复变函数初步知识.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 解析函数的概念与柯西,黎曼条件,1.1,复变函数的导数与微分,1.2,解析函数及其简单性质,1.3,柯西,黎曼条件,1.4,小结与思考,1,1.1,复变函数的导数与微分,1.,导数的定义,:,定义,2.1,2,在定义中应注意,:,3,例1,解,4,2.,可导与连续的关系,:,函数,f,(,z,),在,z,0,处可导则在,z,0,处一定连续,但函数,f,(,z,),在,z,0,处连续不一定在,z,0,处可导,.,证,5,证毕,例,2,解,(1),f,(,z,)=,z,的连续性显然,6,例,3,解,7,8,例,4,解,9,10,3.,求导法则,:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的,.,求导公式与法则,:,11,12,4.,微分的概念,:,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致,.,定,义,+,13,特别地,14,1.,解析函数的定义,定义,2.2,z,0,记作：,f,(,z,),A,(,D,),D,G,1.2,解析函数的概念,15,根据定义可知,:,函数在,区域内解析,与在,区域内可导,是,等价,的,.,但是,函数解析比可是与区域密切相,伴的,要比可导的要求要高得多,即函数在,z,0,点解析,函数在,一点处解析,与在,一点处可导,不等价,函数在,z,0,点可导,函数,闭区域上解析,与在,闭区域上可导,不等价,即函数在闭区域上解析,函数在,闭区域上,可导,说明,16,2.,奇点的定义,定义,2.3,例如,:,以,z,=0,为奇点,:,通常泛指的解析函数是容许有奇点的,:,例,5,解,由本节例,1,和例,3,知,:,17,18,19,例,6,解,20,例,7,解,21,22,课堂练习,答案,处处不可导,处处不解析,.,23,定理,以上定理的证明,可利用求导法则,.,24,根据定理可知,:,(1),所有多项式在复平面内是处处解析的,.,通过上述用定义讨论函数的解析性，,我们深深地体会到：,用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！,寻求研究解析性的更好的方法,任务！,25,1.3 C-R,条件,目的：研究复变函数,w,=,f,(,z,),可微或解析的条件。,研究函数解析性的利器,引言：设,w,=,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),则,函数,w,=,f,(,z,),的连续性由,u,(,x,y,),v,(,x,y,),连续性唯一确定。,那么,w,=,f,(,z,),的解析性与,u,(,x,y,),v(x,y,),之间有什么关系呢？,先看如下例子,设,w,=,z,=,x,-iy,u,(,x,y,)=,x,v(x,y,)=-y,则：,u,(,x,y,)=,x,v(x,y,)=-y,对,x,y,的一切偏导数都存在且连续，但是,w,=,z,却是一个处处不可微的函数,由此说明：,有必要探讨函数,w,=,f,(,z,),的可微（解析性）与,u,(,x,y,),v(x,y,),之间的进一步的关系,26,D,函数,w,=,f,(,z,),的在一点处的可微,与,u,(,x,y,),v(x,y,),之间的关系,假设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),在某一点,z=,x+iy,可微,代数化,图,2.1,z+x,z,x,y,0,z,2.4,因为,z=,xiy,无论按什么方式趋于零,(2.4),总是成立的,于是，我们可让变点,z+z,分别沿着平行于实轴与虚轴的方向趋于点,z,，即分别让,（,y=0,x,0,）,（,x=0,y,0,）,从而可得,z+iy,27,称为,Cauchy-Riemann,条件，简称,C-R,条件,定理,2.1 (,可微的必要条件,),设函数,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),在区域,D,内有定义,且在,D,内一点,z=,x+iy,可微,则必有,:,(1),偏导数,u,x,u,y,v,x,v,y,在点,(,x,y,),存在,;,(2),u,(,x,y,),v,(,x,y,),在点,(,x,y,),满,足,C-R,条件,:,u,x,=,v,y,u,y,=-,v,x,柯西介绍,黎曼介绍,28,例,8,证,注：定理,2.1,中的条件是必要而不是充分的,29,将定理,2.1,中的条件适当加强就得到可微的充要条件,30,定理,2.2(,可微得充要条件,),31,代数化,证,(1),必要性,.,32,33,(2),充分性,.,由于,34,35,证毕,36,定理,2.3,函数在一点可微的充分条件,37,2.,函数,w,=,f,(,z,),的在区域的可微性,（解析性）,(,x,y,),v(x,y,),之间的关系,定理,2.4(,函数在区域,D,内,可微,的充要条件,),38,定理,2.5,函数在区域,D,内解析的充要条件,39,3.,解析函数的判定方法,:,40,4.,例题选讲,例,9,判定下列函数在何处可导,在何处解析,:,解,不满足柯西黎曼方程,41,四个偏导数均连续,指数函数,42,四个偏导数均连续,43,例,10,证,44,45,例,11,解,46,例,12,解,47,课堂练习,答案,48,例6,证,49,参照以上例题可进一步证明,:,50,例,7,证,根据隐函数求导法则,51,根据柯西黎曼方程得,52,例8,证,53,54,三、小结与思考,在本课中我们得到了一个重要结论,函数,解析的充要条件,:,掌握并能灵活应用柯西,黎曼方程,.,55,思考题,56,思考题答案,放映结束，按Esc,退出,.,57,思考题,58,思考题答案,反之不对,.,放映结束，按,Esc,退出,.,59,1.4,小结与思考,理解复变函数导数与微分以及解析函数的,概念,;,掌握连续、可导、解析之间的关系以及,求导方法,.,注意,:,复变函数的导数定义与一元实变函数,的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求,导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限,存在要求与,z,趋于零的方式无关,这表明它在,一点可导的条件比实变函数严格得多,.,60,Riemann,黎曼资料,Born:,17 Sept 1826 in,Breselenz,Hanover(now Germany),Died:,20 July 1866 in,Selasca,Italy,61,Augustin,-Louis Cauchy,Born:,21 Aug 1789 in Paris,France,Died:,23 May 1857 in,Sceaux,(near Paris),France,柯西资料,62,