分为外力,F,i,(e),和内力,F,i,(i),。由质点的动量矩定理有,这样的方程共有,n,个，相加后得,由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项,12.2.2 质点系的,动量矩定理,上式左端为,于是得,12.2.2 质点系的,动量矩定理,质点系对某固定点,O,的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。,在应用质点系的动量矩定理时，取投影式,质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。,12.2.2 质点系的,动量矩定理,1.质点动量矩守恒定律,如果作用在质点上的力对某定点(或定轴)之矩恒等于零，则质点对该点(或该轴)的动量矩保持不变。,12.2.3,动量矩守恒定理,当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。,2.质点系动量矩守恒定律,质点系的动量矩守恒,当时，常矢量。,当时，常量。,思考：,1 坐在转椅上(双脚离地)或摇篮内的小孩,是否可用双手将转椅转动?,2 花样滑冰的运动员通过手臂的伸长和收拢改变旋转的速度,说明此道理.,动量矩守恒吗,质点系动量矩守恒定理,质点系对于某点的,动量矩守恒,例12-3,高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为,R,，质量为,m,1,，绕,O,轴转动。小车和矿石的总质量为,m,2,。作用在鼓轮上的力偶矩为,M,，鼓轮对转轴的转动惯量为,J,，轨道倾角为,a,。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度,a,。,解：,以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则,由 ，有,M,O,m,2,g,N,v,m,1,g,F,Ox,F,Oy,w,因 ,于是解得,若,M,m,2,gR,sin,a,，则,a,0,，小车的加速度沿轨道向上。,必须强调的是：,为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。,例12-4,水平杆,AB,长,2a,，可绕铅垂轴,z,转动，其两端各用铰链与长为,l,的杆,AC,及,BD,相连，杆端各联结质量为,m,的小球,C,和,D,。起初两小球用细线相连，使杆,AC,与,BD,均为铅垂，这系统绕,z,轴的角速度为,w,0,。如某时此细线拉断，杆,AC,和,BD,各与铅垂线成,a,角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度,w,。,解：,以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即,显然，此时的角速度,w,w,0,。,解：,取系统为研究对象,例12-5,均质圆轮半径为,R,、,质量为,m，,圆轮对转轴的转动惯量为,J,O,。圆轮在重物,P,带动下绕固定轴,O,转动，已知重物重量为,W,。求重物下落的加速度。,应用动量矩定理,O,P,W,v,m,g,F,Ox,F,Oy,w,例12-6,水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为,v,1,和,v,2,，,二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为,1,和,2,，水的体积流量为,q,V,、,密度为,，,水流入口和出口处叶轮的半径分别为,r,1,和,r,2,，,叶轮水平放置。求水流对叶轮的驱动力矩。,解：,在 d t 时间间隔内，水流,ABCD,段的水流运动到abcd时，所受的力以及他们对O轴之矩：,重力,由于水轮机水平放置，重力,对,O,轴之矩等于,0,；,相邻水流的压力,忽略不计；,叶轮的反作用力矩,与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。,a,b,c,d,a,b,c,d,应用动量矩定理,M,z,例12-7,一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为,m,的重物,A,，另一端有一质量为,m,的人以速度,u,相对细绳向上爬。若滑轮半径为,r,，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。,解：,以系统为研究对象，受力如图设重物,A,上升的速度为,v,，则人的绝对速度,v,a,的大小为,由于,S,M,O,(,F,(e),)0，且系统初始静止，所以,L,O,0。,由上可知，人与重物,A,具有相同的的速度，此速度等于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物,A,位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物,A,将始终保持相同的高度。,u,A,O,mg,mg,F,Ox,F,Oy,u,v,a,v,e,v,设刚体绕定轴,z,以角速度,w,转动，则,L,z,J,z,w,。,12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,x,y,z,F,N1,F,N2,F,n,F,1,F,2,刚体受有主动力和轴承约束反力，如不计摩擦，则由质点系动量矩定理得,或,12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和,。以上各式均称为,刚体绕定轴转动的微分方程,。应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。,例12-6 如图所示，已知滑轮半径为,R,，转动惯量为,J,，带动滑轮的皮带拉力为,F,1,和,F,2,。求滑轮的角加速度,a,。,解：由刚体定轴转动的微分方程,于是得,由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。,F,1,F,2,O,R,a,12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,例12-7 图示物理摆的质量为,m,，,C,为其质心，摆对转轴的转动惯量为,J,O,。求微小摆动的周期。,解：设,j,角以逆时针方向为正。当,j,角为正时，重力对,O,点之矩为负。由刚体定轴转动的微分方程，有,当微摆动时，有 sin,j,j,，故方程写为,此方程通解为,j,0,为,角振幅,，,a,为,初相位,。它们均由初始条件确定。摆动周期为,m,g,这就表明，如已知某物体的质量和质心位置，并将物体悬挂于,O,点作微幅摆动，测出摆动周期后即可计算出此物体对于,O,轴的转动惯量。,例12-8 如图，飞轮对转轴的转动惯量为,J,，以初角速度,w,0,绕水平轴转动，其阻力矩,M,aw,(,a,为常数)。求经过多长时间，角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转多少转?,解：以飞轮为研究对象，由刚体定轴转动的微分方程，有,M,w,0,将（1）式变换，有,将上式求定积分，得,将(1)式改写为,即,将上式求定积分，得,转过的角度为,因此转过的转数,例12-9 如图所示，啮合齿轮各绕定轴,O,1,、,O,2,转动，其半径分别为,r,1,、,r,2,，质量分别为,m,1,、,m,2,，转动惯量分别为,J,1,、,J,2,，今在轮,O,1,上作用一力矩,M,，求其角加速度。,解：分别以两轮为研究对象，受力如图，由刚体定轴转动的微分方程，有,由运动学关系，得,注意到，联立求解以上三式得,O,1,r1,r,2,O,2,M,F,O,1,y,F,O,1,x,F,t,F,n,m,1,g,F,O,2,y,F,O,2,x,m,2,g,O,1,O,2,F,t,F,n,M,O,F,Ox,F,O,y,W,=,m,g,O,F,Oy,F,Ox,W,=,m,g,解除约束前：,F,Ox,=,0,F,Oy,=,mg,/2,突然解除约束瞬时：,F,Ox,=,？,F,Oy,=,？,例题 12-10 关于突然解除约束问题,突然解除约束瞬时，杆,OA,将绕,O,轴转动，不再是静力学问题。这时，,0,，,0。,需要先求出,，,再确定约束力。,应用定轴转动微分方程,应用质心运动定理,O,F,Ox,F,Oy,W,=,m,g,由前知，刚体对轴,z,的转动惯量定义为：,刚体上所有质点的质量与该质点到轴 z,的垂直距离的平方乘积的算术和。,即,对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式,由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是:kgm,2,。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量,。,12.4 刚体对轴的转动惯量,1.均质细杆,12.4.1 简单形状物体的转动惯量,z,1,d,x,x,x,C,z,d,x,x,x,O,l,设均质细杆长,l,，质量为,m,，取微段 d,x,则,2.均质薄圆环对于中心轴的转动惯量,设细圆环的质量为,m,，半径为,R,。则,3.均质圆板对于中心轴的转动惯量,设圆板的质量为,m,，半径为,R,。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为d,m,r,2,p,r,d,r,r,m,/,p,R,2,于是圆板转动惯量为,12.4.1 简单形状物体的转动惯量,在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为,如果已知回转半径，则物体的转动惯量为,回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。,对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。,12.4.2 回转半径(惯性半径),定理：,刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，,即,证明：,因,14.4.3 平行轴定理,y,y,1,z,1,z,d,x,m,C,O,z,z,1,x,x,1,r,1,r,y,y,1,x,1,由质心坐标公式,由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。,当坐标原点取在质心,C,时,y,C,0,S,m,i,y,i,0,又有,S,m,i,m,于是得,14.4.3 平行轴定理,同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。,例12-11 如图所示，已知均质杆的质量为,m,，对,z,1,轴的转动惯量为,J,1,，求杆对,z2,的转动惯量,J,2,。,解,：由 ，,得,(1)(2)得,z,z,1,z,2,a,b,C,例12-12 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3,m,，求其对轴,O,的转动惯量。,解,：,14.4.4组合刚体的转动惯量,例12-13 如图所示，质量为,m,的均质空心圆柱体外径为,R,1,，内径为,R,2,，求对中心轴,z,的转动惯量。,解：空心圆柱可看成由两个实心圆柱体组成，外圆柱体的转动惯量为,J,外,，内圆柱体的转动惯量为,J,内,取负值，即,设,m,1,、,m,2,分别为外、内圆柱体的质量，则,于是,设单位体积的质量为,r,，则,代入前式得,注意到,rp,l,(,R,2,1,R,2,2,)m,则得,形状,简 图,转动惯量,惯性半径,体 积,细,直,杆,圆,柱,薄壁圆筒,常见均质物体的转动惯量和回转半径,空,心,圆,柱,薄,壁,空,心,球,实,心,球,圆,锥,体,圆,环,椭,圆,形,薄,板,立,方,体,矩,形,薄,板,转动惯量的计算：,（1）简单查表,（,2）规则形状组合叠加,（3）形状复杂实验,如图所示，,O,为固定点，,C,为质点系的质心，质点系对于固定点的动量矩为,对于任一质点,m,i,于是,12.5 质点系相对于质心的动量矩定理,由于,r,i,r,i,r,C,m,i,y,y,x,z,C,O,x,z,v,i,r,i,r,i,r,C,m,i,y,y,x,z,C,O,x,z,v,i,它是质点系相对于质心的动量矩。于是得,即：,质点系对任一点,O,的动量矩等于集中于质心的系统动量,m,v,C,对于,O,点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩,L,C,(应为矢量和)。,12.5 质点系相对于质心的动量矩定理,质点系对于固定点,O,的动量矩定理可写成,令,展开上式,注意右端项中,r,i,r,C,+,r,i,于是上式化为,上式右端是外力对质心的主矩，于是得,因为,于是上式成为,质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。,12.5 质点系相对于质心的动量矩定理,例12-14 均质圆盘质量为2,m,，半径为,r,。细杆,OA,质量为,m,，长为l,3,r,，绕轴,O,转动的角速度为,w,、求下列三种情况下系统对轴,O,的动量矩：(a)圆盘与杆固结；(b)圆盘绕轴A相对杆,OA,以角速度,w,逆 时针方向转动；(c)圆盘绕轴,A,相对杆,OA,以角速度,w,顺 时针方向转动。,解：(a),(b),(c),由刚体平面运动理论知：平面运动刚体的位置可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。取质心为基点，如图所示，则刚体的位置可有质心坐标和,j,角确定。刚体的运动可分解为随同质心的平动和相对质心的转动两部分。取如图的动坐标系，则刚体绕质心的动量矩为,J,C,为刚体过质心且垂直于图示平面轴的转动惯量。,12.6 刚体的平面运动微分方程,y,x,x,y,O,C,D,设作用在刚体上的外力可向质所在平面简化为一平面力系，由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得,上式也可写成,12.6 刚体的平面运动微分方程,y,x,x,y,O,C,D,以上两式称为,刚体平面运动微分方程,。应用时，前一式取其投影式。即,12.6 刚体的平面运动微分方程,例12-15 一均质圆柱，质量为,m,，半径为,r,，无初速地放在倾角为,q,的斜面上，不计滚动阻力，求其质心的加速度。,解：以圆柱体为研究对象。圆柱体在斜面上的运动形式，取决于接触处的光滑程度，下面分三种情况进行讨论：,(1)设接触处完全光滑,此时圆柱作平动，由质心运动定理,即,得圆柱质心的加速度,C,q,C,x,y,O,q,a,C,F,N,m,g,(2)设接触处足够粗糙,此时圆柱作纯滚动，列出平面运动微分方程,解得,由于圆柱作纯滚动，故,F,由纯滚动条件有,所以,，可得,这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件。,q,C,x,y,a,C,O,F,N,m,g,(3)设不满足圆柱体在斜面上作纯滚动的条件,设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为,f,，则滑动摩擦力,于是,圆柱体在斜面上既滚动又滑动,在这种情况下，,a,C,r,a,例12-16 均质圆柱体,A,和,B,质量均为,m,，半径均为,r,。圆柱,A,可绕固定轴,O,转动。一绳绕在圆柱,A,上，绳的另一端绕在圆柱,B,上。求,B,下落时，质心,C,点的加速度。摩擦不计。,解：取,A,分析，受力如图。,A,作定轴转动，应用定轴转动的微分方程有,其中,a,A,F,T,m,g,F,Ox,F,Oy,O,A,F,T,m,g,a,B,C,D,B,a,C,取,B,分析，受力如图。,B,作平面运动。应用平面运动的微分方程有,由运动学关系,a,D,r,a,A,，,而由加速度合成定理有,例12-17 均质杆质量为,m,，长为,l,，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束反力。,解：以杆,AB,为研究对象，分析受力。,y,B,q,C,A,m,g,x,B,q,C,A,F,A,F,B,杆作平面运动，设质心,C,的加速度为,a,Cx,、,a,Cy,，角加速度为,a,。,a,a,Cx,a,Cy,由刚体平面运动微分方程,m,g,B,q,C,A,x,y,以,C,点为基点，则,A,点的加速度为,再以,C,点为基点，则,B,点的加速度为,a,A,a,a,B,a,Cx,a,Cy,a,t,BC,a,t,AC,在运动开始时,w,0,故 ,将上式投影到,y,轴上，得,a,n,0,AC,同理，将上式投影到,x,轴上，得,a,n,0,BC,联立求解(1)(5)式，并注意到,可得,注：亦可由坐标法求出(4)、(5)式：,运动开始时，故,B,q,C,A,x,y,j,A,x,C,B,例12-18 如图质量为,m,的均质杆,AB,用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为,j,。求,B,端绳断开瞬时，,A,端绳的张力。,解：取杆分析，建立如图坐标。有,AB,作平面运动，以,A,为基点，则,j,j,A,B,F,T,因为断开初瞬时,v,A,0,w,0,故 ,a,n,0,A,a,n,0,CA,将上式投影到,x,轴上，得,a,n,CA,a,t,CA,a,t,A,a,n,A,a,j,A,x,C,B,a,a,Cx,m,g,例12-19 长,l,，质量为,m,的均质杆,AB,和,BC,用铰链,B,联接，并用铰链,A,固定，位于平衡位置。今在,C,端作用一水平力,F,，求此瞬时，两杆的角加速度。,解：分别以,AB和,BC,为研究对象，受力如图。,AB,和,BC,分别作定轴转动和平面运动。对,AB,由定轴转动的微分方程得,C,B,A,F,A,B,F,Ax,F,Bx,F,By,a,B,W,a,AB,F,Ay,BC,作平面运动，取,B,为基点，则,将以上矢量式投影到水平方向，得,(4),由(1)(4)联立解得,对,BC,由刚体平面运动的微分方程得,(2),(3,),B,G,C,a,BC,F,W,a,Gx,a,Gy,a,t,GB,F,By,F,Bx,O,例12-20 平板质量为,m,1,，受水平力,F,作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为,f,，平板上放一质量为,m,2,的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。,解：取圆柱分析，建立如图坐标。,于是得：,F,a,C,F,N,1,F,1,m,2,g,a,a,O,a,x,y,x,y,F,N,1,F,1,F,N,2,F,2,m,1,g,F,a,取板分析,例12-21 行星齿轮机构的曲柄,OO,1,受力矩,M,作用而绕固定铅直轴,O,转动，并带动齿轮,O,1,在固定水平齿轮,O,上滚动如图所示。设曲柄,OO,1,为均质杆，长,l,、重,P,；齿轮,O,1,为均质圆盘，半径,r,、重,Q,。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。,解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程,O,O,1,M,O,1,O,a,F,n,F,t,R,n,R,t,M,由运动学关系，有,联立求解(1)(4)，得,O,1,F,n,F,t,T,N,a,t,a,n,a,1,取齿轮,O,1,分析，齿轮,O,1,作平面运动,M,O,1,O,a,F,n,F,t,R,n,R,t,本章结束,