高量8-狄拉克方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,这里主要讨论符合相对论要求的单电子（自旋,1/2,）,的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相对论量子,力学为主。主要内容有：,1.,建立狄拉克方程以及若干有关的概念，为进一步,学习全面的相对论理论打基础；,2.,以单电子为研究对象，给出其哈密顿，求得狄拉,克方程的严格解。,在本章的处理中电磁场仍看作外场，并按照经典场,处理。,第三章 狄拉克方程,15,电子的相对论运动方程,1,15.2,克莱因,-,高登方程和狄拉克方程,不符合狭义相对论要求，因为其中的,H,是根据经典,非相对论分析力学写出来的,.,现在任务是改写这个,原理中的运动方程，使之符合相对论的要求。,在前面所介绍的量子力学的五个基本原理中，,只有原理,4,，即,微观系统的状态 随时间的变化规律是薛定,谔方程,2,将此式与经典单粒子的动能与动量的关系式,一,.,克莱因,-,高登方程的推导,按照相对论的时空对等性要求和方程在洛伦兹变换,下的不变性要求，我们在坐标表象下讨论这个问题。,相比较，发现 与 相对应，而 与,相对应。,在坐标表象下，外场下单粒子的薛定谔方程为,第一个相对论运动方程正是仿照这种对应方式而,得到的。,3,根据相对论关系,并考虑上述对应关系,这个方程称为,克莱因,-,高登方程,。,在克莱因,-,高登方程提出后立即发现其有许多问题：,(1),不是正定的,无法解释为粒子的位置概率；,(,令,若对任意,则 为正定,),并对任意波函数发生作用，有,4,(5),这一方程除了,V=0,的自由形式外，无法纳入量子,力学已有的体系之中，即无法写成含时薛定谔方,程的形式。,(2),总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成,严重的困难。因为在量子理论中存在自发跃迁的,概念，因而这个方程的所有定态解将不断自发辐,射到 的能级；,(3),这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需,要初始时刻的 外,还需要 作为初始条件；,(4),用此方程计算,H,原子能级与实验值符合得不好；,5,总之，克,-,高方程无法纳入现有量子力学的框架，而,且至少对于电子是不适用的。然而又不能简单地否定。,因为：,（,1,）这个方程的非相对论极限 正是薛定谔方程,（,2,）从这一方程可以导出一个连续性方程,其中,6,而上述流密度表达式与非相对论的表达式,十分相似。,如此看来，既然克莱因,-,高登方程符合相对论的要,求，那么很可能是态函数不对：,即态函数虽然满足克,-,高方程，但还要满足另一个比此方程要求更高的方程。,这个要求更高的方程就是狄拉克方程。,7,二,.,狄拉克方程,基于克,-,高方程的上述情况，狄拉克开始他寻找这,个方程的工作。他希望,（,1,）这首先是一个对时间的一阶方程，以便纳入,已有的量子力学框架；,（,2,）同时又要求它的解仍然满足克,-,高方程。,于是狄拉克假设,自由电子,正确的相对论方程应取下,列形式：,或简写成,8,式中 和 是四个与时间和位置无关的待,定常量,c,是光速。引人,c,的目的是保证 无量纲。,为了使满足此方程的态函数仍能满足克,-,高方程，用,从左边作用到（,15.5,）上，并与克,-,高方程（,V=A=0,）,相比较，得待定常数应满足,9,其中对于自由电子，有,既是时间和位置的一阶方程，其解 又满足克,-,高方程。,（具体过程看曾谨言,量子力学,卷,II p349,）,在此情况下,式,上式就称为狄拉克方程。写成含时薛定谔,方程形式为,10,若 不含时间，则狄拉克方程也有定态解,而 满足,从（,15.9,）式可以看出，显然不可能是普通,的数，除了满足下式，,还应该是厄米的，以保证哈密顿算符的厄米性。,对电磁场中的电子，有,11,由于哈密顿算符的构成单元 与单电子,哈密顿算符的构成单元 有很大差别，算,符 的作用空间显然不是单电子的函数空间，而,是另外一个新的空间。,这样，电子的态函数 应是在单电子的函,数空间和这新的空间的直积空间中的矢量。下一节,我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系的。,以后我们把 笼统地写成 ，以强调它不,是单纯的时空的标量函数，而是这种标量函数空间,和另一个空间的直积空间中的矢量。,12,三,.,狄拉克方程的协变形式,概念：,(1),罗仑兹变换,在洛仑兹变换下具有确定的变换性质。,(2),协变,为了展示方程的相对论不变性，常把方程写成协,变的形式。为此，令,13,（这些算符在后面的推导中非常重要）,将狄拉克方程写成如下形式,定义,4D,形式的动量算符为,并且定义四个新的算符,用 左乘（,15.12,）式，利用,14,可证明（这里不证）,Dirac,方程在洛伦兹变换、空,间反演和时间反演下确实是协变的。,这样就得到狄拉克方程的协变形式,式,引进的四个新算符 满足以下关系,15,再定义 ：,则有,称为 算符。由于常以矩阵的形式出现，又常之,为 矩阵。,既然 都是厄米算符，根据前面的定义，算符和 算符也是厄米的。此外由厄米性及式,可知四个 算符以及 都是幺正的。,(15.13),式,代入,16,15.3,自旋算符,前面在建立,Dirac,方程的过程中引入了算符 ，,这就是说，在整体运动的位形,Hilbert,空间之外又发现了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。,一,.,自旋算符的寻找,1.,从对易关系入手,设电子的自旋算符为,S,，它应满足角动量对易关系和自旋算符的反对易关系。,令 ，则 的三个分量应满足,17,为了寻找满足这些关系的,（也称自旋算符），,试用 来构造。,由前面所得结论可知，算符 满足,但不满足,若取两个 的乘积，肯定满足（,15.19,）式：,注意：,c,是待定常数，不是光速！,为使（,15.18,）式得到满足，,c,可以是,i,。,18,对于,因为,所以只要取 ，则找到了满足正确对易关系的自旋算符：,也可写成紧凑的形式,容易验证，上式即,19,利用式,可推知反过来的关系,对于上面给出的算符，容易证明,2.,一些算符的关系,此外，有,20,利用,设,A,B,是位形空间的算符，因而与新的自旋空间的算符 对易，即,以上各式利用有关算符的定义及算符的运算公式比较容易推出。,另外还有,21,1.,自旋角动量是否守恒量？,二,.,自由电子的守恒量,已知自由电子的哈密顿为,所以自由电子的自旋并不是守恒量。,利用,利用,22,2.,轨道角动量是否守恒量？,所以自由电子的轨道角动量不是守恒量。,23,3.,总角动量是否守恒量？,由前可知，对角动量,所以总角动量是守恒量。对于自由电子，这是一个,必然的结果，这说明自旋算符的构造 是正确的。,4.,自由电子的动量,P,是否守恒量？,由 前可知,故自由电子的动量,P,显然是守恒量。,24,利用,5.,自由电子的螺旋度是否守恒量？,定义螺旋度为自旋在动量方向上的投影，即,所以自由电子的螺旋度是一个守恒量。,25,16,矩阵,16.1,矩阵的维数,求自旋空间的维数，可借助于有限群的知识，,这里只做简单的介绍。,以 算符乘法为群乘，以 为生成元，,取它们的各种乘积为群元，由 满足下列关系,在建立狄拉克方程的过程中，出现了一个新的,空间,自旋空间。这一节我们从五个 算符的对,易关系入手找出这个空间的维数，进一步求出这,些算符的矩阵表示。,26,由群论的不可约表示（不再介绍）方法，可以发现,这个狄拉克群有一个,4,维的不可约表示。这个,4,维的表,示空间正是我们所寻找的 算符所在的自旋空间。,群元肯定是有限个。按照群元的构成分，可写为,一共,32,个。这,32,个元构成一个群，称为,Dirac,群。,27,16.2,矩阵的各种表示,一,.,矩阵构造的准备工作,前面所介绍的泡利矩阵,满足下面的关系,上一节我们已经知道 算符所在的空间是,4D,的，,算符 的表示都应是,4,4,矩阵。下面用一个,比较系统的方法求出 矩阵的各种表示。,28,我们的目的是寻找四个矩阵，使之满足式,这时应把,Pauli,矩阵理解为三个形式不变的矩阵，而,脱离与自旋的关系。因为,Pauli,矩阵是在,S,z,表象中给,出的，表象不同，表示当然也不同。,现在不可能再找出一个,2,2,矩阵与,Pauli,矩阵满足反对易关系,但可以利用矩阵直积构造几个,4,4,矩阵。,以求得 。,29,上两式中，处于矩阵元地位的 是,2,2,矩阵,(Pauli),，,1,代表,2,2,单位矩阵，而,i,代表,2,2,单位矩阵乘以,i,。,升格为,4,4,矩阵后，可以验证三个 仍是平方为,1,和反对易的，三个 也是如此。下面证明：,30,利用矩阵直积运算规则，有,可见,同理有,而,且,31,二,矩阵的构造,利用前面所得的,4,4,矩阵 ，寻找四个平方为,1,而又互相对易的矩阵。方法如下：,1.,写出 的,9,个乘积：,显然，由于 都是对易的，上面的三个横行中，每行的三个矩阵都是彼此反对易而平方为,1,三个竖列中每列的三个矩阵也是如此。例如第一行，令,32,则,但,所以各矩阵平方和为,1.,即,A,1,，,A,2,是反对易的。,33,2.,补齐上述乘积中各行、列的元素,在第一行中再加入一矩阵,它与前面的三个矩阵互相反对易，且,再在后面加一个矩阵,它与原有的三个矩阵及 都反对易，且,这样在第一行中，我们找到了,5,个平方为,1,，互为反对易的,4,4,矩阵。,34,其它各行、列都可以分别补上两个矩阵，成为,5,个一组的平方为,1,、互相反对易的矩阵。,赋予其中四个以 ，剩下的那个冠以正负号就是 。,详见下表：,35,4,5,6,1,2,3,在上表中，我们把第,1,、,2,、,3,行称为第,1,、,2,、,3,组，,而把第,1,、,2,、,3,列称为第,4,、,5,、,6,组，每组有,5,个平方为,1,而又互相反对易的,4,4,矩阵,每个矩阵都是厄米和幺正的，而每一组中的,5,个矩阵都可以随意令它们为,（加以适当的正负号）。,矩,阵,的,各,种,表,示,36,三,.,矩阵的确定,在不同的文献中，不同的表象选用不同的 矩阵，教材中都有介绍。这里介绍两组比较通用的标准表象或,Pauli-Dirac,表象，其中第一组给 ，,第二组给出 。见下表,Pauli-Dirac,表象中的,37,注意教材中的符号错误,Pauli-Dirac,表象中的,上表所确定的 矩阵是比较常用的，称为,Pauli-Dirac,表象或标准表象，其特点是 是对角的：,而 矩阵具有下列形式,38,可得,自旋算符的矩阵形式是对角的：,利用,注意：算符 代表物理量，在不同表象中矩阵形式是不同的，与前面提到的形式不变的,4,4,矩阵不同。,在讨论单电子的,Dirac,方程时，绝大多数使用,Dirac-Pauli,表象，其它表象多用在量子场论中。,39,17,自由电子,Dirac,方程的严格解,一,.Dirac-Pauli,表象下的算符和态矢量,在,Dirac-Pauli,表象下，,写成,4D,形式，有,40,若有外场，则,Dirac,方程可以写为,自旋算符写为,在,Dirac-Pauli,表象中，上面的,Dirac,方程中态函数,是函数空间与,4D,的自旋空间二者直积空间中的矢量，,其一般形式可写成一列矩阵，矩阵元是,x,y,z,的函数,:,41,对自由电子，,Dirac,方程变为,1.,厄米算符完备组的确定,(17.6),式形式的量为旋量,而,(17.5),式形式的量为双旋量。,有时也把,4D,的一列矩阵写成一个二维矩阵，其两个矩,阵元 又分别是两,2D,矩阵：,二,.,自由电子的,Dirac,方程的求解,42,因,V=0,，故可令,代入上式，得 满足的定态狄拉克方程,的本征矢量。,即 是自由电子哈密顿,然而对于自由电子来说，这样的本征矢量是,高度简,并,的,为求出确切的态矢量,应当找一组包括,H,在内的厄米算符完备组,去求这组厄米算符的共同本征矢量。,43,前面我们讲过，自由电子的动量 和螺旋度 都是守,恒量，其中,这样可以选择包括 在内的厄米算符完备组。位置空间和自旋空间的自由度都包括了。,2.,共同本征矢量的求解,先求 的本征函数,即,44,在,xyz,表象中，取 得本征值 可为任何实矢量，而 的位置函数部分均应为 ，即,式中 分别是不含,x,y,z,的,2D,的一列矩阵。利用式 ，由 得,令 同时又是 的本征矢量，以便定出 。,上式右边的,1,是由这一方程的久期行列式定出的,c,值，与自旋在任何空间的投影都是 一致。,45,即,满足的方程形式上相同，其解最多可以相差一,常数。,由上式得,2,2,矩阵方程,现在求 。令,则上述,2,2,矩阵方程成为,将式,代入整理，得,46,取,p,的方向为 ，则上式可化为,代回式 得,正本征值对应,负本征值对应,其解为 正本征值,负本征值,47,这里已把 写成比较对称的形式，并且已经归一,化。将上式代回式,这是 的共同本征矢量，上号的本征值是,下,号的本征值是 。下面的任务是决定常数 。,中,并记住,只差一个常数,.,若将此常数,写为,则,48,令 是哈密顿的本征矢量，则,是哈密顿的本征值，即电子的本征能量。,又,由式 得,可将上述本征值方程写为下列形式,49,其久期方程是,解之得电子的能量,从而给出 的解为,取,则,50,将 代入,(17.17),式并注意到 ，最后得到,的本征值及共同本征矢量如下：,本征值 本征矢量,其中,N,为归一化系数,51,由此得出结论：,在相对论理论中，自由电子的态函数在位形空间中,与非相对论相同，仍然是平面波，而在新的,4D,自旋,空间中是一列矩阵,.,下标表示能量,E,的符号及自旋,S,z,的方向。,当动量本征值取,z,轴方向，即 时，这一列矩,阵成为（见上表的自旋波函数 ）,52由 知，低能极限时，由此可以看,出，在,Dirac-Pauli,表象中，自旋空间的四个基矢为,前两个描写正能态，后两个描写负能态；对于自由电子的态矢量,(17.21),式，的状态中有少量负能态叠加在其上，同样 状态中也有少量正能态成分。,53,三,.,关于负能态的问题,上面只是形式地解,Dirac,方程。事实上在相对论经,典力学中，一切粒子的总能量都是正的，总能为负的,粒子并不存在，然而在前面的解中有一半是负能态。,简单地摈弃负能态是不行的，因为这样破坏其完全,性；但也不能简单地承认负能态的存在，因为负能态,没有下限，如存在的话，处于正能态的粒子将成为不,稳定的，它们将通过跃迁，特别是自发跃迁不断地落,入能量较低的负能态中。,54,狄拉克本人提出了一个理论，认为负能态是存在的，,但已充满了电子。由于,Pauli,不相容原理，正能态的电,子不会再落入负能态去；而负能态的电子海是不能被,观察到的。,相反如果在负能态的电子海中出现一个能量为,-,E,，,动量为,螺旋度为,+,态的空缺（即在 态上缺少一,个电子），则能观察到一个能量为,+,E,动量为 而螺,旋度仍为正（即自旋也改变了方向）的带正电荷的粒,子。这一理论称为空穴理论。这就从理论上预言了正,电子的存在。,55,由于时间关系，氢原子的求解不再介绍。,虽然不久之后果然发现了正电子，但空穴理论只是,一个过渡性理论。从电荷的角度看，弥漫全空间的负,电荷无法观察。这种说法虽然可以接受，但从质量的,角度则是无法接受的,.,在也是,Dirac,为之奠基的量子电动力学中，并不需要,空穴和电子海的概念。量子电动力学目前已经相当完,善，它是关于电子和正电子的圆满的、全面的和符合,实验的理论。,56,感谢各位同学,对教学工作的配合！,57,