数字信号处理第1章时域离散信号和时域离散系统-OK.ppt

第,1,章 时域离散信号和时域离散系统,第,1,章 时域,离散信号,和时域,离散系统,1.1,引言,1.2,时域离散信号,1.3,时域离散系统,1.4,时域离散系统的输入输出描述法,1.5,模拟信号数字处理方法,1.1,引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。,针对信号的自变量和函数值的取值，分类：,模拟信号（时域连续信号）,模拟系统,自变量取连值,函数值取连续值,时域离散信号（采样信号）,时域离散系统,自变量取离散值,函数值取连续值,数字信号,数字系统,自变量取离散值,函数值取连续值,计算机或专用,DSP,芯片位数有限，信号函数值有有限位二进制编码表示，这样信号本省的取值不再是连续的，而是离散值。,1.2,时域离散信号,对模拟信号,x,a,(t,),进行等间隔采样，采样间隔为,T,，得到,时域离散信号,x(n,)=,x,a,(nT,),，,-,n,(1.2.2),t,t,t,1,0,理想抽样,0,0,1.2.1,常用的典型序列,1.,单位采样序列,(n),图,1.2.1,单位采样序列和单位冲激信号,(a),单位采样序列；,(b),单位冲激信号,2.,单位阶跃序列,u(n),(n,),与,u(n),之,间的关系如下式所示：,图,1.2.2,单位阶跃序列,3.,矩形序列,R,N,(n),与其他序列的关系,图,1.2.3,矩形序列,4.,实指数序列,x(n)=,a,n,u(n,),，,a,为实数,如果,|a|1,，,则,称为发散序列。其波形如图,1.2.4,所示。,图,1.2.4,实指数序列,5.,正弦序列,x(n)=sin(n),表示序列变化的速率，相邻两个序列值之间变化的弧度数。,模拟正弦信号：,数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率,模拟域频率单位：弧度,/,秒,数字域频率单位：弧度,6.,复指数序列,x(n)=e,(+j0)n,式中,0,为数字域频率，设,=0,，,用极坐标和实部虚部表示如下式：,x(n)=e,j,0,n,x(n)=cos(,0,n)+jsin(,0,n),由于,n,取整数，下面等式成立：,e,j(0+2M)n,=e,j0n,M=01,2,7.,周期序列,如果对所有,n,存在一个最小的正整数,N,，,使下面等式成立：,x(n)=x(n+N),-n0,时称为,x(n),的延时序列；,当,n,0,0,时，称为,x(n),的超前序列。,翻转序列,x(-n,),则是,x(n),的翻转序列,x,(,n,),n,0,n,0,x,(2,n,),是,序列每隔,m,点取一点形成的，相当于时间轴,n,压缩了,m,倍。,抽取序列,是,序列相邻抽样,点间补（,m,1),个零值点，表示零值插值。,插值序列,尺度变换,1.3,时域离散系统,设时域离散系统的输入为,x(n),，系统输出序列用,y(n),表示。,一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算,.,图,1.3.1,时域离散系统,离散时间系统,T ,x(n),y(n),1,、线性系统,若系统,满足叠加原理：,或同时满足：,可加性：,比例性,/,齐次性：,其中：,则此系统为线性系统。,例：证明由线性方程表示的系统,是非线性系统,增量线性系统,线性系统,x(n),y,0,(n),y(n),2,、,移,不变系统,若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）,例：试判断,是否是移不变系统,同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统,LSI,：,Linear Shift Invariant,3,、单位抽样响应和卷积和,单位抽样响应,h(n),是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：,T ,对,LSI,系统，讨论对任意输入的系统输出,T ,x(n),y(n),一个,LSI,系统可以用单位抽样响应,h(n),来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应,h(n),的卷积和。,卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。,LSI,h(n),x(n),y(n),4,、,LSI,系统的性质,交换律,h(n),x(n),y(n),x(n),h(n),y(n),结合律,h,1,(n),x(n),h,2,(n),y(n),h,2,(n),x(n),h,1,(n),y(n),h,1,(n)*h,2,(n),x(n),yn),分配律,h,1,(n)+h,2,(n),x(n),y(n),h,1,(n),x(n),y(n),h,2,(n),1.3.4,系统的,因果性,和稳定性,如果系统,n,时刻的输出，,只取决于,n,时刻以及,n,时刻以前的输入序列，而和,n,时刻以后的输入序列无关,，,则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。,如果,n,时刻的输出还取决于,n,时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现,，则系统被称为,非因果系,统,。因此系统的因果性是指系统的可实现性。,线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：,h(n)=0,，,n0,(1.3.13),因为单位取样响应是输入为,(n,),的零状态响应，在,n=0,时刻以前即,n0,时，没有加入信号，输出只能等于零,.,稳定系统,系统有界输入，系统输出也是有界。,系统稳定的,充分必要条件,是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为,证明略,例,1.3.6,设线性时不变系统的单位取样响应,h(n)=,a,n,u(n,),，,式中,a,是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,解,:,由于,n0,时，,h(n)=0,，,所以系统是因果系统。,只有当,|a|1,时,因此,系统稳定的条件是,|a|1,；,否则，,|a|1,时，系统不稳定。系统稳定时，,h(n,),的模值随,n,加大而减小，此时序列,h(n,),称为收敛序列。如果系统不稳定，,h(n,),的模值随,n,加大而增大，则称为发散序列。,例,1.3.7,设系统的单位取样响应,h(n,)=,u(n,),，求对于任意输入序列,x(n,),的输出,y(n,),，并检验系统的因果性和稳定性,。,解：,由于,n0,时，,h(n,)=0,，所以系统是因果系统,因为当,n-k0,的方向递推，是一个因果解,。,对于差分方程，其本身也可以,向,n0,的方向递推，得到的是非因果解,。,因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。下面就是向,n0,，,求输出序列,y(n),。,解,n=1,时，,n=0,时，,n=-1,时，,n=n,时，,y(n-1)=a,-1,(y(n)-(n),y(0)=a,-1,(y(1)-(1)=0,y(-1)=a,-1,(y(0)-(0)=-a,-1,y(-2)=a,-1,(y(-1)-(-1)=-a,-2,y(n-1)=-a,n-1,将,n-1,用,n,代替，得到,y(n)=-a,n,u(-n-1),例,1.4.3,设系统用一阶差分方程,y(n)=ay(n-1)+x(n),描述，初始条件,y(-1)=1,，,试分析该系统是否是线性非时变系统。,解 如果系统具有线性非时变性质，必须满足,y(n,)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n)(1.3.4),和,y(n-n0)=Tx(n-n0)(1.3.5),下面通过设输入信号,x,1,(n)=(n),，,x,2,(n)=(n-1),和,x,3,(n)=(n)+(n-1),来检验,系统是否是线性非时变系统。,(1)x,1,(n)=(n),，,y,1,(-1)=1,y,1,(n)=ay,1,(n-1)+(n),这种情况和例,1.4.1(2),相同，因此输出如下式：,y,1,(n)=(1+a)a,n,u(n),(2)x,2,(n)=(n-1),，,y,2,(-1)=1,y,2,(n)=ay,2,(n-1)+(n-1),n=0,时，,n=1,时，,n=2,时，,n=n,时，,y,2,(0)=ay,2,(-1)+(-1)=ay,2,(1)=a y,2,(0)+(0)=1+a,2,y,2,(2)=a y,2,(1)+(1)=(1+a,2,)a,y,2,(n)=(1+a,2,)a,n-1,y,2,(n)=(1+a,2,)a,n-1,u(n-1)+a(n),(3)x,3,(n)=(n)+(n-1);y,3,(-1)=1,y,3,(n)=a y,3,(n-1)+(n)+(n-1),n=0,时，,n=1,时，,n=2,时，,n=n,时，,y,3,(0)=a y,3,(-1)+(0)+(-1)=1+a,y,3,(1)=a y,3,(0)+(1)+(0)=1+a+a,2,y,3,(2)=a y,3,(1)+(2)+(1)=(1+a+a,2,)a,y,3,(n)=(1+a+a,2,)a,n-1,y,3,(n)=(1+a+,a,2,)a,n-1,u(n-1)+(1+a)(n),由情况,(1),和情况,(2),，得到,y,1,(n)=T,(n),y,2,(n)=T,(n-1),y,2,(n)y,1,(n-1),因此该系统不是时不变系统。再由情况,(3),得到,y,3,(n)=T,(n)+(n-1),T,(n),+T,(n-1),y,3,(n)y,1,(n)+y,2,(n),一些关于差分方程的结论：,一个差分方程不能唯一确定一个系统,常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的,不一定是因果的,不一定是稳定的,1.5模拟信号数字处理方法,在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图,1.5.1,所示。图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采样定,理和采样恢复。,图,1.5.1,模拟信号数字处理框图,连续时间,信号,离散时间,信号,采样,内插,信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；,经过采样后信号内容会不会有丢失；,如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。,1.5,模拟信号数字处理方法,对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关,S,。,设电子开关每隔周期,T,合上一次，每次合上的时间为,/T,区域,有较多的高频分量，,表现在时域上，,就是恢复出的模拟信号是台阶形的。,因此需要在,D/AC,之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在图,1.5.1,模拟信号数字处理框中，最后加平滑滤波的原因。,虽,然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。,连续时间,信号,离散时间,信号,采样,内插,信号经过采样以后，采样信号频域和时域的变化,经过采样后信号内容会不会有丢失；,如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。,模拟信号数字处理方法问题回答,模拟信号数字处理方法问题回答,-1,信号经过采样以后，时域和频域发生一些什么变化？,采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以,s,为周期，进行周期性延拓而成的。,模拟信号数字处理方法问题回答,-2,经过采样后信号内容会不会有丢失；,采样定理：,要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率（,s,2,C,）。,由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个：,1.,采样频率低,2.,连续信号的频谱没有被限带,模拟信号数字处理方法问题回答,-3,如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。,采样内插公式说明：只要满足采样频率高于两倍信号最高截止频率，则整个连续时间信号就可以用它的采样值来完全代表，而不会丢失任何信息。,