ch1函数与极限.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第一章,分析基础,函数,极限,连续,研究变量,研究对象,研究方法,研究桥梁,函数与极限,目录,第一节函数,第二节极限的概念,第三节极限的运算法则和性质,第四节极限存在准则与两个重要极限,第五节无穷小与无穷大,第六节连续函数的概念与性质,第七节极限的应用,第八节极限定义精确化,第一章,第一节 函数,一 集合,二 区间,三 函数,四 函数性质,五 反函数,六 复合函数,七 初等函数,一、集合,定义,具有某种特定性质（任意指定）的事物的总体称为,集合,.,组成集合的事物称为,元素,.,不含任何元素的集合称为,空集,记作,.,简称,集,简称,元,元素,a,属于集合,M,记作,元素,a,不属于集合,M,记作,(,或,).,表示法,：,(1),列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素,.,例,:,有限集合,自然数集,(2),描述法,：,x,所具有的特征,例,:,整数集合,或,有理数集,p,与,q,互质,实数集合,x,为有理数或无理数,二、区间与邻域,特殊数集,开区间,闭区间,半开区间,无限区间,点的,邻域,其中,a,称为邻域中心,称为邻域半径,.,去,心,邻域,左,邻域,:,右,邻域,:,三 函数及其表示法,某校,学生的集合,学号的集合,按,一定规则查号,某,班学生的集合,某教室座位,的集合,按,一定规则入座,定义域,1.,函数的概念,设,x,和,y,为两个变量数集,若按某对应法则,对,D,上的,每个数,x,变量,y,都有唯一确定的值与它对应，则称,f,为,D,上的函数,记为,称为值域,函数图形,:,自变量,因变量,(,对应规则,),(,值域,),(,定义域,),定义域,对应规律,的表示方法,:,解析法,、,图象法,、,列表法,使表达式或实际问题有意义的自变量集合,.,如,绝对值函数,定义域,值 域,对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域,.,对,实际问题,书写函数时必须写出定义域；,自然定义域,四 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1),有界性,使,称,使,称,说明,:,还可定义有上界、有下界、无界,.,为,有界函数,.,在,I,上,有界,.,如：,y=,sinx,，故该函数有界,(2),单调性,使,若对任意正数,M,均存在,称 为,有上界,称 为,有下界,当,称,为,I,上的,称,为,I,上的,单调增函数,;,单调减函数,.,y=x,3,y=1/x,x0,对区间,I,内任意两点,x,1,，,x,2,(3),奇偶性,且有,若,则称,f,(,x,),为,偶函数,;,若,则称,f,(,x,),为,奇函数,.,说明,:,若,在,x,=0,有定义,为,奇函数,时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,注意：,奇函数关于原点对称；偶函数关于,y,轴对称；,奇奇奇；偶,+,偶偶；,奇,*,/,奇偶；偶,*,/,偶偶；奇,*,/,偶奇；,奇,+,偶非奇非偶；,(4),周期性,且,则称,为,周期函数,若,称,l,为,周期,(,一般指,最小正周期,).,周期为,周期为,注,:,周期函数不一定存在最小正周期,.,例如,常量函数,对于函数,f,（,x,），如果存在一个不为零的数,l,，使得定义域内任何,x,值,五 反函数,(1),反函数的概念及性质,若函数,y=,f(x,),，定义域为,D,，值域为,W,，若对,W,中的每一个,y,，按照对应法则 ，都在,D,中有唯一确定的,x,与它对应则,习惯上,的反函数记成,称此,映射,为,f,的,反函数,.,其反函数,(,减,),(,减,).,1),y,f,(,x,),单调递增,且也单调递增,性质,:,2),函数,与其反函数,的图形关于直线,对称,.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,其,图形关于直线,对称,.,指数函数,2),函数,与其反函数,的图形关于直线,对称,.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,其,图形关于直线,对称,.,指数函数,常见函数与反函数：,幂函数与幂函数：,y=,x,n,y=x,1/n,指数函数与对数函数：,y=a,x,y=,log,a,x,y=e,x,y=,lnx,三角函数与反三角函数：,y=,tanx,y=,arctanx,y=,cosx,y=,arccosx,y=,sinx,y=,arcsinx,y=,cotx,y=,arccotx,y=,secx,y=,arcsecx,y=,cscx,y=,arccscx,六 复合函数,则,设有函数链,称,y,为,f,和 的,复合函数,u,称为,中间变量,.,注意,:,构成复合函数的条件,不可少,.,例如,函数链,:,但可,定义复合函数,时,虽不能在自然域,R,下构成复合函数,可定义复合函数,当改,两个以上函数也可构成复合函数,.,例如,可定义复合函数,:,约定,:,为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件,.,七 初等函数,(1),基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2),初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为,非初等函数,.,例如,并可用,一个式子,表示的函数,经过,有限次,四则运算和复合步,骤所构成,称为,初等函数,.,可表为,故为,初等函数,.,又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数,.,非初等函数,举例,:,符号函数,当,x,0,当,x,=0,当,x,0,取整函数,当,作业题,:,1.,（,1,）（,3,）,2.,（,1,）（,3,）,5.,（,1,）,9.,10.,（,1,）,11.,（,1,）,12.,（,1,）,13.,（,1,）,（,1,）,P12,第一章,第二节 极限的概念,一 数列极限,二 函数极限,一、数列极限,引例,.,设有半径为,r,的圆,逼近圆面积,S,.,如图所示,可知,当,n,无限增大时,无限逼近,S,.,用其内接正,n,边形的面积,刘徽,(,刘徽割圆术,),定义,:,自变量取正整数的函数称为,数列,记作,或,称为,通项,(,一般项,).,若数列,及常数,a,有下列关系,:,当,n,无限增大时,x,n,无限接近,于常数,a,记作,此时也称数列,收敛,否则称数列,发散,.,几何解释,:,或,则称该数列,的极限为,a,x,1,x,2,x,3,x,n,?,1.8,例如,趋势不定,收 敛,发 散,注意：,若,等比数列,的极限为,0.,例：,对于：,收敛数列的性质,1.,收敛数列的极限唯一,.,2.,收敛数列一定有界,.,3.,收敛数列具有保号性,.,若,且,有,*,4.,收敛数列的任一子数列收敛于同一极限,.,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,由此性质可知,若,数列有两个子数列收敛于不同的极,限,例如，,发散,!,则原数列一定发散,.,说明,:,第一章,一,),自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式,:,二,),自变量趋于无穷大时函数的极限,本节,内容,:,二、函数的极限,一）、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时,函数极限的定义,引例,.,测量正方形面积,.,面积为,A,),边长为,(,真值,:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度,要求,确定直接观测值精度,:,定义,1.,设函数,在点,的某去心,邻域内有定义,当,时,有,则称常数,A,为函数,当,时的,极限,或,即,若,记作,极限存在,函数局部有界,这,表明,:,几何解释,:,例,1.,证明,证,:,因此,例,2.,证明,证,:,因此,当,时,有,例,3.,证明,证,:,因此,当,时,有,注意：基本初等函数在其定义域内任一点,x,0,都有，,2.,左极限与右极限,左,极限,:,右极限,:,定理,3.,x,从左侧趋近,x,0,，即,x x,0,例,5.,给定函数,讨论,时,的,极限是否存在,.,解,:,利用定理,3.,因为,显然,所以,不,存在,.,定义,2,.设函数,则称常数,时的,极限,几何解释,:,记作,直线,y,=,A,为曲线,的水平渐近线,.,A,为函数,二）、自变量趋于无穷大时函数的极限,充分大时，,直线,y,=,A,仍是曲线,y=f,(,x,),的渐近线,.,两种特殊情况,:,几何意义,:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,定理,4.,例,6.,证明,证,:,因此,注,:,思考与练习,1.,若极限,存在,2.,设函数,且,存在,则,是否一定有,第四节,？,作业题,:,1.,（,1,）、（,3,）,2.,（,1,）、（,3,）,4.,（,1,）、（,3,）,5.,P20,第一章,第三节,极限运算法则和性质,一、极限的四则运算法则,极限记号：,lim,含义：表示自变量,x,取如下六个变化中的一个：,推论,:,若,且,则,说明,:,可推广到有限个函数相加、减的情形,.,则有,定理,.,若,定理,.,若,则有,说明,:,定理,4,可推广到有限个函数相乘的情形,.,推论,1.,(,C,为常数,),推论,2.,(,n,为正整数,),定理,.,若,且,B,0,则有,例,.,设,n,次多项式,试证,证,:,定理,.,若,则有,提示,:,因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由,定理,3,4,5,直接得出结论,.,x,=3,时分母为,0!,例,3.,设有分式函数,其中,都是,多项式,试证,:,证,:,说明,:,若,不能直接用商的运算法则,.,例,4.,若,例,5.,求,解,:,x,=1,时,分母,=0,分子,0,但因,例,6,.,求,解,:,分子分母同除以,则,“,抓大头,”,原式,一般有如下结果：,为非负常数,),复合函数的极限运算法则,定理,.,设,且,时,又,则有,，但,说明,:,若定理中,则类似可得,例,.,求,解,:,令,原式,=,例,.,求,解,:,方法,1,则,令,原式,方法,2,3.,求,解法,1,原,式,=,解法,2,令,则,原,式,=,4.,试确定常数,a,使,解,:,令,则,故,因此,二、极限的性质,1.,收敛数列的极限唯一,.,2.,收敛数列一定有界,.,说明,:,此性质反过来不一定成立,.例如,虽,有界但不收敛,.,数列,3.,有极限的函数（收敛数列）具有保号性,.,4.,收敛数列的任一子数列收敛于同一极限,.,小结,1.,极限运算法则,(1),极限四则运算法则,(2),复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.,求函数极限的方法,(1),分式函数极限求法,时,用代入法,(,要求分母不为,0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2),复合函数极限求法,设,中间变量,思考及练习,1.,是否存在,?,为什么,?,答,:,不存在,.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与,已知条件,矛盾,.,解,:,原式,2.,问,作业题,:,1.,（,1,）、（,3,）,、（,5,）,2.,（,1,）、（,3,）、（,5,）,P25,2.4,极限存在准则与两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,函数极限与数列极限的关系,定理,1.,有,定义,为确定起见,仅讨论,的,情形,.,有,1,、,夹逼准则,(,准则,1),2.,函数极限存在的夹逼准则,定理,.,且,(,利用定理,1,及数列的夹逼准则可证,),例,5.,证明,证,:,利用夹逼准则,.,且,由,3.,单调有界数列必有极限,定理,1.,有,定义,且,有,法,1,找一个数列,不存在,.,法,2,找两个趋于,的,不同数列,及,使,说明,:,此定理常用于判断函数极限不存在,.,圆扇形,AOB,的面积,二、两个重要极限,证,:,当,即,亦即,时，,显然有,AOB,的面积,AOD,的面积,故有,注,注,注,当,时,例,2.,求,解,:,例,3.,求,解,:,令,则,因此,原式,例,4.,求,解,:,原式,=,2.,说明,:,此极限也可写为,e,为无理数,其值为,例,6.,求,解,:,令,则,说明,：,若利用,则,原式,的,不同数列,内容小结,1.,函数极限与数列极限关系的应用,(1),利用数列极限判别函数极限不存在,(2),数列极限存在的夹逼准则,法,1,找一个数列,且,使,法,2,找两个趋于,及,使,不存在,.,函数极限存在的夹逼准则,2.,两个重要极限,或,注,:,代表相同的表达式思考与练习,填空题,(1,4),第七节,5.,如何判断极限不存在,?,方法,1.,找一个趋于的子数列,;,方法,2.,找两个收敛于不同极限的子数列,.,6.,已知,求,时,下述作法是否正确,?,说明理由,.,设,由,递推式两边取极限得,不对,!,此处,作业题,:,1.,（,1,）、（,3,）,、（,5,）,2.,（,1,）、（,3,）、（,5,）,P31,第一章,第五节,无穷小与无穷大,当,一、无穷小,定义,1.,若,时,函数,则称,函数,例如,:,函数,当,时为,无穷小,;,函数,时为,无穷小,;,函数,当,为,时的,无穷小,.,时为无穷小,.,说明,:,除,0,以外任何,很小的常数,都,不是无穷小,!,时,函数,(,或,),则称函数,为,定义,1.,若,(,或,),则,时的,无穷小,.,其中,为,时的,无穷小量,.,定理,.,(,无穷小与函数极限的关系,),证,:,二、无穷大,定义,2,.,函数,当,时为,无穷大,记作,无（负）穷大,注意,:,1.,无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态,.,2.,函数为无穷大,必定无界,.,但反之不真,!,例如,函数,但,不是无穷大,!,例,.,若,则直线,为,曲线,的,铅直渐近线,.,铅直渐近线,说明,:,三、无穷小与无穷大的关系,若,为,无穷大,为,无穷小,;,若,为,无穷小,且,则,为,无穷大,.,则,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为,无穷小来讨论,.,定理,2.,在自变量的同一变化过程中,说明,:,四、无穷小运算法则,定理,.,有限个无穷小的,和,还是无穷小,.,说明,:,无限个,无穷小之和,不一定,是无穷小,!,例如，,定理,.,有限个无穷小的,积,还是无穷小,.,定理,.,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,1,.,常数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,2,.,有限个无穷小的乘积是无穷小,.,例,1.,求,解,:,利用定理,2,可知,说明,:,y,=0,是,的,渐近线,.,第一章,都是无穷小,五,引例,.,但,可见无穷小趋于,0,的速度是多样的,.,无穷小的比较,定义,.,若,则,称,是比,高阶,的无穷小,若,若,若,若,或,设,是自变量同一变化过程中的无穷小,记作,则,称,是比,低阶,的无穷小,;,则,称,是,的,同阶,无穷小,;,则,称,是关于,的,k,阶,无穷小,;,则称,是,的,等价,无穷小,记作,例如,当,时,又如,，,故,时,是,关于,x,的二阶无穷小,且,定理,1.,证,:,即,即,例如,故,定理,2.,设,且,存在,则,证,:,例如,设对同一变化过程,为无穷小,说明,:,无穷小的性质,(1),和差取大规则,:,由,等价,可得简化某些极限运算的下述规则,.,若,=,o,(,),(2),和差代替规则,:,例如,例如,(,见下页,例,3),(3),因式代替规则,:,界,则,例如,例3.,求,解,:,原,式,例,4.,求,解,:,内容小结,1.,无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是,的,高阶,无穷小,是,的,低阶,无穷小,是,的,同阶,无穷小,是,的,等价,无穷小,是,的,k,阶,无穷小,2.,等价无穷小替换定理,常用等价无穷小,:,第八节,1.,极限运算法则,(1),无穷小运算法则,(2),极限四则运算法则,(3),复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.,求函数极限的方法,(1),分式函数极限求法,时,用代入法,(,要求分母不为,0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2),复合函数极限求法,设,中间变量,作业题,:2.,（,1,）、（,3,）,、（,5,）,P37,2.6,连续函数概念与性质,第一章,可见,函数,在点,一、函数连续性,定义,:,在,的,某邻域内有定义,则称,函数,(1),在点,即,(2),极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件,:,存在,;,且,有定义,存在,;,continue,若,在,某区间,上每一点都连续,则称它在该,区间上,连续,或称它为该,区间上的,连续函数,.,例如,在,上,连续,.,(,有理整函数,),又如,有理分式函数,在其,定义域内连续,.,在,闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,对自变量的增量,有,函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列,等价命题,:,初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,的,连续区间为,(,端点为单侧连续,),的,连续区间为,的,定义域为,因此它无连续点,而,例,2.,求,解,:,原式,例,3.,求,解,:,令,则,原式,说明,:,由此可见当,时,有,例,4.,求,解,:,原式,说明,:,若,则有,在,在,二、函数的间断点,(1),函数,(2),函数,不,存在,;,(3),函数,存在,但,不连续,:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一,函数,f,(,x,),在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为,间断点,.,在,无定义,;,间断点分类,:,第一类间断点,:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点,:,及,中至少一个不存在,称,若,其中有一个为振荡,称,若,其中有一个为,为,可去间断点,.,为,跳跃间断点,.,为,无穷间断点,.,为,振荡间断点,.,为其,无穷间断点,.,为其,振荡间断点,.,为,可去间断点,.,例如,:,显然,为其,可去间断点,.,(4),(5),为,其跳跃间断点,.,三、,闭区间上连续函数的性质,第一章,注意,:,若函数在,开区间,上连续,结论不一定成立,.,1,、最值定理,定理,1.,在,闭区间,上连续的函数,即,:,设,则,使,值和最小值,.,或在闭区间内,有间断,在该区间上一定有最大,(,证明略,),点,例如,无,最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,2,、介值定理,由,定理,1,可知有,证,:,设,上,有界,.,定理,2.,(,零点定理,),至少有一点,且,使,(,证明略,),推论,在闭区间上连续的函数在该区间上有界,.,定理,3.,(,介值定理,),设,且,则对,A,与,B,之间的任一数,C,一点,证,:,作辅助函数,则,且,故由,零点定理知,至少有一点,使,即,推论,:,在闭区间上的连续函数,使,至少有,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值,.,例,.,证明方程,一个根,.,证,:,显然,又,故据零点定理,至少存在一点使,即,在区间,内至少有,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,内容小结,基本初等函数,在定义区间内,连续,连续函数的,四则运算,结果仍连续,连续函数的,反函数,连续,连续函数的,复合函数,连续,初等函数在定义区间内连续,说明,:,分段函数在界点处是否连续需讨论其,左、右连续性,.,在,上达到最大值与最小值,;,上可取最大与最小值之间的任何,值,;,4.,当,时,使,必存在,上有界,;,在,在,思考与练习,1.,讨论函数,x,=2,是第二类无穷间断点,.,间断点的类型,.,2.,设,时,提示,:,为,连续函数,.,答案,:,x,=1,是第一类可去间断点,作业题,:,2.,（,1,）,P43,3.,（,1,）、（,2,）,4,5,6,2.7,极限应用举例,第一章,曲边三角形面积,求变速直线运动瞬时速度,连续复利问题,作业题,:,1,（,1,）、（,2,）,P55,二,2,3,4,