1、淄博师专数学教研室,高等数学网络课堂,*,首 页,下 页,尾 页,上 页,标题,1,5,无穷小与无穷大,一、,无穷小,如果函数,f,(,x,),当,x,x,0,(,或,x,),时的极限为零,那么称函数,f,(,x,),为当,x,x,0,(,或,x,),时的无穷小,特别地,以零为极限的数列,x,n,称为,n,时的无穷小,例如,所以函数,x,1,是,当,x,1,时的无穷小,讨论,很小很小的数是否是无穷小？,0,是否为无穷小？,提示,无穷小是这样的函数,在,x,x,0,(,或,x,),的过程中,极限为零,很小很小的数只要它不是零,作为常数函数在自变量的任何变化过程中,其极限就是这个常数本身,不会为
2、零,无穷小与函数极限的关系,定理,1,在自变量的同一变化过程,x,x,0,(,或,x,),中,函数,f,(,x,),具有极限,A,的充分必要条件是,f,(,x,),A,其中,是无穷小,证明,则对,0,0,使当,0,|,x,x,0,|,时,有,|,f,(,x,),A,|,e,令,f,(,x,),A,则,是,x,x,0,时的无穷小,且,f,(,x,),A,这就证明了,f,(,x,),等于它的极限,A,与一个无穷小,之和,反之,设,f,(,x,),A,其中,A,是常数,是,x,x,0,时的无穷小,于是,|,f,(,x,),A,|,|,|,因,是,x,x,0,时的无穷小,0,0,使当,0,|,x,x,
3、0,|,有,|,|,或,|,f,(,x,),A,|,这就证明了,A,是,f,(,x,),当,x,x,0,时的极限,类似地可证明,x,时的情形,二、,无穷大,如果当,x,x,0,(,或,x,),时,对应的函数值的绝对值,|,f,(,x,)|,无限增大,就称函数,f,(,x,),为当,x,x,0,(,或,x,),时的无穷大,应注意的问题,当,x,x,0,(,或,x,),时为无穷大的函数,f,(,x,),按函数极限定义来说,极限是不存在的,但为了便于叙述函数的这一性态,我们也说“函数的极限是无穷大”,讨论,无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大,?,提示,:,正无穷大与负无穷大,证 因为
4、M,0,当,0,|,x,1|,时,有,所以,提示,要使,只要,铅直渐近线,如果,则称直线,是函数,y,f,(,x,),的图形的铅直渐近线,例如,直线,x,1,是函数,的图形的铅直渐近线,定理,2,(,无穷大与无穷小之间的关系,),在自变量的同一变化过程中,为无穷大,如果,f,(,x,),为无穷大,则,为无穷小,反之,如果,f,(,x,),为无穷小,且,f,(,x,),0,则,简要证明,如果,f,(,x,),0(,x,x,0,),且,f,(,x,),0,则,0,0,当,0,|,x,x,0,|,时,有,|,f,(,x,)|,即,所以,f,(,x,),(,x,x,0,),如果,f,(,x,),(,x,x,0,),则,M,0,0,当,0,|,x,x,0,|,时,有,|,f,(,x,)|,M,即,所以,f,(,x,),0(,x,x,0,),
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