平面问题的基本理论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 平面问题的基本理论,2.1,平面应力与平面应变,平面应力,要点：,平面应变问题,纵向轴,压力管道,纵向轴,水坝,2.2,平衡微分方程,1.,微元体介绍,2.,受力介绍,3.,力矩平衡,4.,剪应力互等,1.,三个未知数、两个方程，仍是超静定问题，还需从几何、物理方面着手,2.,以微元体考虑的静力学条件，严格精确,3.,完全适用于平面应变问题,2.3,平面中任意一点的应力状态,问题：求经过,P,点、平行于,z,轴、倾斜于,x,、,y,轴的任何斜面上的力,条件：任意点,p,点的应力分量已知,1.,方向余弦的概念,2.,力的分解,:,坐标轴方向、法切方向,3.,微元,PAB,：,单位厚度,AB=,ds,则,PA=,mds,PB=,l,ds,若过,P,点某一个斜面切向应力为零，则正应力称,为主应力,，该面为应力主面,链接,18,应力主面上，切应力为零。即,建立主面上主应力与应力分量的关系,得到两个主应力,第一应力不变量,2.4,几何方程,1.,介绍微线段,PA,、,PB,及其变化,PA=,dx,PB=,dy,2.,线应变,的求法,3.,剪应变,的求法,位移分量,形变分量,2.5,物理方程,1.,平面应力推导,2.,平面应变推导,平面应力,3,个应力分量,、,3,个形变分量、,2,个位移分量，,8,个未知量，,8,个方程，还需要边界条件才能求出,2.6,边界条件,弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。,边界面力已知,面力边界,S,s,确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。,边界条件 表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系。,边界面,应力分量和外力分量作用在不同的面上，且有不同的正负号规定。必须把边界,s,的坐标表达式代入到左边的应力分量中，上式才成立。,在坐标正面上，应力分量与面力分量同号；,在坐标负面上，应力分量与面力分量异号。,平面问题中，每边都有表示,x,向和,y,向的两个边界条件。,在边界面为正负,x,面时，应力边界条件中并没有,；,在边界面为正负,y,面时，应力边界条件中并没有 ；,即，平行于边界面的正应力，它的边界值与面力分量并不直接相关。,面力边界条件,描述弹性体表面的平衡，,平衡微分方程,描述弹性体内部的平衡。,这种平衡只是,静力学可能的平衡,。,真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足,变形连续条件,。,位移边界条件,边界位移已知,位移边界,S,u,位移边界条件,就是弹性体表面的,变形协调,弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等,混合边界条件,弹性体边界,S,S,s,S,u,部分边界位移已知,位移边界,S,u,部分边界面力已知,面力边界,S,s,不论是,面力边界条件,，,位移边界条件,，还是混合边界条件,，任意边界的边界条件数必须等于,3,个。,显然，边界条件要求在,x,=,a,上，,x,也成抛物线分布。,2.7,圣维南原理,圣维南原理又称为局部效应原理，它可以用于简化小边界上的应力边界条件。,重点难点,注意圣维南原理只能应用于小边界上。,应用圣维南原理于应力边界条件的表达方式。,概述,弹力问题是微分方程的边值问题。应力、位移等未知函数必须满足,A,内的方程和,S,上的边界条件，主 要的困难在于难以满足边界条件。,圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。,圣维南原理：,如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。,说明：,1.,圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；,2.,静力等效 指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；,3.,近处 指面力变换范围的一、二倍的局部区域；,4.,远处 指“近处”之外。,圣维南原理推广：,如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系,（主矢量及主矩都等于零），,那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。,圣维南原理的应用：,1,推广解答的应用；,2,简化小边界上的边界条件。,圣维南原理在小边界上的应用：,如图，考虑,x,=,l,小边界，,作业：,2-8,、,2-9,、,2-15,2.8,按位移求解平面问题,位移法（按位移求解的方法）,是取位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力和形变分量，导出只含位移分量的方程和边界条件；并由此解出位移分量，再求出形变分量和应力分量。,学习目标,掌握按位移求解的概念，方程的导出和求解方法。,重点难点,掌握基本未知函数,位移所应满足的全部条件。,1.,平面问题的基本方程及边界条件,2.,解法消元法,上式是用,u,v,表示的平衡微分方程,第九节 按应力求解平面问题 相容方程,以应力分量为基本未知函数，导出求解应力的基本方程和边界条件,掌握按应力求解的概念，方程的导出。,按应力求解的方程的导出，应力分量必须满足的全部条件。,连续体的形变分量不是相互独立的,教材上的例子,对,x,求导,对,y,求导,+,平面应力,平面应变,本节介绍在常体力情况下，按应力求解方法的进一步简化。,学习目标,1.,在单连体、体力为常量，且全部均为应力边界条件下，平面应力分量与弹性常数无关。,2.,在常体力情况下，按应力求解简化为求解应力函数的问题。,2-10,常体力情况下的简化,/,应力函数,重点难点,平面应力分量与弹性常数无关的条件。,按应力函数求解平面问题的方法。,为求,，带入应力表示的相容方程,作业：,2-18,