大学高等数学经典课件8-8.ppt

高等数学电子教案,武汉科技学院数理系,第八节 多元函数的极值及其求法,在实际问题中常常遇到多元函数的最值问题,.,在一元函,数的微分学中,我们曾经用导数求解极值和最值问题,;,现,在讨论如何利用偏导数来求多元函数的极值与最值,讨论,时以二元函数为例,其结论可类似地推广到三元及三元以,上的函数,.,一.,多元函数的极值及最大值,最小值,多元函数极值的定义,定义 设函数,z=f(x,y),在点,(,x,0,y,0,),的某个邻域内有定义,如果对,于该邻域内不同于,(,x,0,y,0,),的任何点,(,x,y),都有,f(x,y)f(x,0,y,0,)，,则称函数,f(x,y),在点,(,x,0,y,0,),处有极大值,(,极小值,),极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点,.,(0,0),处函数值为,R;,而在,(0,0),邻域内,，(,0,0),的点的函数,值都小于,在点,(0,0),处有极小值,.,因为在任何不,在点,(0,0),处有极大值,因为在,与,z,轴的交点,.,例1,同于(0,0)的点处的函数值都大于函数在(0,0)处的值.从几何图形上看这是显然的.因为点(0,0)是圆锥,在（0，0）处的顶点。,.例2 函数,R.,事实上(0,0,R),是上半球面,例3,函数,z=-2xy,在点,(0,0),处不取得极值,.,因为在,(0,0),点的任,一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点,.,2.,极值存在的必要条件和充分条件,与一元函数类似,我们用偏导数来判定二元函数的极值,.,定理,1(,极值存在的必要条件,),设函数,z=f(x,y),在点,(,x,0,y,0,),处,可微分且在点,(,x,0,y,0,),处有极值,则在该点的偏导数必然为零,.,证明,:,只就极大值的情形加以证明,.,因为函数,z=f(x,y),在点,(,x,0,y,0,),处有极大值,所以对于,(,x,0,y,0,),的,某个邻域内不同于,(,x,0,y,0,),的任一点,(,x,y),有,f(x,y)f(x,0,y,0,),特别在该邻域内取点,(,x,y,0,)(xx,0,),则上面不等式变为,f(x,y,0,)f(x,0,y,0,).,这表明一元函数,f(x,y,0,),在,x=x,0,处取极大值,.,因此有,f,x,(x,0,y,0,)0，,从几何上看,这时如果曲面,z=f(x,y),在点,=0,同理,f,y,(x,0,y,0,)=0,成为平行坐标平面,xoy,的平面,.,使,处有切,函数,z=f(x,y),在点,平面,则切平面的方程,上面定理提供了寻找极值点的途径,对于可微函数,如果有,极值点则极值点一定是驻点,;,但是上面的条件并不是充分的,.,即函数的驻点不一定是极值点,.,如例,3,中的函数,z=-2xy,(0,0),是,其驻点,可是函数在这点并不取得极值,.,另外,定理只是说明可,微函数的极值点必定是驻点,即对于可微函数,找极值点只须,在其所有驻点中去找,.例1,说明函数不可微点也可能是函数的,极值点,因此寻找可能的极值点,只须在驻点和不可微点中去,寻找,.,同时成立的点称为函数的驻点,.,下面定理回答了驻点在什么条件下成为极值点,.,定理,2(,极值存在的充分条件,),设函数,z=f(x,y),在点,(,x,0,y,0,),的某,一个邻域内连续,且有连续的一阶,二阶偏导数,f,x,(x,0,y,0,)=0,f,y,(x,0,y,0,)=0,记,A=,f,xx,(x,0,y,0,)=0,B=f,xy,(x,0,y,0,)=0,C=f,yy,(x,0,y,0,)=0.,则:,(1)当=,B,2,-AC0,时有极值,且当,A0,时,有极小值,;,(2)当=,B,2,-AC0,时,(,x,0,y,0,),不是极值点,.,(3)当=,B,2,-AC=0,时,函数在,(,x,0,y,0,),可能有极值,也可能没有极值,需要讨论,.,定理证明从略,.,第一步 解方程组,f,x,(x,y)=0,f,y,(x,y)=0.,求出所有的实数解,即得一切驻点,;,第二步 对于每个驻点,(,x,0,y,0,),求出二阶偏导数,A,B,和,C;,第三步 由,=,B,2,-AC,的符号判断驻点是否为极值点,若是,极大值还是极小值,;,第四步 求极值点处的函数即得所求极值,.,3.,极值的求法,利用定理,1,和定理,2,可得到具有二阶连续偏导数的函数,z=f(x,y),的极值的步骤,:,z=0,例4,求函数的极值,二 最大值和最小值,由连续函数性质知,函数在有界闭区域,D,上连续,则函数在,D,上,一定有最大值和最小值,.,和一元函数一样,多元函数的最大值和,最小值可能在,D,内取得,也可能在,D,的边界上取得,.,因此,求可微,函数的最值的一般方法是,:,求出函数,f(x,y),在,D,内所有的驻点处,的函数值及在,D,的边界上的最大值和最小值,把它们加以比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值,.,有时根据问题的实,际意义或性质,知道函数的最大值,(,最小值,),一定在区域,D,内取得,那么没有必要求函数在,D,的边界上的最大值,(,最小值,),只须,求出,D,内的驻点处的函数值,并加以比较,最大的就是最大,值,;,若只有一个驻点,那么驻点处的函数值就是函数在,D,上,的最大值,(,最小值,).,例5,作一个三角形,使得它的三个角的正弦乘积最大,.,解:,设三角形三个角度分别为,x,y,-(x+y),先不妨设,由于在边界上,函数值为,0.,在闭区域内函数值,0.,所以最大值,一定,在区域内得到,.,解方程组,得到,x=y=/3.,所以等边三角形为最大,.,最大值为,例6,要用钢板做一个体积为,2,立方米的有盖长方体水箱,问,当长,宽高各取怎样的尺寸时,用料最节省,.,解:,设水箱的长为,x,米,宽为,y,米,则其高应该为,2/,xy,米.,此水箱,所用的材料面积为,三 条 件 极 值,(1),其中,x,y,z,须满足约束条件,xyz=2(,米,3,),(2),依题意,例6,成为求,(1),式满足条件,(2),的最小值,.,这类附有,条件限制的极值问题称为条件极值在一些极值或最值问题中,函数的各自变量之间还会受到另外一些条件的限制,例如例,6,若设长方体水箱的长,宽,高分别为,x,y,z(,米),则表面积为,A=2(xy+yz+xz),问题,.,解条件极值问题的一个办法是化为无条件极值,即普通极值,问题例如由,(2),得到,z=2/xy,代入,(1),象例,6,那样去解普通极值问题,.,但是对于一般的条件,(x,y,z)=0,解出其中的某个变量,有时,是复杂的,困难的,甚至是不可能的,.,例如,不能显化的隐函数,就是这样,.,下面我们介绍,Lagrange,乘数法是求解条件极值的,常用方法,.,例如要求函数,u=f(x,y,z,t)(3),在约束条件,(x,y,z,t)=0,和,(x,y,z,t)=0 (4),下的极值,.,我们由,(3)和(4),先构成,Lagrange,函数,其中,1,2,称为,Lagrange,常数,求,L,对其各变元的偏导数,并,令其为,0,并和条件,(4),联列,组成方程组,即,是否极值点由实际问题的本身的性质来判断,.,由此可见,应用,Lagrange,乘数法,把求,(3),在条件,(4),的约束下的条件极值问,题,转化成求函数,(5),的无条件极值的驻点问题,这样就解决,了隐函数显化的困难,.,就是可能的极值点的坐标,方程组（6）的解,例6,要用钢板做一个体积为,2,立方米的有盖长方体水箱,问,当长,宽高各取怎样的尺寸时,用料最节省,.,解:,设水箱的长为,x,米,宽为,y,米,则其高为,z,米.,此水箱所用的,材料面积为,A=2(xy+yz+xz)(1),和,xyz=2(,米,3,)(2),我们构造,Lagrange,函数,例7.,在已知的椭球面内一切内接的长方体,(,各边分别平行坐,标轴,)中,求其体积最大的,.,椭球面方程为,