大学文科数学第二章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 微积分的直接基础,极限,主讲人,:,姜革命,1,从阿基里斯追赶乌龟谈起,数列极限,割圆术,我国古代数学家刘徽在,九章算术注,利用圆内接正多边形计算圆面积的方法,-,割圆术,，就是极限思想在几何上的应用。,一、数列概念,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,播放,(,魏晋,),刘徽,割圆术,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正,3072,边形得到圆周率 的近似值为,3.1416,数列的定义,例如,称为,无穷数列简称,数列,.,说明：,1.,数列对应着数轴上一个点列,.,可看作一动点在数轴上依次取,2.,数列是整标函数,公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺,(Zeno),用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：,如果让阿基里斯,(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄,),和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头,1000,米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的,10,倍,也永远也追不上乌龟,.,芝,诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了,1000,米,此时乌龟仍然前于他,100,米；当阿基里斯跑了下一个,100,米时,乌龟仍然前于他,10,米,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的,.,这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病,.,那么,问题究竟出在哪儿呢？,芝诺悖论,阿基里斯与乌龟,如果我们从级数的角度来分析这个问题,芝,诺的这个悖论就会不攻自破,.,中国古代哲学家称悖论,“,饰人之心，易人之意，能胜人之口，不能服人之心,”,.,科学家们通过悖论来提出问题,.,悖论是科学中基础理论缺陷的产物，是对科学理论体系的挑战，是对人类智力的挑战,.,研究悖论能使我们了解学科基础理论的缺陷，而解决悖论的最大意义是能帮我们解决学科基础理论的缺陷,修改或重建某些基础理论，从而使科学研究朝着健康的方向发展,.,这是一种客观的需要,.,ExampleKoch,雪花,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的,1/3,的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形,“,Koch,雪花,”,1,2,3,4,5,6,第一次分叉：,周长为,面积为,第,次分叉：,于是有,雪花的面积存在极限（收敛）,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,做一个雪花蛋糕会比较有趣，这样就可以宣称,“,我吃掉了一条无限长的曲线,”,了,.,这种奇怪的几何怪物的发现,向十九世纪的数学家提出了挑战，因为这种曲线打破了人们的直觉观念,:,连续曲线总能借助于铅笔的不间断移动画出来，局部曲线总是,“,光滑,”,的,.,但是,Koch,曲线提醒人们，在研究无穷过程时，直觉是一个很不可靠的向导，这种挑战迫使数学家们为其职业制定更高更严的标准，曲线的定义也需要加以修改，以适应类似这种,“,病态,”,的雪花怪物,.,Koch,曲线是一条浪漫的分形曲线，它的周长为无限大，曲线上任两点之间的距离也是无限大，,却包围着有限的面积,.,曲线在任何一点处都连续，但却处处,“,不可导,”,（每一点都是,“,尖点,”,）,.,还好我的浪漫没这么抽象,截杖问题：,“,一尺之棰，日截其半，万世不竭”,数列极限的定性描述,Definition,如果,n,无限增大时，数列,a,n,的通项,a,n,无限接近于常数,a,，则称该数列以,a,为极限，记做,或,如果数列没有极限,就说数列是,发散,的,.,上例中，,以,0,为极限的变量称为,无穷小量,.,如,每一项均为常数的数列称为,常数列,.,常数列的极限仍是该常数,.,如数列,1,1,1,为常数列，且,绝对值无限变大的变量称为,无穷大量,，或称其收敛于,，,或,.,如,2,n,-2,n,均为无穷大量，且,为,n,时的无穷小量,播放,数列极限的定量描述,问题,:,当,n,无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值,?,如果是,如何确定,?,问题,:,“,无限接近”意味着什么,?,如何用数学语言刻划它,?,通过上面演示实验的观察,:,如果数列没有极限,就说数列是,发散,的,.,注意：,定义,总存在正数,N,不等式,记为,或,几何解释,:,其中,例,6,证,例,7,证,2,函数极限,1,、自变量在有限点处的极限,3.,几何解释,:,说明：,例,1,证,例,2,证,证,得证。,例,3,单侧极限：,左极限：,右极限：,解,左右极限存在且相等,例,4,左右极限存在但不相等,例,12,证,播放,2,、自变量趋于无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察,:,问题,:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”？,例,5,证,几何解释,:,例,7,解,例,6,解,x,y,三、有极限的函数的基本性质,性质,1,函数极限的唯一性,性质,2,有极限函数的局部有界性,推论,1,性质,3,有极限函数的局部保号性,注意,推论,2,定理,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,3.3,无穷小,(,量,)定义,以零为极限的函数,(,或数列,),称为,无穷小,(,量,),.,例如,注,:,1.,无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈,;,3.,零是唯一可以作为无穷小的数,.,2.,称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势,.,无穷小和极限的关系,:,定理,变量,u,以,A,为极限的充分必要条件是：变量,u,可以表示为,A,与一个无穷小量的和。即,lim,u,=,A,u,=,A,+,a,，,其中,a,是无穷小,。,证略,.,定理表明：,极限概念可以用无穷小量概念来描述,.,无穷小量的性质：,1,有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；,定理,2,无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；,3,有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。,例,1,解,无穷大,(,量,),定义,如果变量,u,在其变化过程中,|,u,|,无限增大，则称,u,为无穷大,(,量,),，记作,精确定义：,1.,无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数,混为一谈；,2.,称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变,化趋势。,注,:,证,得证,.,x,o,y,例,2,无穷大量与无界变量的关系,(1),无穷大量显然是无界变量；,(2),但无界变量不一定是无穷大量。,例如数列,再如，,但它并不是无穷大量。,无穷大量与无穷小量的关系,意义,关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,.,例,3,无穷小量的比较,例如,比值极限不同,反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同,.,观察各极限,定义,：,说明,:,1,、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶,.,2,、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的,.,4,、类似可对 型不定式进行阶的比较,.,例,3,例,4,证,例,5,但是，,不存在，,3.4,极限的运算法则,定理,说明：,1.,有两层意思,:,(1),在,lim,u,和,lim,v,都存在的前提下，,lim(,u,+,v,),也存在；,(2)lim,(,u,+,v,),的数值等于,lim,u,+lim,v,.,2.lim,(,u,+,v,),存在,不能倒推出,lim,u,和,lim,v,都存在,.,3.,若,lim,u,存在,而,lim,v,不存在,则,lim,(,u,+,v,),必不存在,.,4.,可推广到有限多项,.,反证,:,若,lim,(,u,+,v,),存在,已知,lim,u,存在,由定理知,lim,v,存在,矛盾,推论,1,推论,2,例,1,例,2,解,解,例,3,消零因子法,例,4,解,一般,无穷小量分出法,例,5,解,共扼因子法，有理化法,解,解,变量代换法,例,6,例,7,极限存在的准则和两个重要极限,证略。,1.,夹逼准则和,例,1,解,由夹逼定理得,准则,I,和准则,I,称为,夹逼准则,.,上述数列极限存在的准则可以推广到,函数的极限,.,利用夹逼准则可以证明一个重要的极限,:,即,所以,解,所以,例,2,例,3,2.,单调有界准则,称单调增加,称单调减少,单调数列,具体：单调增加有上界，或单调减少有下界。,利用准则,可以证明另一个重要的极限,:,以,e,为底的对数称为,自然对数,，,可以证明，相应的函数极限有,或,Proof,且项数增加,(,每一项均为正,),例,5,解,3,极限应用的一个例子,连续函数,1,、函数的增量,一、函数在一点处的连续,例,1,证明函数,y,=,x,2,在给定点,x,0,处连续。,证,在,x,0,处，函数的改变量为,所以,y,=,x,2,在给定点,x,0,处连续。,2,、函数在一点处连续的定义,下面给出函数连续的定义的另一种,等价形式,。,例,2,证,定理,3.,单侧连续,例,3,解,即不右连续也不左连续,x,y,-1,1,O,例,4,解,二、连续函数,例,5,证,三、连续函数的运算和初等函数的连续性,定理,1,例如,1,、连续函数的四则运算法则,三角函数在其定义域内皆连续,.,定理,2,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续,.,2,、反函数的连续性,定理,3,3,、复合函数的连续性,极限运算与函数运算可以交换,4,、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,均在其定义域内连续,.,所有基本初等函数在其定义域内都是连续的,.,一切初等函数在其定义域内都是连续的,.,也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。,利用函数的连续性可以计算一些极限,.,初等函数求极限的方法：,代入法,.,例,6,例,7,解,解,例,8,连续复利问题,如一年计息,n,次，利息按复式计算，则一年后本息之和为,随着,n,无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不会无限增大，其极限值为,称之为,连续复利,。,例如，年利率为,3%,，则连续复利为,由于,e,在银行业务中的重要性，故有,银行家常数,之称,.,定理,1(,有界性与最大值最小值定理,),在闭区间上连续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值,.,1,、有界性与最大值最小值定理,四、闭区间上的连续函数,记作,注意,:,1.,若区间是开区间,定理不一定成立,;,2.,若区间内有间断点,定理不一定成立,.,2,、介值定理与零点定理,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,M,与最小值,m,之间的任何值,.,几何解释,:,M,B,C,A,m,a,b,几何解释,:,定义,例,16,证,由零点定理,