概率论和数理统计 随机变量及其分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,1.2,随机变量及其分布,一、一维随机变量及其分布函数,二、多维随机变量及其分布函数,2,注,:,(1),分布函数是一种单调不减、实值、有界的普通函数,(2),对于任意实数,为一个定义域为,R,、,值域为0,，1,的函数，称之为,随机变量,X,的,分布函数,P,X,x,=,F,(,x,),设,X,为一随机变量,则对每一个实数,x,，,X,x,都是一个随机事件，进而,(3),分布函数的定义,3,(1),、定义:,如果随机变量,X,的所有可能的取值是有限多个或可列无限多个，则称,X,为,离散型随机变量又设,X,的可能取值是,x,1,x,2,x,k,，,若有,P,X,=,x,k,=,p,k,k,=1,2,称此通式为,X,的,概率分布,，也称,分布律.,表格法,如下：,p,k,p,1,p,2,p,n,X,x,1,x,2,x,n,(2),、性质,：,1,p,k,0，（,k,=1,2,）,2,p,k,=,1.,2,、离散型随机变量及其分布律,一个阶梯函数,(3),、离散型的分布函数,4,例,2,设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用,X,表示抽得的次品数，求随机变量,X,的分布律、分布函数及事件,“,至少抽得一件次品,”,的概率。,解,：,X,的可能取值为,0，1，2,；,P,抽得的两件全为正品,P,X,=0,P,X,=1=,P,X,=2=,故,X,的分布律为,例,1,中随机变量,的分布函数为,（,4,）几种常见的重要分布:,5,1,-,p,p,p,k,0 1,X,则称,X,服从,参数为,p,的(0-1)分布,或,二点分布,记为,X,(0-1),分布,背景,：,样本空间只有两个样本点的情况；,定义：,若随机变量,X,的分布律为,:,1,0,、0-1分布 (二点分布):,如：,“,抛硬币一次,X,表示正面朝上的次数,”,;,“,检验一件产品是否合格,X,表示,合格品,的,件,数,”,2、二项分布:,定义,：,若随机变量,X,的分布律为:,6,其中0,p,0,则称,X,服从参数为,的泊松分布，,记为,X,P(),.,注：,1,0,它是二项分布的极限形式！实际应用中：当,n,20,p,0.05,时，即可用近似公式,2,0,有,Poisson,分布表可查用.,其中,=,np,.,3,0,实际问题中若干,R.v.,X,是服从或近似服从,Poisson,分布的。,某服务台在某时间段内接待的服务次数,X；,某地区在某时间段内出现故障的次数,Y;,8,例,4,某公共汽车站单位时间内的候车人数服从参数,8,的泊松分布，求该公共汽车站单位时间内候车人数小于,5,的概率,.,解,记该车站单位时间内的候车人数为,X,则由题知,XP(8),查附表,1,知,9,(1),、数学定义：,若存在非负函数,f(x),使随机变量,X,的分布函数恰为,则称,X,为,连续型,随机变量，,称为,X,的,概率密度,。,(2),、,f,(,x,),的性质,3,、连续型随机变量及其概率分布,10,故,X,的密度,f,(,x,),在,x,这一点的值，恰好是,X,落在区间,上的概率与区间长度 之比的极限,.,若,x,是,f,(,x,),的连续点，则：,=,f,(,x,),对,f,(,x,),的进一步理解,:,要注意的是,，密度函数,f,(,x,),在某点处,a,的高度，并不反映,X,取值的概率,.,但是，这个高度越大，则,X,取,a,附近的值的概率就越大,.,11,定义,：,若连续型,Rv.X,的概率密度为,(3),、几种常见的连续型分布,1,0,、均匀分布,则称,X,服从,区间,(,a,b,),上的,均匀分布,。,背景,:,当,X,的取值落在区间,(,a,b,),中任意,分布函数,在区间,(,a,b,),之外的概率为,0,的情况。,12,例,5,102,电车每,5,分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过,2,分钟的概率。,X,（,0,，,5,）上的均匀分布,分析：,若记该乘客的候车时间为,X,，则,因此,X,的概率密度,所求为？,P,X,2=,F,(2),13,2,0,、指数分布,定义,若连续型随机变量,X,的概率密度为,背景,:,可靠性理论、排队论中,分布函数,14,例,6,、,设某仪器的使用寿命,X,（单位：万小时）服从参数为,1/15,的指数分布，求该仪器使用超过,30,万小时的概率,.,解,由题知,故其概率密度函数为,所以,3,0,、正态分布,1),定义,若连续型,R.v.X,的概率密度,为,则称,X,服从,参数为,，,2,的正态分布,15,2),标准正态分布：,称,N,(0,1,）分布为,标准正态分布,其概率密度为,图形与特性,3),标准正态分布表,如,0.9945,1-0.9750=0.025,16,例,7,设,X,N,（,1,4,），求,P,0,X,1.6,解,:,4),一般正态分布的标准化,5),正态分布的,应用,当连续型随机变量,X,可看作是许多,细小的、独立的,因素的总结果，且在正常情况下，每个细小因素都不起特别作用，则一般情况下,X,N,（,2,）,。,如,：,灯泡寿命、同龄人的身高、体重、考试分数等。,