1、单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.3,二维泊松方程的有限元法,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,以二维静电场泊松方程的求解为例。,目标：,依据加权余量法，利用分域基，建立离散的代数方程组，即确定系数,K,ij,和,b,i,。,30,场域离散,二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。,单元：,互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。,节点：,网格的交点，待求变量的设置点。
2、该步骤需要记录的信息：,节点编号、节点坐标,节点属性,(,激励源、是否边界等,),单元编号,单元节点编号,单元介质,31,三角形单元内的基函数,设三角形三个顶点处待求函数值分别为,u,1,u,2,u,3,。如果单元足够小，可以采用线性近似，将单元内任意,p,点的,u,(,x,y,),表示为,代入三个顶点的坐标和函数值，可以解出,a,、,b,、,c,。得到,32,单元节点的编号按逆时针方向排列！,其中，,33,记住我们的任务,寻找基函数,对比,可得,基函数,N,i,常被称为,插值函数,或者,形状函数,，具有以下性质：,（,1,）是插值的；,（,2,）,（,3,）在相邻单元的公共边界上，,N,i
3、是连续的，从而通过,N,i,构造的逼近函数也是连续的。,34,在积分 中，对于确定的,i,，,j,的有效取值为,i,本身以及与节点,i,相联的周围节点，积分的有效区域为以,i,、,j,为公共节点的所有三角形单元，在这些单元中,N,i,、,N,j,才有交叠。,计算系数阵,35,这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码，,K,01,、,K,00,以及,b,0,的计算公式为：,计算系数阵,36,以下把单元,e,的贡献记为,这样，就有,每个 或 的计算都在具体的单元内单独考虑,（称为,单元分析,）。,37,由于单元很小，做单元分析时通常可以取,f,(,e,),为常数值（可以认为等于三个顶点上
4、的平均值）。因此,右端项元素：,38,上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序，逐个计算单元系数阵,K,(,e,),，然后合成整体系数阵,K,。单元系数阵,K,(,e,),定义为,设,i,j,m,是节点的整体编号，元素,K,ij,在整体矩阵中的实际位置是第,i,行、,j,列；因此 必须合成到整体矩阵的第,i,行、,j,列元素上。,单元矩阵：,39,整体矩阵合成：,40,第一类边界条件（强加边界条件）,第一类边界节点是指边界上函数值 已知。因此处理方法是，合成整体系数阵之后，将该节点所在行的主元素置,1,，其它元素均置零，同时将右端项中对应元素设为已知函数值。,要保持对称性；有更简便的做法,41,
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