第一章 仿射几何.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等几何电子教案,1.1,平行射影与仿射对应,一,.两直线间的平行射影与仿射对应,A,B,C,D,1.,平行射影或透视仿射：,若直线,且,，,点,A,B,C,D,过点,A,B,C,D,作直线的平行线交于,，则可得直线,到直线,的一个映射。,称为平行射影或透视仿射，记为,T,A,B,C,D,原象点：,A,B,C,D,直线,a,上的点,平行射影的方向：直线,透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射,O,点,O,为自对应点(同一平面上两相交直线的公共点,),映象点：,直线上,的点,记透视仿射,T：,2.仿射（或仿射变换）：,仿射是透视仿射链或平行射影链,表示透视仿射链，,T,表示仿射（如图）,仿此，每一个对应点都可以这样表示。,注：,1.仿射是有限回的平行射影组成的,2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行,3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的,二.,两平面的平行射影与仿射对应：,1.,平行射影：,如图,点,A,B,C,共线,a，,则 共线,g,A,B,C,a,l,两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴,平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透 视 仿射链,性质：,1.,透视仿射保留同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）,即点对应点，直线对应为直线.,2.,保留点与直线的结合性,2仿射：,1.2,仿射不变性与不变量,定义1,仿射不变性与不变量,：经过一切透视仿射不变的性质和数量,仿射图形,：经过任何仿射对应不改变的图形.,仿射性,：经过任何仿射对应不改变的性质.,仿射量,：经过任何仿射对应不改变的数量.,定理1：,两直线间的平行性是仿射不变性.（反证法）,推论,平行四边形是仿射不变的图形.,定义,2,简比：,设,A,B,C,为共线三点，这三点的简比（,ABC）,定义为以下有向线段的比：,当点,C,在线段,AB,上时，(,ABC)0,当点,C,在线段,AB,或,BA,的延长线上时，,当点,C,与点,A,重合时，,当点,C,与点,B,重合时，,当点,C,为线段,AB,的中点时，(,ABC),=-1,则点,C,称为分点，,A,B,两点称为基点,简比(,ABC),等于点,C,分割线段,AB,的分割比的相反数,例1,经过点,A(-3,2),和,B(6,1),两点直线被直线,x+3y-6=0,截于,P,点，求简比（,ABP）,解,:,设,(,ABC),0,(,ABC),=,0,(,ABC),不存在,定理2,共线三点的简比是仿射不变量.,定理3,两平行线段之比是仿射不变量.,点,P,在直线,x+3y-6=0,上,.,A,B,C,=,=,要证,:,A,B,C,D,E,证明,:,如图,作,DE AC,=,=,简比是仿射不变量,定理4,一直线上两线段之比是仿射不变量.,定理5,在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数,g,A,B,C,证明,:,设,T,为 到 的一个透视仿射,如图,并且,则,=,若,AB g,=,=,g,则显然成立,.,若,AB g,=,g,=,过,A,B,分别引轴,g,的垂线,垂足分别为,由相似三角形得,:,定理2,任意两个三角形面积之比是仿射不变量.,证明,:,分两种情形,特殊情形,:,有两对对应点在对应轴,g,上并且重合,.,如图,A,B,C,g,一般情形,:,如图,对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,ABC,与,对应,三对对应边相交于对应轴,g,上,.,A,B,C,g,X,Y,Z,由 的证明可得,:,推论1,在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量,推论2,在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量,1.3,平面内的仿射变换及其决定,一.平面内的透视仿射,设 为平面 到平面 的透视仿射，射影方向为 .,设 为平面 到平面 的透视仿射，射影方向为 .,则,g,A,B,设,T,将 上的点,A,变换为其本身上的点,T,将 上的点,B,变换为其本身上的点,a,T,将 上的点 变换为 上的点,将 上的直线,a,变换为 上的直线 ,即,T,保留同素性和接合性.,T,将 上的相交直线,a,b,变换为 上的相交直线 .,T,将 上的平行直线,变换为 上的平行直线 .,和 的交线g,上的每一点经过,T,不变，且,T,具有仿射不变性与不变量，称,T,为平面 到自身的透视仿射,定理1,平面内的透视仿射由一对对应轴与一对对应点完全决定,证明,:,设已知对应轴,g,与不在其上的一对对应点 为平面,上任一已知点,定理2,给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可使一个三角形变为另一个三角形,B,A,X,g,连直线,AB,设与对应轴,g,相交于,X,连,X,与,则,AX,与 是一对对应直线,过,B,引 的平行直线,与,B,对应的,点 就只能是这直线与 的交点,.,是唯一确定的,.,B,A,g,AB,=,g,g,o,A,B,C,证明,:,把,ABC,平移到 使顶点,A,落在 上,把平移看作,透视仿射的特例,.,记为,A,B,C,对应轴不存在,对应边互相平行,再以直线 为透视轴,以,作为一对对应点确定一个透视仿射,.,最后以 为对应轴,以,作为一对对应点确定一个透视仿射,T,为仿射变换,定理3,原象点不共线，映象点也不共线的三对对应点决定唯一的仿射变换,.,若两三角形有一对顶点重合,则利用两回透视仿射就够了,.,若两三角形有两对顶点重合,则利用一回透视仿射就够了,.,仿射等价图形,:,经过仿射变换可以互相转换的图形,.,任意三角形是仿射等价的,.,证明,:,存在性,:,设 是平面内不共线的任意三点,.,也是不共线的任意三点,.,存在一个仿射变换,T,使,在平面内任意取一点,P,设 交 于,Q.,由定理,2,知,.,Q,P,唯一性,:,设存在另一个仿射,在平面内任意取一点,P,设,于,Q,为仿射,.,保持接合性且简,比不变,都在直线 上,.,且有,:,对于平面上任意一点,P,都有,作业,:,1.4,仿射变换的代数表示,设有一正交笛卡儿坐标系,xoy,，,以,E,为单位点（如图）。一个仿射变换,T,将平面上一点,P,变换为一点 ，求,P,的坐标（,x,y）,和,的坐标 之间的关系。,仿射变换,T,由三对对应点唯一确定.设 的坐标为,X,轴上的单位点 的映象 的坐标为,y,轴上的单位点 的映象 的坐标为,设,P,在坐标轴上 的正射影，且 ，则,T,将平行四边形 及 分别变换为平行四边形,及 .由于,T,保留简比.则,x,y,O,P(x,y),或者写为,且,因为 三点不共线，三点不共线,所以行列式不为,O,(1),(2),定义1,把笛氏坐标系在仿射对应下的象叫仿射坐标系，叫点 的仿射坐标，记为,对于斜交笛氏坐标系，仿射坐标系，上面的代数式（1），（2）都成立。,例1,求使点（0，0），（1，1），（1，-1）分别变为点,（2，3）,（2，5），（3，-7）的仿射变换。,将点,解,:,分别代入仿射变换的代数表示式得,:,仿射变换式为,:,例2,求仿射变换 的不变直线。,解,:,设所求的不变直线为,:,ax+by+c,=0,仿射变换的特例,:,(3),(4),当,a=1,时,(4),式是恒同变换,.,(1,-2),(1,2),1,求使直线,x=0,y=0,x+2y-1=0,分别变为直线,x+y,=0,x-y=0,x+2y-1=0,的仿射变换,.,练习,:,解,:,设所求的仿射变换为,则有,:,由以上,(1),(2),(3),联立解得,作业：,15、16,