第十二章第一节线性变换、二阶矩阵及其乘法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,知识点,考纲下载,考情上线,线性变换、二阶矩阵及其乘法,1.,了解二阶矩阵的概念,2.,二阶矩阵与平面向量的乘法、平面图形,的变换,(1),了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与,变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法,(2),理解矩阵变换把平面上的直线变成直线,(,或点,),，,即,A,(,1,2,),1,A,2,A,.,(3),了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变,换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变,换,3.,变换的复合,二阶矩阵的乘法,(1),了解矩阵与矩阵的乘法的意义,(2),理解矩阵乘法不满足交换律,(3),会验证二阶矩阵乘法满足结合律,.,(4),理解矩阵,乘法不满足消去律,.,选考内容在高考中将以解答题的形式出现，难度不大，二阶矩阵及其乘法是高考的热点,知识点,考纲下载,考情上线,逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向量,1.,逆矩阵与二阶行列式,(1),理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在,(2),理解逆矩阵的唯一性和,(,AB,),1,B,1,A,1,等简单,性质，了解其在变换中的意义,(3),了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆,矩阵,2.,二阶矩阵与二元一次方程组,(1),能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意,义,(2),会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组,(3),理解线性方程组解的存在性、唯一性,3.,变换的不变量,(1),掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向,量的意义,4.,利用矩阵,A,的特征值、特征向量给出,A,n,简单的表,示，并能用来解决问题,.,本部分内容将以考查矩阵的运算及解线性方程组，如求逆矩阵，另外特征值与特征向量的求法也是常考知识点,.,一、二阶矩阵的定义,1,由,4,个数,a,，,b,，,c,，,d,排成的正方形数表,_,称为,二阶矩阵,2,元素全为,0,的二阶矩阵,_,称为零矩阵，简记为,_,矩阵 称为二阶单位矩阵，记为,.,二、几种特殊线性变换,1,旋转变换,直线坐标系,xOy,内的每个点绕原点,O,按逆时针方向旋,转,角的旋转变换的坐标变换公式是,对应的二阶矩阵为,2,反射变换,平面上任意一点,P,对应到它关于直线,l,的对称点,P,的线,性变换叫做关于直线,l,的反射,3,伸缩变换,在直角坐标系,xOy,内将每个点的横坐标变为原来的,k,1,倍，纵坐标变为原来的,k,2,倍，其中,k,1,，,k,2,为非零常数，,这样的几何变换为伸缩变换,4,投影变换,设,l,是平面内一条给定的直线，对平面内的任意一点,P,作直线,l,的垂线，垂足为点,P,，则称点,P,为点,P,在直,线,l,上的投影，将平面上每一点,P,对应到它在直线,l,上的,投影,P,，这个变换称为关于直线,l,的投影变换,5,切变变换,平行于,x,轴的切变变换对应的二阶矩阵为,_,，,平行于,y,轴的切变变换对应的二阶矩阵为,_,三、变换、矩阵的相等,1,设,，,是同一直角坐标平面内的两个线性变换，如果,对平面内的任意一点,P,，都有,，则称这,两个线性变换相等,（,P,）,=,（,P,）,2,对于两个二阶矩阵,A,与,B,，如果它们的,_,都分,别相等，则称矩阵,A,与矩阵,B,相等，记作,A,B,.,对应元素,四、矩阵与向量的乘法,设,A,规定二阶矩阵,A,与向量,的乘,积为向量,_,，记为,或,，即,这是矩阵,与向量 的乘法,A,a,五、线性变换的基本性质,性质,1.,设,A,是一个二阶矩阵，,，,是平面上的任意两个,向量是一个任意实数，则,(1),A,(,),；,(2),A,(,),.,性质,2.,二阶矩阵对应的变换,(,线性变换,),把平面上的直线,变成,_,定理：设,A,是一个二阶矩阵，,，,是平面上的任意两个,向量，,1,，,2,是任意两个实数，则,A,(,1,2,),1,A,2,A,.,A,A,A,直线（或一点）,六、二阶矩阵的乘法,1,设,A,则,AB,2,对直角坐标系,xOy,内的任意向量,，有,A,(,B,),.,3,二阶矩阵的乘法满足结合律，即,(,AB,),C,.,4,A,k,A,l,_,，,(,A,k,),l,A,kl,.,(,AB,),a,(,AB,),C,A,k+,l,1,已知矩阵M,向量,，试判,断,(,MN,),与,M,(,N,),的关系，,MN,与,NM,的关系,解：,(,MN,),M,(,N,),所以,(,MN,),M,(,N,),又因为,MN,NM,，所以,MN,NM,.,2,求圆,C,：,x,2,y,2,4,在矩阵,A,对应变换作用下的,曲线方程，并判断曲线的类型,解：,设,P,(,x,，,y,),是圆,C,：,x,2,y,2,4,上的任一点，,P,1,(,x,，,y,),是,P,(,x,，,y,),在矩阵,A,对应变换作用下新曲线上的对应点，则,将 代入,x,2,y,2,4,，得 ,y,2,4,，,方程,1,表示的曲线是焦点为,(2,，,0),，长轴长为8,的椭圆,3,设,a,，,b,R,，若,M,所定义的线性变换把直线,l,：,2,x,y,7,0,变换成另一直线,l,：,x,y,7,0,，求,a,，,b,的值,解：,取直线,l,：,2,x,y,7,0,上任一点,(,x,0,7,2,x,0,),，则它在对应的变换作用下有,而点,(,ax,0,，,x,0,7,b,2,bx,0,),在直线,l,：,x,y,7,0,上，,即,ax,0,x,0,7,b,2,bx,0,7.,由,x,0,的任意性得,4.,运用旋转矩阵，求直线,2,x,y,1,0,绕原点逆时针旋转,45,后所得的直线方程,解：,旋转矩阵,直线,2,x,y,1,0,上任意一点,(,x,0y,0,),旋转变换后为,(,x,0,，,y,0,),，,直线,2,x,y,1,0,绕原点逆时针旋转,45,后所得的直线,方程是,即,1,二阶方阵的运算关键是记熟运算法则,2,注意运算时运算律的应用，它满足结合律即,(,MN,),P,M,(,NP,),(,MP,),N,.,已知,M,，求二阶矩阵,X,，使,MX,N,.,求二阶矩阵可先设出二阶矩阵,X,，根据矩阵乘法法则，应用待定系数法求解,.,解：,设,X,，按题意有,根据矩阵乘法法则有,解之得,1,若 ，试求,x,的值,解：,伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合,在直角坐标系中，已知,ABC,的顶点坐标为,A,(0,0),、,B,(1,1),、,C,(0,2),，求,ABC,在矩阵,MN,作用下变换所得到的图形的面积这里,M,因为矩阵,M,表示反射变换，矩阵,N,表示旋转变换，所以变换后所得图形与原图形全等,.,解：,在矩阵,N,的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转,90,得到的图形，在矩阵,M,的作用下，一个图形变换为与之关于直线,y,x,对称的图形因此,ABC,在矩阵,MN,作用下变换所得到的图形与,ABC,全等，从而其面积等于,ABC,的面积，即为,1.,2,直角坐标系,xOy,中，点,(2,，,2),在矩阵,M,对应,变换作用下得到点,(,2,4),，曲线,C,：,x,2,y,2,1,在矩阵,M,对应变换作用下得到曲线,C,，求曲线,C,的方程,解：,根据题意 ，即,2,a,4,，解得,a,2,，设曲线,C,变换前后对应点的坐标分别为,(,x,，,y,),，,(,x,，,y,),，则,代入曲线,C,的方程,x,2,y,2,1,，,整理得,y,2,x,2,1,，,即曲线,C,的方程为,x,2,y,2,1.,在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆,已知曲线,C,：,xy,1.1),将曲线,C,绕坐标原点逆时针旋转,45,后，求得到的曲线,C,的方程；,(2),求曲线,C,的焦点坐标和渐近线方程,首先要确定能够实施变换的矩阵，求出变换后的曲线,C,的方程，再研究曲线,C,的几何性,.,解：,(1),由题设条件，,变换：,即有,解得,代入曲线,C,的方程为,y,2,x,2,2,，,所以将曲线,C,绕坐标原点逆时针旋转,45,后，得到的曲线,C,的方程是,y,2,x,2,2.,(2),由,(1),知，只需求曲线,y,2,x,2,2,的焦点及渐近线，由于,a,2,b,2,2,，故,c,2,，又焦点在,y,轴上，从而其焦点为,(0,2),，,(0,，,2),，渐近线方程为,y,x,.,3,已知在一个二阶矩阵,M,的变换作用下，点,A,(1,2),变成了,点,A,(4,5),，点,B,(3,，,1),变成了点,B,(5,1),(1),求矩阵,M,；,(2),若在矩阵,M,的变换作用下，点,C,(,x,0),变成了点,C,(4,，,y,),，求,x,，,y,.,解：,(1),设该二阶矩阵为,由题意得,所以解得,故,M,(2),因为,解得,x,2,，,y,2.,矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算是高考新增内容，多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，从而研究新图形的性质，难度不大，属中档题，如,2008,江苏高考,21,题,.,(2008,江苏高考,),在平面直角坐标系,xOy,中，设椭圆,4,x,2,y,2,1,在矩阵,A,对应的变换下得到曲线,F,，求,F,的方程,解,设,P,(,x,0,，,y,0,),是椭圆上任意一点，点,P,(,x,0,，,y,0,),在矩阵,A,对应的变换下变为点,P,(,x,0,，,y,0,),，则有,即,又因为点,P,在椭圆上，故,从而,(,x,0,),2,(,y,0,),2,1.,所以，曲线,F,的方程为,x,2,y,2,1.,利用矩阵变换这一工具，建立变换前后任一点坐标间的关系，从而代入变换前的平面图形对应的方程，求出变换后的图形对应的方程，其实质是解析几何中相关动点,(,即代入法,),求曲线方程的思想，本题若改为,“,将椭圆,4,x,2,y,2,1,绕原点逆时针旋转,30,后得到曲线,F,，试求,F,的方程,”,