弧微分与曲率.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 微分中值定理与导数的应用,高等数学,第六节 弧微分与曲率,怎样描述曲线局部弯曲程度？,),),弧段弯曲程度,越大转角越大,转角相同弧段越,短弯曲程度越大,),我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分,有不同的弯曲程度；,一 弧微分,规定：,易看出,：弧长 是,x,的单调增函数,.,下面求 的导数与微分,弧微分公式,弧微分公式,设,x,x,D,x,为,(,a,b,),内两个邻近的点,它们在曲线,y,f,(,x,),上的对应点为,M,N,并设对应于,x,的增量,D,x,弧,s,的增量,为,D,s,.,因为当,D,x,0,时,D,s,MN,又,D,x,与,D,s,同号,所以,由此得弧微分公式,:,或者,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,),弯曲程度越大转角越大,转角相同弧段短的弯曲大,1,、曲率的定义,),),二、曲率及其计算公式,问题,:,怎样刻画曲线的弯曲程度？,提示,：,可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表,达弧段的平均弯曲程度,.,2,、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点,M,开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点,M,处的曲率,注,:,直线上任意点处的曲率为,0!,转角为,例,1.,求半径为,R,的圆上任意点处的曲率,.,解,:,如图所示,可见,:,R,愈小,则,K,愈大,圆弧弯曲得愈厉害,;,R,愈大,则,K,愈小,圆弧弯曲得愈小,.,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率,K,的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,注,:,参数方程下曲率的计算,例,2,计算等边双曲线,xy,1,在,点,(1,1),处的曲率,.,曲线在点,(1,1),处的曲率为,因此,y,|,x,1,1,y,|,x,1,2,解,例,3,抛物线,y,ax,2,bx,c,上,哪一点处的曲率最大？,解,由,y,ax,2,bx,c,得,y,2,ax,b,y,2,a,代入曲率公式,得,显然,当,2,ax,b,0,时曲率最大,因此,抛物线在顶点处的曲率最大,此处,K,|2,a,|例,4.,求椭圆,在,t=0,处的曲率,.,解,:,故,曲率为,在,t=0,处,即在点,(,a,0),的曲率为,思考,:,上面的椭圆在何处曲率最大,?,三、曲率圆与曲率半径,设,M,为曲线,C,上任一点,在,点,在,曲线,把以,D,为中心,R,为半径的圆叫做曲线在点,M,处的,曲率圆,(,密切圆,),R,叫做,曲率半径,D,叫做,曲率中心,.,在点,M,处曲率圆与曲线有下列密切关系,:,(1),有公切线,;,(2),凹向一致,;,(3),曲率相同,.,M,处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点,D,使,1.,曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲,率互为倒数,.,注,:,2.,曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处,的曲率越小,(,曲线越平坦,);,曲率半径越小,曲率越大,(,曲线越弯曲,).,3.,曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附,近曲线弧,(,称为曲线在该点附近的二次近似,).,例,6.,求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径,.,解：,x,y,O,A,法线：,x,=0.,切线：,y,=0 ,求 的最小曲率半径时的曲率圆的方程,.,例,7,设工件表面的截线为抛物线,y,0.4,x,2,.,现在要用,砂轮磨削其内表面,.,问用直径多大的砂轮才比较合适？,解,砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径,抛物线顶点处的曲率半径为,r,=,K,-1,1.25,因此,选用砂轮的半径不得超过,1.25,单位长,即直径,不得超过,2.50,单位长,y,0.8,x,y,0.8,y,|,x,0,0,y,|,x,0,0.8,把它们代入曲率公式,得,例,9,解,如图,受力分析,视飞行员在点,o,作匀速圆周运动,O,点处抛物线轨道的曲率半径,得曲率为,曲率半径为,即,:,飞行员对座椅的压力为,641.5,千克力,.,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支,微分几何学,.,基本概念,:,弧微分,曲率,曲率圆,.,曲线弯曲程度的描述,曲率,;,曲线弧的近似代替曲率圆,(,弧,).,四、小结,内容小结,1.,弧长微分,或,2.,曲率公式,3.,曲率圆,曲率半径,要使 最大，,必有 最小，,此时 最大，,附,1,椭圆 上哪 些点处曲率最大？,解,附,2.,铁道的弯道分析,证明,:,如图,在缓冲段上,根据实际要求,