1、单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,结束,返回,首页,习题课,1.,定积分的应用,几何方面,:,面积、,体积、,弧长、,表面积,.,物理方面,:,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2.,基本方法,:,微元分析法,微元形状,:,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等,.,转动惯量,.,定积分的应用,第,六,章,3,、定积分应用的常用公式,(1),平面图形的面积,直角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2),体积,x,y,o,平行截面面积为已知的立体的体积,总习题,19,(3),平面曲线的弧长,弧长,A,曲线弧为,弧长,B,曲线弧为,C
2、曲线弧为,弧长,(4),旋转体的侧面积,x,y,o,(5),变力所作的功,(6),水压力,(7),引力,(8),函数的平均值,4,、定积分应用的例题,例,1.,求抛物线,在,(0,1),内的一条切线,使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小,.,解,:,设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与,x,y,轴的交点分别为,所指面积,且为最小点,.,故所求切线为,得,0,1,上的唯一驻点,例,2.,设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1),求函数,(2),a,为何值时,所围图形绕,x,轴一周所得旋转体,解,:,(1),由方程得,面积为,2,体积最小,?,即,故得,又,(2),旋转体
3、体积,又,为唯一极小点,因此,时,V,取最小值,.,例,3.,证明曲边扇形,绕极轴,证,:,先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成的体积,体积微元,故,旋转而成的体积为,故所求旋转体体积为,例,4.,求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积,.,解,:,曲线与直线的交点坐标为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,例,5.,半径为,R,密度为,的球沉入深为,H,(,H,2,R,),的水池底,水的密度,多少功,?,解,:,建立坐标系,如图,.,则对应,上球的薄片提到,水面上,的,微功,为,提出,水面后,的,微功,为,现将其从水池中取出,需做,微元体积,所受重力,上升高度,因此,微功元素,为,球从水中提
4、出所做的功为,“,偶倍奇零”,例,6.,设有半径为,R,的半球形容器如图,.,(1),以每秒,a,升的速度向空容器中注水,求水深为,为,h,(0,h,R,),时水面上升的速度,.,(2),设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最,少应为多少,?,解,:,过球心的纵截面,建立坐标系,如图,.,则半圆方程为,设经过,t,秒容器内水深为,h,(1),求,由题设,经过,t,秒后容器内的水量为,而高为,h,的球缺的体积为,半球可看作半圆,绕,y,轴旋转而成,体积元素,:,故有,两边对,t,求导,得,at,(,升,),(2),将满池水全部抽出所做的最少功,为将全部水提,对应于,微元体积,:,微元的重力,:,薄层所需的,功元素,故所求功为,到池沿高度所需的功,.,t,解,存在性,由零点定理,唯一性,由于,作业,P288 2;3;6;7;9,
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