高中数学全程复习方略2.3.1 抛物线及其标准方程(共56张PPT).ppt

2.3.1,抛物线及其标准方程,1.,经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程,.,2.,会求简单的抛物线方程,.,1.,本课重点是掌握抛物线标准方程，能根据抛物线方程求出焦点及准线方程，并会求简单的抛物线方程,.,2.,本课难点是用待定系数法和定义法求抛物线标准方程,.,1.,抛物线的定义,(1),平面内与一个定点,F,和一条定直线,l,（,l,不经过点,F,）的距离,_,的点的轨迹叫做抛物线,.,(2),点,F,叫做抛物线的,_,，直线,l,叫做抛物线的,_.,相等,焦点,准线,(3),图形展示：,即：,1,2.,四种抛物线标准方程,标准方程,图形,焦点坐标,准线方程,y,2,=2px(p0),y,2,=-2px,(p0),_,_,_,标准方程,图形,焦点坐标,准线方程,x,2,=2py,(p0),_,_,_,x,2,=-2py,(p0),_,_,_,1.,要确定抛物线的解析式需要确定的量是什么？,提示：,确定抛物线的解析式关键是确定抛物线标准方程中的,p.,2.,标准方程中,p,的几何意义是什么？若不强调,p0,，则,y,2,=2px,是否还表示抛物线？,提示：,p,的几何意义是焦点到准线的距离，若不强调,p0,，则当,p=0,时，其表示,x,轴，,p0,时，表示焦点在,x,轴正半轴的抛物线,.,3.,以 为焦点的抛物线的标准方程是,_.,解析,】,根据焦点 在,x,轴上，抛物线标准方程可设为,y,2,=2px(p0),，其中焦点坐标是 则 解得,p=3,，所以,抛物线的标准方程是,y,2,=6x.,答案：,y,2,=6x,1.,四方面认识抛物线定义及标准方程,（,1,）定义条件：点,F,不在定直线,l,上，否则动点,M,的轨迹就不是抛物线，而是过点,F,且垂直于,l,的一条直线,.,（,2,）一动三定：一动是一个动点，设为,M,，即为抛物线上的点；三定分别是：一个定点（抛物线的焦点）；一条定直线,l,（抛物线的准线）；一个定值，点,M,到定点,F,与到定直线,l,的距离的比是定值,1.,（,3,）方程特点：抛物线的标准方程是关于,x,y,的二元二次方程，其中一个变量只有一次项，另一个变量只有二次项,.,（,4,）参数,p,：在抛物线的方程中只有一个参数,p,，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此,p,0,，,p,越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭,.,2.,抛物线解析式与其焦点位置及开口方向的关系,先把解析式化成抛物线的标准方程形式，再根据一次项的系数判断,.,（,1,）如果一次项含有,x,，则说明抛物线的焦点在,x,轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向右；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向左,;,（,2,）如果一次项含有,y,，则说明抛物线的焦点在,y,轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向上；系数为负则焦点在负半轴上，开口向下,.,3.,四种位置的抛物线标准方程的对比,（,1,）相同点,顶点都是原点；,准线与抛物线对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，焦点到准线的距离都等于,p(p0,）,;,焦点都在抛物线对称轴上；,(2),不同点,抛物线方程不同；,抛物线开口方向不同,.,求抛物线的焦点及准线,【,技法点拨,】,求抛物线的焦点及准线步骤,（,1,）把解析式化为抛物线标准方程形式；,（,2,）明确抛物线开口方向；,（,3,）求出抛物线标准方程中,p,的值；,（,4,）写出抛物线的焦点坐标或准线方程,.,【,典例训练,】,1.,抛物线,2y,2,-3x=0,的焦点坐标是,_,准线方程是,_.2.,设抛物线的方程为,y=ax,2,(a0),，求抛物线的焦点坐标与准线方程,.,【,解析,】,1.,抛物线,2y,2,-3x=0,化为标准形式：则,解得 焦点坐标是 准线方程是,答案：,2.,抛物线方程,y=ax,2,(a0),化为标准形式：当,a,0,时，,则 解得 焦点坐标是 准线方程,是,当,a,0,时，则,焦点坐标是 准线方程是,综上，焦点坐标是 准线方程是,【,思考,】,解答题,1,，题,2,的关键点及解答题,2,的注意问题分别是什么？,提示：,（,1,）解答题,1,，题,2,的关键是化抛物线方程为标准方程,.,（,2,）解答题,2,的注意点是,a,的符号不确定要分类讨论,.,变式训练,】,求抛物线,y=-mx,2,（,m,0,）的焦点坐标和准线方程,.,【,解析,】,抛物线,y=-mx,2,变形为 焦点坐标为,准线方程是,求抛物线的标准方程,【,技法点拨,】,求抛物线的标准方程的关键与方法,(1),关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数,.,(2),方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；,直接根据定义求,p,，最后写标准方程；,利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数,.,【,典例训练,】,1.,抛物线的准线方程是 则抛物线的标准方程是,_.,2.,过点,P(2,-3),的抛物线的标准方程是解析,】,1.,抛物线的准线方程是,抛物线的焦点在,x,轴负半轴，即可设抛物线方程是,y,2,=,-2px(p0),，,代入抛物线标准方程,y,2,=-2px(p0),中，,得抛物线标准方程是,y,2,=-3x.,答案：,y,2,=-3x,2.,解题流程,:,【,互动探究,】,如果把题,2,中的点,P(2,-3),改为,P(-2,-3),，你能不,求抛物线标准方程就判断其开口方向吗？,【,解析,】,由于点,P(-2,-3),在第三象限，,过第三象限的抛物线开口向下或向左,.,【,思考,】,解答题,1,的关键是什么？解答题,2,应注意什么问题？,提示：,（,1,）解答题,1,的关键是判断焦点位置，正确设出抛物线标准方程；（,2,）由于,P(2,-3),在第四象限，抛物线经过第四象限的有开口向右或开口向下，所以解答题,2,要分开口向右或向下两种情况分类讨论,.,【,变式训练,】,求出过点（,-2,，,-3,）的抛物线的标准方程,.,【,解析,】,点,(-2,-3),在第三象限，,抛物线的标准方程为,y,2,=-2px(p0),或,x,2,=-2p,0,y(p,0,0).,根据题意得：,(-3),2,=-2p,(-2),或,(-2),2,=-2p,0,(-3,），解得：,所求抛物线的方程为,抛物线的实际应用,【,技法点拨,】,抛物线实际应用题的五个步骤,（,1,）建：建立适当的坐标系；,（,2,）设：设出合适的抛物线标准方程；,（,3,）算：通过计算求出抛物线标准方程；,（,4,）求：求出所要求出的量；,（,5,）还：还原到实际问题中，从而解决实际问题,.,【,典例训练,】,1.,汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是,24 cm,，灯深,10 cm,，那么灯泡与反射镜顶点,(,即截得抛物线顶点,),间的距离是,_.,2.,如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有,0.5,米,1,）以抛物线的顶点为原点,O,，其对称轴所在的直线为,y,轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；,（,2,）若行车道总宽度,AB,为,7,米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到,0.1,米）？,【,解析,】,1.,取反射镜的轴即抛物线的对称轴为,x,轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系,xOy,，如图所示,因灯口直径,|AB|,24,，灯深,|OP|,10,，,所以点,A,的坐标是,(10,12),设抛物线的方程为,y,2,2px(p0),，由点,A(10,12),在抛物线上，得,12,2,2p,10,，,所以,p,7.2.,所以抛物线的焦点,F,的坐标为3.6,0).,因此灯泡与反射镜顶点间的距离是,3.6 cm.,答案：,3.6 cm,3.5,米,3.5,米,2.,如图所示,y,x,O,D,C,A,B,2,米,10,米,7,米,（,1,）依题意，设该抛物线的方程为,x,2,=-2py(p,0),因为点,C,（,5,，,-5,）在抛物线上，,所以该抛物线的方程为,x,2,=-5y.,（,2,）设车辆高,h,，则,|DB|=h+0.5,故,D,（,3.5,，,h-6.5,）,代入方程,x,2,=-5y,解得,h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为,4.0,米,.,【,想一想,】,解答关于抛物线实际应用问题的关键是什么？哪些问题常用抛物线方程求解,?,提示：,关键是建立符合题意的数学模型，如涉及桥的跨度，隧道的高低问题，喷水池的水龙头的喷水问题等通常用抛物线方程解决,.,【,变式训练,】,河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶,5,米时，水,面宽为,8,米，一小船宽,4,米，高,2,米，载货后船露出水面上的部,分高 米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开,始不能通航？,【,解析,】,如图，建立坐标系，设拱桥抛,物线方程为,x,2,=-2py(p,0),，由题意，,将,B,（,4,，,-5,）代入方程得 抛物,线方程为,当船的两侧和拱桥接触时船不能通航,.,设此时船面宽为,AA,，则,A,（,2,，,y,A,），,由,又知船露出水面上部分为 米，设水面与抛物线拱顶相距为,h,，则 （米），即水面上涨到距抛物线拱顶,2,米,时，小船不能通航,.,【,规范解答,】,抛物线的定义在解题中的应用,【,典例,】,（,12,分）动点,M(x,y),到,y,轴的距离比它到定点,(2,0),的距离小,2,，求动点,M(x,y),的轨迹方程,.,【,解题指导,】,【,规范解答,】,方法一：（,1,）当,x0,时，,动点,M(x,y),到,y,轴的距离比它到定点,(2,0),的距离小,2,，,动点,M,到定点,(2,0),的距离与到定直线,x=-2,的距离相等,，,2,分,动点,M,的轨迹是以,(2,0),为焦点，,x=-2,为准线的抛物线，且,p=4,，,4,分,抛物线的方程为,y,2,=8x(x0).,6,分,（,2,）当,x,0,时，由于,x,轴上原点左侧的点到,y,轴的距离比它到,(2,0),的距离小,2,，,动点,M,的轨迹方程为,y=0(x,0).,10,分,综上,，动点,M,的轨迹方程为,y=0(x,0),和,y,2,=8x,（,x0,）,.,12,分,方法二：设,M(x,y),，则有,4,分,即,x,2,+4|x|+4=x,2,-4x+4+y,2,6,分,化简得,10,分,动点,M,的轨迹方程为,y=0(x,0),和,y,2,=8x,（,x0,）,.,12,分,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）,失,分,警,示,在解答过程中，如果漏掉处两种情况,x0,或,x,0,的讨论，造成结果不完整，最多给,5,分，是考试中常,出现的失分点,.,在解答过程中，方法一处,动点,M,到定点（,2,，,0,）,的距离与到直线,x=-2,的距离相等,是利用抛物线定义,转化，方法二处 的化简容,易出现失误,.,若此处出错只得列式分,4,分,.,失,分,警,示,在解答过程中，若漏掉处,综上,最后的结论，造成解答过程不完整，考试过程中最多给,10,分，造成不必要的失分,.,解,题,启,示,（,1,）在解题中注意分类讨论思想；,（,2,）记住抛物线的定义注意利用抛物线定义求解析式；,（,3,）书写要规范完整，不要造成不必要的丢分,.,【,规范训练,】,（,12,分）抛物线上的点 到焦点,F,（,x,，,0,）的距离为,6.,求抛物线标准方程,.,【,解题设问,】,根据条件列出的关系式是什么？,_.,【,规范答题,】,由已知条件得关系式,2,分,整理得,x,2,+10 x+9=0,4,分,即,(x+1)(x+9)=0,解得,x=-1,或,x=-9,，,6,分,F(-1,0),，,p=2,y,2,=-4x,或,F(-9,0),，,p=18,y,2,=-36x.,8,分,显然，若抛物线为,y,2,=-36x,，则它的准线方程是,x=9,，由抛物线定义，点,A,到,(-9,0),的距离是,6,，而点,A,到,x=9,的实际距离是,14,，,矛盾，,y,2,=-36x,（舍），,10,分,所求抛物线的标准方程为,y,2,=-4x.,12,分,1.,顶点在原点，焦点是,F(0,3),的抛物线标准方程是,(),（,A,）,y,2,21x,（,B,）,x,2,12y,（,C,）（,D,）,【,解析,】,选,B.,由 得,p,6,，且焦点在,y,轴正半轴上，故,x,2,12y.,2.,抛物线,y,-x,2,的焦点坐标为,(),（,A,）（,B,）,（,C,）（,D,）,【,解析,】,选,B.x,2,-y,，,2p,1,，焦点坐标为,3.,焦点在x,轴上，且焦点到准线距离为,2,的抛物线的标准方程是,(),（,A,）,y,2,4x,（,B,）,y,2,-4x,（,C,）,y,2,2x,（,D,）,y,2,4x,【,解析,】,选,D.,由抛物线标准方程中,p,的几何意义知,p,2,，焦点在,x,轴的抛物线开口向左，,y,2,-4x;,开口向右，,y,2,=4x.,故选,D.,4.,抛物线图象过点,M(2,2),，则抛物线标准方程是,_.,【,解析,】,由于点,M(2,2),在第一象限，抛物线开口向右或向上，设抛物线方程,y,2,=2px(p0),或,x,2,=2p,0,y(p,0,0),，把,M(2,2),代入抛物线方程，解得,p=1,或,p,0,=1,，则抛物线方程为,y,2,=2x,或,x,2,=2y.,答案：,y,2,=2x,或,x,2,=2y,5.,已知抛物线的顶点在原点，对称轴是,x,轴，抛物线上的点,M,（,-3,，,m,）到焦点的距离等于,5,，求抛物线的方程和,m,的值,.,【,解析,】,设抛物线方程为,y,2,=-2px(p0),，,则焦点 由题意可得,故所求的抛物线方程为,y,2,=-8x.,m,的值为,