工程力学(静力学与材料力学)-8-弯曲刚度.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第八章 弯曲刚度,课堂教学软件,(8),Tuesday,June 9,2026,工程力学,(,静力学与材料力学,）,Nanjing University of Technology,返回总目录,第,8,章,弯曲刚度,工程力学,（静力学与材料力学）,第二篇 材料力学,返回总目录,梁的变形与梁的位移,叠加法确定梁的挠度与转角,简单的静不定梁,结论与讨论,弯曲刚度计算,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,梁的变形与梁的位移,第,8,章,弯曲刚度,梁的曲率与位移,挠度与转角的相互关系,梁的位移分析的工程意义,梁的变形与梁的位移,第,8,章,弯曲刚度,在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度,，,从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的,挠度曲线,（,deflection curve,）。,梁的曲率与位移,梁的变形与梁的位移,第,8,章,弯曲刚度,根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：,梁的变形与梁的位移,第,8,章,弯曲刚度,梁的曲率与位移,梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为,位移,(displacement),。,梁的位移包括三部分：,横截面形心处的铅垂位移，称为,挠度,（,deflection,），用,w,表示；,变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（,slope,），,用,表示；,挠度与转角的相互关系,梁的变形与梁的位移,第,8,章,弯曲刚度,横截面形心沿水平方向的位移，称为,轴向位移,或,水平位移,（,horizontal displacement,），用,u,表示。,在小变形情形下，上述位移中，水平位移,u,与挠度,w,相比为高阶小量，故通常不予考虑。,梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为,位移,(displacement),。,梁的位移包括三部分：,挠度与转角的相互关系,梁的变形与梁的位移,第,8,章,弯曲刚度,在,Oxw,坐标系中，挠度与转角存在下列关系：,在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即,很小，因而上式中,tan,。,于是有,w,w,（,x,），,称为挠度方程（,deflection equation,）。,梁的变形与梁的位移,第,8,章,弯曲刚度,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,小挠度微分方程,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,力学中的曲率公式,数学中的曲率公式,小挠度微分方程,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,小挠度情形下,对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与,w,坐标的取向有关。,小挠度微分方程,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,小挠度微分方程,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,采用向下的,w,坐标系，有,小挠度微分方程,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程,M,(,x,),，,代入上式后，分别对,x,作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：,其中,C,、,D,为积分常数。,小挠度微分方程,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,小挠度微分方程的积分与,积分常数的确定,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：,w,=0;,连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：,w,1,=,w,2,，,1,2,等等。,在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：,w,=0,，,0,。,小挠度微分方程的积分与,积分常数的确定,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,三、积分法求梁的挠曲线,2.,支承条件与连续条件,:,1.,式中,C,1,、,C,2,为积分常数，由梁边界、连续条件确定。,1),支承条件：,2),连续条件：,挠曲线是光滑连续唯一的,l,F,A,B,例 题,1,求：,梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。,已知：,左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为,q,，,梁的弯曲刚度为,EI,、,长度为,l,。,q,、,EI,、,l,均已知。,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,解：,1,建立,Oxw,坐标系,建立,Oxw,坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。,2,建立梁的弯矩方程,O,x,w,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,从坐标为,x,的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：,解：,2,建立梁的弯矩方程,x,M,(,x,),F,Q,(,x,),梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,3,建立微分方程并积分,O,x,w,解：,2,建立梁的弯矩方程,将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,3,建立微分方程并积分,O,x,w,积分后，得到,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,解：,4,利用约束条件确定积分常数,固定端处的约束条件为：,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,解：,5,确定挠度与转角方程,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,解6,确定最大挠度与最大转角,从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。,于是，将,x,=,l,，,分别代入挠度方程与转角方程，得到：,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,例 题,2,求：,加力点,B,的挠度和支承,A,、,C,处的转角。,已知：,简支梁受力如图所示。,F,P,、,EI,、,l,均为已知。,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,解：,1,确定梁约束力,因为,B,处作用有集中力,F,P,，,所以需要分为,AB,和,BC,两段建立弯矩方程。,首先，应用静力学方法求得梁在支承,A,、,C,二处的约束力分别如图中所示。,2,分段建立梁的弯矩方程,在图示坐标系中，为确定梁在,0,l,/4,范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端,A,处的约束力,3,F,P,/4,；,而确定梁在,l,/4,l,范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端,A,处的约束力,3,F,P,/4,和荷载,F,P,。,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,AB,段,解：,2,分段建立梁的弯矩方程,BC,段,于是，,AB,和,BC,两段的弯矩方程分别为,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,解：,3,将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,解：,3,将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,积分后得,其中，,C,1,、,D,1,、,C,2,、,D,2,为积分常数，由支承处的约束条件和,AB,段与,BC,段梁交界处的连续条件确定。,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,解：,4,利用约束条件和连续条件确定积分常数,在支座,A,、,C,两处挠度应为零，即,x,0，,w,1,0;,x,l,，,w,2,0,因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以,AB,段与,BC,段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即,x,l,/4，,w,1,w,2,;,x,l,/4,，,1,=,2,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,解：,4,利用约束条件和连续条件确定积分常数,x,0，,w,1,0;,x,l,，,w,2,0,x,l,/4，,w,1,w,2,;,x,l,/4,，,1,=,2,D,1,D,2,=0,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,解：,5,确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角,将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：,AB,段,BC,段,据此，可以算得加力点,B,处的挠度和支承处,A,和,C,的转角分别为,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,确定约束力,判断是否需要分段以及分几段,分段建立挠度微分方程,微分方程的积分,利用约束条件和连续条件确定积分常数,确定,挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角,积分法小结,分段写出弯矩方程,梁的小挠度微分方程及其积分,第,8,章,弯曲刚度,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,在很多工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。,基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用,叠加法（,superposition method,）,由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。,第,8,章,弯曲刚度,叠加法应用于多个载荷作用的情形,叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,叠加法应用于多个载荷作用的情形,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,8-3,按叠加原理求梁的,挠度与转角,一、载荷叠加（直接叠加法）：,多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,弯曲变形,C,L/2,L/2,B,F,1,F,2,F,3,F,n,弯曲变形,C,l/2,l/2,A,B,M,e,C,l/2,l/2,A,B,F,C,l/2,l/2,A,B,q,C,l-b,b,A,B,F,弯曲变形,q,l,A,B,F,l,A,B,l,A,B,M,e,当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。,叠加法应用于多个载荷作用的情形,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,已知,：,简支梁受力如图所示，,q,、,l,、,EI,均为已知。,求,：,C,截面的挠度,w,C,；,B,截面的转角,B,。,例 题,3,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,解,：,1,.,将梁上的载荷变为三种简单的情形。,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,解,：,2,.,由挠度表查得,三,种情形下,C,截面的挠度和,B,截面的转角,。,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,解,：,3.,应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加,将上述结果按代数值相加，分别得到梁,C,截面的挠度和支座,B,处的转角,:,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,叠加法应用于间断性,分布载荷作用的情形,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。,叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,逐段刚化法：,变形后：,AB,AB,BC BC,变形后,AB,部分为曲线，,但,BC,部分仍为直线。,C,点的位移为：,w,c,已知,：,悬臂梁受力如图所示，,q,、,l,、,EI,均为已知。,求,：,C,截面的挠度,w,C,和,转角,C,。,例 题,4,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,解,：,1,.,首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形,为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端,C,处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在,AB,段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为,解,：,2,再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,两种情形下自由端的挠度和转角分别为,解,：,2,再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,解,：,3,将简单载荷作用的结果叠加,叠加法确定梁的挠度与转角,第,8,章,弯曲刚度,弯曲刚度计算,第,8,章,弯曲刚度,返回,刚度计算的工程意义,梁的,刚度条件,弯曲刚度计算,第,8,章,弯曲刚度,刚度计算的工程意义,弯曲刚度计算,第,8,章,弯曲刚度,对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。,刚度计算的工程意义,弯曲刚度计算,第,8,章,弯曲刚度,梁的,刚度条件,弯曲刚度计算,第,8,章,弯曲刚度,对于主要承受弯曲的零件和构件，,刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角,(,或者指定截面处的挠度和转角,),限制在一定范围内，即满足弯曲,刚度条件,：,上述二式中,w,和,分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。,梁的刚度条件,弯曲刚度计算,第,8,章,弯曲刚度,已知：,钢制圆轴，左端受力为,F,P,，,F,P,20,kN,，,a,l m,，,l,2 m,，,E,=206,GPa,，,其他尺寸如图所示。规定轴承,B,处的许用转角,=0.5,。,试求：,根据刚度要求确定该轴的直径,d,。,B,例 题,5,弯曲刚度计算,第,8,章,弯曲刚度,解：,根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承,B,处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。,B,1,查表确定,B,处的转角,由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁,B,处的转角为,弯曲刚度计算,第,8,章,弯曲刚度,1,查表确定,B,处的转角,由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁,B,处的转角为,B,2,根据刚度设计准则确定轴的直径,根据设计要求，有,弯曲刚度计算,第,8,章,弯曲刚度,B,2,根据刚度设计准则确定轴的直径,根据设计要求，有,其中，,的单位为,rad,（,弧度），而,的单位为（,）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径,弯曲刚度计算,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,第,8,章,弯曲刚度,多余约束与静不定次数,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,静不定次数,未知力个数与独立平衡方程数之差,静定问题与静定结构,未知力（内力或外力）个数,等于独立的平衡方程数,静不定问题与静不定结构,未知力个数多于独立,的平衡方程数,多余约束,保持结构静定,多余的约束,多余约束与静不定次数,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,求解静不定梁的基本方法,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,求解静不定梁示例,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,3-3=0,l,M,A,A,B,F,Ay,F,Ax,q,求解静不定梁示例,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,4-3=1,l,A,B,M,A,F,Ay,F,Ax,F,B,求解静不定梁示例,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,5,3,2,6,3,3,F,Bx,M,B,B,l,A,M,A,F,Ay,F,Ax,F,By,B,l,A,M,A,F,Ay,F,Ax,F,Bx,F,By,第,8章,弯曲刚度,简单的静不定梁,应用小变形概念可以推知某些未知量,由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端,B,处水平位移,u,=0,。,既然,u,=0,，,在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即,F,Ax,F,Bx,=0,。,F,Bx,B,l,A,M,A,F,Ay,F,Ax,F,By,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,应用小变形概念可以推知某些未知量,F,Ax,F,Bx,=0,。,F,Bx,B,l,A,M,A,F,Ay,F,Ax,F,By,第,8,章,弯曲刚度,F,Ax,F,Bx,=0,。,因此，求解这种静不定问题只需,1,个补充方程。可以写出变形协调方程为,简单的静不定梁,应用小变形概念可以推知某些未知量,B,l,A,M,A,F,Ay,F,By,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,应用对称性分析可以推知某些未知量,F,Ax,=,F,Bx,=,0,F,Ay,=,F,By,=q l/,2,M,A,=M,B,对于两端固定的梁,，,同样有,F,Bx,=0,，,但这时的多余约束力除,F,By,外，又增加了,M,B,，,于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：,M,B,B,l,A,M,A,F,Ay,F,Ax,F,Bx,F,By,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,F,Ax,=,F,Bx,=,0,F,Ay,=,F,By,=q l/,2,M,A,=M,B,M,B,B,l,A,M,A,ql/,2,ql/,2,应用对称性分析可以推知某些未知量,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,与未知力偶,M,B,对应的约束是对截面,B,转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为,M,B,B,l,A,M,A,ql/,2,ql/,2,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,例 题,5,求,:,梁的约束力。,已知：,A,端固定、,B,端铰支梁的弯曲刚度为,EI,，,长度为,l,。,B,A,l,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,解：,1.,列出平衡方程,2.列出变形协调方程,F,Ay,+F,By,-,ql,=,0,F,Ax,=,0,M,A,+,F,By,l,-,ql,/2=0,w,B,=,w,B,(,q,)+,w,B,(,F,By,)=0,B,l,A,M,A,F,Ay,F,Ax,F,B,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,3.,列出物性关系,2.,列出变形协调方程,w,B,=,w,B,(,q,)+,w,B,(,F,By,)=0,w,B,(,q,)=,ql,4,/8,EI,w,B,(,F,By,)=,-,F,by,l,3,/3,EI,w,B,(,q,),w,B,(,F,By,),B,l,A,M,A,F,Ay,F,Ax,l,B,A,M,A,F,Ay,F,Ax,F,B,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,解：,4.,综合求解,F,Ay,+F,By,-,ql,=,0,F,Ax,=,0,M,A,+,F,By,l,-,ql,/2=0,w,B,=,w,B,(,q,)+,w,B,(,F,By,)=0,联立解出,:,w,B,(,q,)=,ql,4,/8,EI,w,B,(,F,By,)=,-,F,by,l,3,/3,EI,F,By,=,3,ql/,8 ,F,Ax,=,0 ,M,A,=,ql,2,/,8,F,Ay,=,5,ql/,8 ,B,l,A,M,A,F,Ay,F,Ax,F,B,第,8,章,弯曲刚度,简单的静不定梁,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,关于变形和位移的相互关系,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,二梁的受力,(,包括载荷与约束力,),是否相同？,二梁的弯矩是否相同？,二梁的变形是否相同？,二梁的位移是否相同？,正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相互关系。,关于变形和位移的相互关系,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,BC,段有没有变形？有没有位移？,没有变形为什么会有位移？,F,P,A,B,C,总体变形是微段变形累加的结果。,有位移不一定有变形。,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,关于梁的连续光滑曲线,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,由,M,的方向确定轴线的凹凸性。,由约束性质及连续光滑性确定挠度曲,线的大致形状及位置。,关于梁的连续光滑曲线,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,关于求解静不定问题的讨论,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,B,l,A,静定系统的选取与变形协调条件的建立,M,B,F,By,M,A,F,Ay,B,lA,M,A,F,Ay,M,B,F,By,关于求解静不定问题的讨论,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,B,l,A,l,A,B,静定系统的选取与变形协调条件的建立,M,B,F,By,M,A,F,Ay,M,B,M,A,F,By,F,Ay,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,利用对称性,F,Q,c,=0,再利用对称性,c,=0,横截面,C,处两侧梁的相互约束称为内约束,F,Q,C,F,Q,C,M,C,M,C,l/,2,A,q,C,B,l/,2,q,C,B,l,A,q,静定系统的选取与变形协调条件的建立,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,关于静不定结构性质的讨论,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,在静不定结构中，某一杆刚度变化，其内力有没有变化？,F,P,A,B,C,D,F,P,A,B,D,在静定结构中，某一杆刚度变化，其内力有没有变化？,关于静不定结构性质的讨论,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,在静不定结构中，某一杆比规定长度短了一点，装配后杆内会不会产生内力,？,A,B,C,D,A,B,D,在静定结构中，某一杆比规定长度短了一点，装配后杆内会不会产生内力,？,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,A,B,D,T,C,在静不定结构中，某一杆温度变化，杆件内会不会产生内力？,A,B,C,D,T,C,在静定结构中，某一杆温度变化，杆件内会不会产生内力？,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,提高刚度的途径,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,6-7,提高梁弯曲刚度的措施：,弯曲变形,x,y,F,L,增大,EI,。,减小跨度。,改善梁的受力情况。,增加支承。,减小最大弯矩,弯曲变形,合理布置外力（包括支座），使,M,max,尽可能小。,F,L/,2,L/,2,M,x,+,fL/,4,F,L/,4,3,L/,4,M,x,3,FL/,16,F=,qL,L/,5,4,L/,5,对称,M,x,qL,2,/,10,弯曲变形,M,x,q,L,L,/5,q,L,/5,40,2,qL,50,2,qL,-,M,x,q,L,/2,L,/2,32,2,qL,-,M,x,因此,减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩,I,外，主要是减小梁的长度,l,。,当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。,例如，在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架。,结论与讨论,第,8,章,弯曲刚度,谢 谢 大 家,返回,Nanjing University of Technology,返回总目录,曲 率,二 曲率及其计算公式,一 弧微分,三 曲率圆与曲率半径,规定：,一 弧微分,易看出：弧长 是 的单调增函数,.,下面求 的导数与微分,弧微分公式,-,描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。,),),1,）弧段弯曲程度越大转角越大，,2,）转角相同弧段越短弯曲程度越大。,1,曲率的定义,),二、曲率及其计算公式,),y,x,o,（,设曲线,C,是光滑的，,（,定义,曲线,C,在点,M,处的曲率,例,1,直线的曲率处处为零,.,例,2,圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大,.,2,曲率的计算公式,解,：,A,点处梁的曲率半径为,即,弯曲变形,长度为,L,，,重量为,P,的等截面直梁，放置在水平刚性平面上。若在端点施力,P,/,3,上提，未提起部分仍保持与平面密合，试求提起部分的长度。,q,max,f,max,解：建立坐标系如图,x,处弯矩方程为：,例,1,图示,B,端作用集中力,P,的悬臂梁，求其挠曲线方程。,y,x,F,x,例,2,求图示梁受集中力,F,作用时的挠曲线方程。,F,a,b,C,l,A,B,F,A,F,B,解：,1,、求支反力,解：,建立坐标系并写出弯矩方程,写出,微分方程的积分并积分,弯曲变形,x,y,F,L,a,例,2,求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,应用位移边界条件,求积分常数,弯曲变形,F,L,a,x,y,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,F,L,a,x,y,弯曲变形,例,3,用积分法求图示梁（刚度为,EI,）的,w,A,、,B,、,A,及,最大挠度,。,解：求支反力，列弯矩方程：,建立微分方程并积分：,用边界条件确定积分常数：,C,l/2,l/2,A,B,M,e,FA,x,y,弯曲变形,例,3,用积分法求下列各梁（刚度为,EI,）的,w,A,、,B,、,A,及,最大挠度,。,C,l/2,l/2,A,B,M,e,F,A,x,y,列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：,例,4,用积分法求梁（刚度为,EI,）的,w,A,和,B,。,解：求支反力，列弯矩方程：,建立微分方程并积分：,F,B,C,l,a,A,B,F,弯曲变形,x,y,例,4,用积分法求梁（刚度为,EI,）的,w,A,和,B,。,弯曲变形,用边界条件确,定积分常数：,F,B,C,l,a,A,B,F,x,y,列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：,弯曲变形,F,B,C,l,a,A,BF,x,y,例,5,试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。,（,a,）,C,a,a,A,B,m,D,a,（,b,）,C,a,a,A,B,q,（,c,）,C,3a,a,A,B,q,D,（,d,）,C,a,a,A,B,m,D,a,m,弯曲变形,例,5,试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。,解：作弯矩图：,边界条件：,（,a,）,C,a,a,A,B,m,D,a,m/2,m/2,解：作弯矩图：,边界条件：,（,b,）,C,a,a,A,B,q,qa,2,/4,9qa,2,/32,解：作弯矩图：,边界条件：,（,c,）,C,3a,a,A,B,q,D,qa,2,/2,8qa,2,/9,解作弯矩图：,边界条件：,（,d,）,C,a,a,A,B,m,D,a,m,m,例：,求外伸梁,C,点的位移。,L,a,C,A,B,P,解：,将梁各部分分别,引起的位移叠加,A,B,C,P,刚化,EI=,P,C,w,C1,1,、,BC,部分引起的位移,w,c1,、,c1,c1,2,、,AB,部分引起的位移,w,C2,、,C2,C,A,B,P,刚化,EI=,w,C2,B2,P,Pa,B2,例,1,按叠加原理求,A,截面转角和,C,截面挠度。,解、,载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表，,查简单载荷引起的变形。,弯曲变形,q,q,F,F,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,弯曲变形,q,q,FF,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,例,2,按叠加原理求,C,截面挠度。,解：,载荷无限分解如图,由梁的简单载荷变形表，,查简单载荷引起的变形。,叠加,弯曲变形,q,0,0.5,L,0.5,L,x,y,C,表,1,x,d,x,例,3,用叠加法求梁（刚度为,EI,）的,w,B,和,B,。,解：,C,l/2,l/2,A,B,F,弯曲变形,C,l/2,l/2,A,B,F,q,C,l/2,l/2,A,B,q,Bq,w,Bq,例,4,用叠加法求梁（刚度为,EI,）的,w,B,和,B,。,解：,弯曲变形,C,l/2,l/2,A,B,q,C,l/2,l/2,A,B,q,C,l/2,l/2A,B,q,B2,w,B2,2,弯曲变形,q,C,A,B,l/2,l/2,例,5,用叠加法求梁（刚度为,EI,）的,w,C,。,q,C,A,B,l/2,l/2,q,C,A,B,l/2,l/2,q,w,C1,w,C2,w,C,解：,1,例,6,用叠加法求梁（刚度为,EI,）的,w,A,和,B,。,解：将载荷分解：,C,l/2,l/2,A,B,FL,F,C,l/2,l/2,A,B,F,C,l/2,l/2,A,B,Fl,=,+,弯曲变形,表,2,例,6,用叠加法求梁（刚度为,EI,）的,w,A,和,B,。,解：将载荷分解：,C,l/2,l/2,A,B,FL,F,C,l/2,l/2,A,B,F,=,C,l/2,l/2,A,B,Fl,+,弯曲变形,表,2,C,l/2,l/2,A,B,F,Fl/2,=,+,弯曲变形,F,L,1,L,2,A,B,C,B,C,F,L,2,w,1,w,2,等价,等价,x,y,w,F,L,1,L,2,A,B,C,刚化,AC,段,F,L,1,L,2,A,B,C,刚化,BC,段,F,L,1,L,2,A,B,C,M,x,y,x,y,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,例,7,用叠加法求梁（刚度为,EI,）的,w,A,和,B,。,解：,q,C,a,A,B,qa,a,a,C,a,A,B,qa,a,a,q,C,a,A,B,a,a,=,+,弯曲变形,表,1,表,2,w,A1,B1,例,7,用叠加法求梁（刚度为,EI,）的,w,A,和,B,。,A,C,a,B,a,a,q,C,a,A,B,a,a,+,=,弯曲变形,表,1,表,2,qa,2,/2,qa,w,A2,B2,w,A3,q,A,B,例,7,用叠加法求梁（刚度为,EI,）的,w,A,和,B,。,q,C,a,A,B,qa,a,a,+,弯曲变形,表,1,表,2,C,a,A,B,qa,a,a,=,w,A1,B1,A,C,a,B,a,a,+,qa,2,/2,w,A2,B2,w,A3,q,A,B,qa,例,8,已知：梁的刚度为,EI,，欲使,w,D,0,，求：,F,与,q,的关系及,w,C,。,解：,F,弯曲变形,C,a,A,Ba,a,D,C,F,q,C,a,A,B,a,a,D,q,C,a,A,B,a,a,D,Fa,F,例,8,已知：梁的刚度为,EI,，欲使,w,D,0,，求：,F,与,q,的关系及,w,C,。,弯曲变形,F,C,a,A,B,a,a,D,C,F,q,C,a,A,B,a,a,D,q,C,a,A,B,a,a,D,Fa,F,6-4,梁的刚度校核,一、梁的刚度条件,其中,称为许用转角；,w,称为许用挠度。通常,依此条件进行如下三种刚度计算：,、,校核刚度：,、,设计截面尺寸；,、,确定许可载荷。,弯曲变形,L=,400mm,F,2,=2kN,A,C,a=,100mm,200mm,D,F,1,=1kN,B,例9,一空心圆杆，内外径分别为：,d,=40mm,、,D,=80mm,，杆的,E,=210GPa,，工程规定,C,截面的,w,=1,10,-5,m,B,截面的,=,0.001rad,试,核此杆的刚度。,=,+,+,=,弯曲变形,F,1,=1kN,A,B,D,C,F,2,B,C,D,A,F,2,=2kN,B,C,D,A,F,2,B,C,a,F,2,B,C,D,A,M,F,2,B,C,a,=,+,+,图,1,图,2,图,3,解：,结构变换，查表求简单 载荷变形。,弯曲变形,L=,400mm,F,2,=2kN,A,C,a=,0.1m,200mm,D,F,1,=1kN,B,F,1,=1kN,A,B,DC,F,2,B,C,D,A,M,x,y,表,1,表,2,F,2,B,C,a,=,+,+,图,1,图,2,图,3,弯曲变形,L=,400mm,F,2,=2kN,A,C,a=,0.1m,200mm,D,F,1,=1kN,B,F,1,=1kN,A,B,D,C,F,2,B,C,D,A,M,x,y,叠加求复杂载荷下的变形,校核刚度,弯曲变形,例,10,已知：,F=20KN,，,E=200GPa,，规定,A,处的许可转角为：,=,0.5,0,。,试确定轴的直径。,解：用逐段刚化法：（设轴的直径为,d,）,C,A,B,F,2000,1000,C,A,B,F,2000,1000,m,F,=,+,弯曲变形,表1,6-6,简单超静定,梁的求解方法,处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,解法：,建立静定基相当系统,确定超静定次数，用反力代替多余约束得到原结构的静定基相当系统（,基本结构,）。,=,弯曲变形,q,0,L,A,B,L,q,0,M,A,B,A,q,0,L,F,B,A,B,x,y,几何方程,变形协调方程,+,弯曲变形,q,0,L,F,B,A,B,=,F,B,A,B,q,0,A,B,物理方程,变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,表,2,弯曲变形,q,0,L,F,B,A,B,求解其它问题（反力、应力、变形等）,M,A,F,A,F,S,M,几何方程,变形协调方程：,解：,建立静定基相当系统,=,例,1,结构如图，求,B,点反力。,L,BC,弯曲变形,x,y,q,0,L,A,B,C,q,0,L,F,B,A,B,=,F,B,A,B,+,q,0,A,B,=,L,BC,弯曲变形,x,f,q,0,L,A,B,C,F,B,A,B,+,q,0,A,B,物理方程,变形与力的关系,补充方程,反力与,EI,、,EA,有关,表,2,例,2,已知：梁,AB,、,CD,长度均为,L,，抗弯刚度均为,EI,，求：,B,点的挠度。,解：此结构为一次超静定，取静定基相当系统如图所示：,O,L/2,L/2,A,B,P,F,O,D,C,L/2,L/2,F,利用变形协调条件建立补充方程：,弯曲变形,表,1,表,2,利用叠加法求,B,点的挠度：,弯曲变形,O,L/2,L/2,A,B,P,F,O,D,C,L/2,L/2,F,例,3,已知：梁,AB,在自由端受集中力,P,、,DF,为加固梁，两梁在,C,点可视为简支支承，抗弯刚度均为,EI,，求：（,1,）,C,处反力,F,，（,2,）梁,AB,的最大弯矩和,B,点的挠度比无加固时减少多少？,解：此结构为一次超静定，取静定基相当,系统如图所示：,C,L/2,L/2,A,B,P,F,利用变形协调条件建立补充方程：,F,L/2,D,F,弯曲变形,表,2,C,L/2,L/2,A,B,P,F,F,L/2,D,F,弯曲变形,A,B,P,例：,梁,ABC,由,AB,、,BC,两段组成，两段梁的,EI,相同。试绘制剪力图与弯矩图。,解：,变形协调条件为：,其余,自行完成！,例：,图示结构,AB,梁的抗弯刚度为,EI,，,CD,杆的抗拉刚度为,EA,，,已知,P,、,L,、,a,。求,CD,杆所受的拉力。,P,A,B,C,D,a,解：,变形协调条件为：,D,a,C,P,A,B,C,6-5 简单超静定梁,1.基本概念：,超静定梁：,支反力数目大于有效平衡方程数目的梁,多余约束：,从维持平衡角度而言,多余的约束,超静定次数：,多余约束或多余支反力的数目。,2.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：,用多余约束力代替多余约束的静定系统,7-6,目录,解,例6,求梁的支反力，梁的抗弯,刚度为,EI,。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,目录,3）进行变形比较，列出变形协调条件,6-5 简单超静定梁,4）由物理关系，列出补充方程,所以,5）由整体平衡条件求其他约束反力,目录,6-5 简单超静定梁,例7,梁,AB,和,BC,在,B,处铰接，,A、C,两端固定，梁的抗弯刚度均为,EI,，,F,=40kN，,q,=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从,B,处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,F