第一节 函数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高 等 数 学,1,我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元,和多元微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论，以及作为一元微积分学的简单应用,常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。,17,世纪（,1763,年）,Descartes,建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系,函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。,2,高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。,由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学,有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：,概念更复杂,理论性更强,表达形式更加抽象,推理更加严谨,3,高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。,极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势，这,里所讲的变化趋势有其明确的含义：不管所指定的变,化过程多么复杂，我们所关心的仅仅是变量变化的终,极目标，若这个终极目标存在，就称之为变量的极限,本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性,质，然后讨论函数的连续性,4,重点,极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则，,两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类,难点,极限概念及求极限的方法技巧,基本要求,能准确叙述并理解极限定义，明确其几何意,义。,正确理解无穷小量及其与极限的关系,5,牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函,数 极限的保号性质,理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明,方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限,正确理解连续概念，理解间断点的分类,理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数,的性质,6,第一章,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,函数与极限,7,第一节 函数,1.,集合,:,具有某种特定性质的事物的,总体,.,组成这个集合的事物称为该集合的,元素,.,有限集,无限集,数集分类,:,N-,自然数集,Z-,整数集,Q-,有理数集,R-,实数集,一、基本概念,8,数集间的关系,:,例如,不含任何元素的集合称为,空集,.,例如,规定,空集为任何集合的子集,.,2.,区间,:,是指介于某两个实数之间的全体实数,.,这两个实数叫做区间的端点,.,9,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,10,无限区间,区间长度的定义,:,两端点间的距离,(,线段的长度,),称为区间的长度,.,3.,邻域,:,11,12,4.,绝对值,:,运算性质,:,绝对值不等式,:,绝对值不等式的两个变形公式：,13,二、函数概念,引例,1,、圆内接正多边形的周长,圆内接正,n,边形,O,r,),14,定义 设,x,和,y,是两个变量,，,D,是一个给定的数集,，,若对于,x,D,，,变量,y,按照确定的法则总有,确定的数值和它对应，则称,y,是,x,的函数,记作,自变量,因变量,D,为定义域，记,15,函数的两要素,:,定义域,与,对应法则,.,自变量,对应法则,f,因变量,约定,:,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值,.,16,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,定义,:,17,几个特殊的函数举例,(1),符号函数,1,-1,x,y,o,(2),取整函数,y=,x,x,表示不超过,x,的最大整数,1 2 3 4 5,-2,-4,-4-3-2-1,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,阶梯曲线,18,(3),狄利克雷函数,有理数点,无理数点,1,x,y,o,(4),取最值函数,y,x,o,y,x,o,19,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,式子来表示的函数,称为,分段函数,.,(5),绝对值函数,o,x,y,定义域,R,值域,20,例,1,解,故,21,三、函数的特性,1,函数的有界性,:,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,M,-M,y,x,o,X,无界,注意：,M,不唯一。,22,成立，则称函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上是上方有界的,简称有,上界,。,设函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上有定义。,若存在实数,M,(,可正，,可负,),，对一切,x,I,恒有,y,=,f,(,x,),f,(,x,),M,23,f,(,x,),m,在区间,I,上是下方有界的,简称有,下界,。,设函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上有定义。,若存在实数,m,(,可正，,可负,),对一切,x,I,恒有,成立，则称函数,y,=,f,(,x,),y,=,f,(,x,),24,函数,y,=,f,(,x,),有界,f,(,x,),既有上界又有下界.,在区间,I,上,:,x,y,A,B,O,25,2,函数的单调性,:,x,y,o,26,x,y,o,27,3,函数的奇偶性,:,y,x,o,x,-,x,偶函数,28,y,x,o,x,-,x,奇函数,29,4,函数的周期性,:,（通常说周期函数的周期是指其最小正,周期,）,.,30,四、反函数,D,W,D,W,习惯上,的反函数记成,性质,:,1),y,f,(,x,),单调递增,(,减,),其反函数,且也单调递增,(,减,).,31,2),函数,与其反函数,的图形关于直线,对称,.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线,对称,.,指数函数,32,例,2,解,单值函数,有界函数,偶函数,不是单调函数,周期函数,(,无最小正周期,),33,五、复合函数与初等函数,(,一,),、基本初等函数,1.,幂函数,34,2.,指数函数,35,3.,对数函数,36,4.,三角函数,正弦函数,余弦函数,37,正切函数,余切函数,38,正割函数,余割函数,39,5.,反三角函数,40,幂函数指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为,基本初等函数,.,41,(,二,),、复合函数 初等函数,1.,复合函数,在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个,比较 简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移,y,与时间,t,的函数关系,就是由三角函数,和线性函数,“,叠置”而成的，,42,定义,:,注意,:,1.,不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的,;,复合条件,43,复合函数的定义域,复合条件在实际应用时常取形式,内层函数的值域落在外层函数的定义域之内,2.,复合函数可以由两个以上的函数经过 复合构成,.,44,例如,都是初等函数,.,2,、初等函数,由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数,.,否则称为,非初等函数,.,45,一般说来,分段函数不是初等函数,.,但有个别分段函数例外，例如,因为它可以改写为初等函数,的形式,.,46,幂指函数,是否为初等函数？,它是由,与,构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数,.,例,3,解,47,例,4,解,48,综上所述,49,内容小结,1.,集合的概念,定义域,对应规律,3.,函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.,初等函数的结构,作业,P21 6,(5),(8),(10);,8;11;,14,（,1,），（,5,）；,18;19;20,2.,函数的定义及函数的二要素,50,思考题,思考题解答,设,则,故,51,练 习 题,52,53,练习题答案,54,例,1,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压,U,与时间 的函数关系式,.,解,单三角脉冲信号的电压,55,56,