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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,1,章 离散时间信号与系统,1.1,离散时间信号,序列,1.2,连续时间信号的采样,1.3,离散时间系统时域分析,1.4,Z,变换,1.5,拉氏变换、傅氏变换与,Z,变换,1.6,离散时间系统的频域分析（,域和,域）,1.1,离散时间信号,序列,1,、定义,离散时间信号：,只在离散时间上给出函数值，是一个整数值变量,n,的函数，表示为,x(n,),或,x,(,n,),。,离散时间信号,x,(,n,),表示成数值的序列。,对连续时间信号,x,a,(,t,),，,以每秒,f,s,=1/,T,个采样的速率采样得到,x,(,n,),，,其与,x,a,(,t,),的关系为,：,2,、序列的产生,1,）,对连续时间信号,x,a,(,t,),采样,2,）,自然产生,1.1.1,序列的运算,序列,x,(,n,),的移位序列,w,(,n,),为：,m,0,时,，,x,(,n,-,m,),是指序列,x,(,n,),逐项依次延时,（右移）,m,位而给出的一个新序列,;,当,m,0,，,x,(,n-m,),是指依次超前,（左移）,m,位,。,1,移位,2,翻褶,(,a,),x,(,n,),序列；,(,b,),x,(-,n,),序列,序列,x,(,n,),的翻褶序列,x,(-,n,),，,是,以,n,=0,的,纵轴,为对称轴，将序列,x,(,n,),加以翻转得到的新序列,。,两序列的和是指同序号,n,的序列值逐项对应相加而构成的,一个新序列。和序列,z,(,n,),表示为：,3,和,两序列的积是指同序号,n,的序列值逐项对应相乘而构成的,一个新序列。积序列,f,(,n,),表示为：,4,积,序列,x,(,n,),的,标乘是指,x,(,n,),的每个序列值乘以常数,c,。,标乘序,列,f,(,n,),表示为：,5,标乘,6,累加,序列,x,(,n,),的累加序列,y,(,n,),定义为：,后向差分：,x,(,n,)=,x,(,n,)-,x,(,n,-1),7,差分运算,前向差分：,x,(,n,)=,x,(,n,+1)-,x,(,n,),由此得出：,x,(,n,)=,x,(,n,-1),1.1.2,、几种常用序列,1,、单位采样序列（单位冲激）,单位采样序列的移位序列：,2,、单位阶跃序列,(,n,),与,u,(,n,),之间的关系：,3,、矩形序列,4,、实指数序列,其中，,a,是实,数。,5,、正弦序列,:,正弦序列的数字域频率，单位是弧度。,6,复指数序列,序列值为复数的指数序列称为复指数序列。复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分，表示为：,或,0,是复正弦的数字域频率。,用极坐标表示：,故,：,正弦序列，对于任意整数,k,，,=,2,k,的邻域内的频率,0,与,=0,的邻域内的频率,0,2,k,是不能区分的；同样的，,=,(2,k,+1),的邻域内的频率,0,与,=,的邻域内的频率,0,(2,k,+1),也是不能区分的。,结论：,0,=,2,k,邻域内的频率称为,低频,；,0,=,(2,k,+1),的邻域内的频率称为,高频,；,称为折叠频率,则称序列,x,(,n,),是周期性序列，周期为,N,。,二、正弦序列的周期性,则：,如果对所有,n,存在一个最小的正整数,N,，满足：,1.1.3,序列的周期性,一、定义,（,1-12,）,若,N,0,=2,k,当,k,为正整数时，则：,正弦序列即为周期性序列，其周期为,N,=2,k,/,0,（,N,，,k,必须为整数）。,式中，,k,N为,互素,的整数，则 为最小正整数，序列的周期为,N,。,（,2,）当,2/,0,不是整数，而是一个有理数时，则：,（,1,）,2/,0,为正整数时，周期为,2/,0,。,以周期,T,采样得到的，即：,设正弦序列,x,(,n,),是由模拟信号,x,a,(,t,),：,1,、,模拟频率与数字频率的关系,其中：,（,3,）当,2,/,0,是无理数时，正弦序列为非周期序列,三、采样正弦序列的周期,0,是一个相对频率，用,0,代替,0,T,，得：,令,0,为数字域频率，且满足：,是采样频率。,2,、,x,(,n,),为周期序列的条件,若,x,(,n,),为周期序列，则：,必须为整数，即：,式中，,k和,N,皆为正整数,，从而有：,即,N,个采样间隔应等于,k,个连续正弦信号的周期。,(1-13),1.1.4,用单位采样序列来表示任意序列,由于：,任意一个序列,x,(,n,),均可以表示成单位采样序列的移位加权和，即：,则：,（,1-14,）,序列,x,(,n,),的能量,E,定义为序列各采样样本的平方和，即,1.1.5,序列的能量,1.2,连续时间信号的采样,1.2.1,理想采样,冲激函数序列,s,(,t,),：,（,1-16,）,理想采样,：用冲激函数序列 对模拟信号进行的采样,以 表示理想采样的输出，有：,(1-17),即：,(1-19),(1-23),1.2.2,理想采样信号的频谱,理想采样信号的频谱为：,采样信号的频谱：,（,1-26,）,(1-28),若,x,a,(,t,),是限带信号，其最高频谱分量,h,不超过,s,/2,，即：,(1-29),则采样信号在任一周期内的频谱与原模拟信号的频谱相同。,时域连续信号的冲激（理想）采样，在频域中产生周期性函数，其周期等于采样周期。,采样信号的,频谱,是原模拟信号的频谱以,s,为周期，进行周期性延拓而成的。,混叠现象,(1-30),采样频率之半（,s,/2,）称为,折叠频率,，即：,奈奎斯特采样定理,:,若采样后能够不失真地由采样信号恢复出原信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。即：,频率,2,h,称为奈奎斯特频率3,、,采样定理,1.2.3,采样的恢复,则采样后不会产生频谱混叠，由式（,1-28,）知,：,故将 通过一个理想低通滤波器即可恢复原信号。,如果理想采样满足奈奎斯特定理，即,：,采样信号通过该滤波器，有：,在输出端可以得到原模拟信号：,由 与,h,(,t,),的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为：,理想低通滤波器的冲激响应为：,1.2.4,由采样信号序列重构带限信号,h,(,t,-,nT,),称为内插函数,：,（,1-35,）,由于,y,a,(,t,)=,x,a,(,t,),，上述卷积结果也可以表示为：,(1-36),1.3,离散时间系统时域分析,一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。以,T,来表示这种运算，即：,1.3.1,线性系统,那么当且仅当下成立时，该系统是线性的,若系统在,x,(,n,),和,x,2,(,n,),单独输入时的输出分别为,y,1,(,n,),和,y,2,(,n,),，即,:,满足叠加原理的系统称为线性系统,式中，,a,为任意常数。上述第一个性质称为可加性，第二个称为齐次性或比例性。,（,1-39,）,式,(1-39),对任意常数,a,1,和,a,2,都成立。该式可推广到多个输入的叠加，即,:,（,1-40,）,式中,y,k,(,n,),就是系统对输入,x,k,(,n,),的响应。,在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足,可加性和比例性。,例,1-1,以下系统是否为线性系统：,y,(,n,)=2,x,(,n,)+3,证,因：,此系统不满足叠加性，故不是线性系统。,系统响应与激励施加于系统的时间无关,的系统称为,移,（时）不变系统。即：,1.3.2,时不变系统,则,T,x,(,n-m,),=y(,n-m,),（,m,为任意整数）,T,x,(,n,),=,y,(,n,),若,例,1-2,证明,不是时不变系统。,证,二者不相等，故不是时不变系统。,同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变,（,LTI,）离散时间系统，简称,LTI,系统。,单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。一般用,h,(,n,),表示单位脉冲响应，即,:,1.3.3,单位脉冲响应与系统的输入输出关系,线性时不变系统可用它的单位脉冲响应来表征。,设系统输入序列为,x,(,n,),，输出序列为,y,(,n,),。由式（,1-14,）知，,任一序列,x,(,n,),可以写成,(,n,),的移位加权和：,1,、单位脉冲响应,系统的输出为：,线性系统，用叠加原理式,（,1-40,），,则,:,由系统的时不变性，得：,故,：,（,1-42,）,上式称为序列,x,(,n,),与,h,(,n,),的离散卷积，也称为“线性卷积”或“直接卷积”或简称“卷积”，并以“*”表示之。,图,1-16,线性时不变系统,2,、离散离散卷积的计算方法,卷积的求解方法：,图解法、解析法、,Matlabl,求,解法,1,）,翻褶：,在,哑变量,m,上作出 ，将以,m,=0,的纵轴为对称轴翻褶成 ；,图解法,2,）,移位：,将 ，即得 ；,3,）,相乘：,将 和 的,相同,m,值的对应点值相乘并相加,得,y,(,n,),；,4,）,对,上所的,n,重复步骤,2,）、,3,），,即得 值。,3,、,卷积与两序列的先后次序无关,(1-43),（,1-39,）,二、时不变系统,（,m,为任意整数）,同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变,（,LTI,）离散时间系统，简称,LTI,系统。,一、线性系统,（,1-41,）,三、单位脉冲响应与系统的输入输出关系,1,、单位脉冲响应,（,1-42,）,2,、,LTI,系统的响应,1.3.4,线性时不变系统的性质,卷积服从交换律：,(1-44),1,交换律,可以证明卷积运算服从结合律，即,(1-45),2,结合律,(1-46),3,分配律,非因果系统：如果系统的输出,y,(,n,),还取决于,x,(,n,+1),，,x,(,n,+2,),，,也即系统的输出还取决于未来的输入的系统。,1.3.5,因果系统,因果系统：系统此时的输出,y(n),只取决于此时，以及此时,以前的输入，即,x,(,n,),x,(,n,-1),x,(,n,-2),。,线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是：,因果序列n,0,，,x,(,n,)=0,的序列。,（,1-47,）,有界序列：如果对于任意序列,x,(,n,),，,存在一个不变的正有限值,B,x,，,对于所有,n,值满足：,1.3.6,稳定系统,稳定系统：有界输入产生有界输出（,BIBO,）的系统。,则称该序列是有界的。,稳定系统：对于每个有界输入存在一个不变的正有限值,B,y,，对于所有,n,值，输出序列,y,(,n,),满足：,（,1-48,）,（,1-49,）,线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉冲响应绝对可和，即,:,(1-50),因果、稳定的,线性时不变系统的单位脉冲响应应满足：,离散时间线性时不变系统的输入输出关系用以下形式的常系数线性差,分方程表示：,(1-52),1.3.7,常系数线性差分方程,（,1,）迭代法，此法较简单，但是只能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答。,离散时域求解法有两种：,（,2,）卷积计算法，这用于系统起始状态为零时的求解。,离散序列,x,(,n,),的,Z,变换定义为：,1.4,Z,变 换,式中，,z,是一个复变量，它所在的复平面称为,Z,平面。用,Z,x,(,n,),表示对序列,x,(,n,),进行,Z,变换，即：,(1-54),(1-55),1.4.1 Z,变换的定义及收敛域,1.Z,变换的定义,称为双边,Z,变换。相应的单边,Z,变换的定义为：,(1-56),对任意给定序列,x,(,n,),，,使其,Z,变换收敛的所有,z,值的集合称为,X,(,z,),的收敛域。,2.Z,变换的收敛域,式（,1-54,）的级数收敛的充要条件是绝对可和，即要求,:,R,x,-,|,z,|,R,x,+,(1-57),收敛域一般形式：,常用的,Z,变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：,分子多项式,P,(,z,),的根是,X,(,z,),的零点，分母多项式,Q,(,z,),的根是,X,(,z,),的极点。收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。,（,1,）有限长序列,3.,序列与收敛域,序列,x,(,n,),只在有限区间,n,1,n,n,2,内具有非零的有限值，即：,其,Z,变换为：,x,(,n,),为有界序列,。,(1-58,a,),(1-58,b,),(1-58,c,),开域,(0,),称为“有限,Z,平面”。,收敛域是整个,z,的闭平面,(0|,z|),。,例,1-5,x,(,n,)=,(,n,),，求此序列的,Z,变换及收敛域。,解,这是,n,1,=,n,2,=0,时有限长序列的特例，由于,例,1-6,求矩形序列,x,(,n,)=,R,N,(,n,),的,Z,变换及其收敛域。,解,这是一个有限项几何级数之和。因此,（,2,）右边序列,(1-59),如果,R,x,-,是收敛域的最小半径，,则右边序列,Z,变换的收敛域为,:,右边序列,:,是指,x,(n,),只在,n,n,1,时有值。其,Z,变换为,:,R,x-,|z|,因果序列：,n,1,=0,的右边序列。,Z,变换的收敛域可以包括,|,z,|=,。即：,(1-60),Z,变换收敛域包括,|,z|=,是因果序列的特征。,对于右边序列，如果序列,Z,变换有,N,个有限极点,z,1,z,2,z,N,存在，则收敛域一定在,模值为最大,的这一个极点所在圆以外。即：,R,x,-,=max,|,z,1,|,|,z,2,|,|,z,N,|,例,1-7,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),求其,Z,变换及收敛域。,解,:,因果序列，,Z,变换为,:,右边序列的,Z,变换如果有,N,个,有限极点,z,1,z,2,z,N,存在，则,（,3,）左边序列,左边序列,Z,变换的收敛域为：,如果,n,2,0,，,则式（,1-61,）右端不存在第二项，故收敛域应包括,z=0,，,即,|,z,|,R,x,+,。,左边序列：序列在,n,n,2,时,x,(,n,),有值。其,Z,变换为：,例,1-8,x,(,n,)=-,a,n,u,(-,n,-1),求其,Z,变换及收敛域。,此等比级数在,|,a,-1,z,|1,，,即,|,z,|,a,|,处收敛。故：,解：,左边序列，其,Z,变换为：,对于左边序列，如果序列,Z,变换有,N,个有限极点,z,1,z,2,z,N,存在，则收敛域一定在,模值为最小,的这一个极点所在圆以内。即：,R,x,+,=min,|,z,1,|,|,z,2,|,|,z,N,|,（,4,）双边序列,(1-62),R,x,-,|,z,|,R,x,+,如果,R,x-,R,x,+,，则无公共收敛区域，,Z,变换不存在。,双边序列可看作一个右边序列和一个左边序列之和，即：,例,1-9,x,(,n,)=,a,|,n,|,a,为实数，求其,Z,变换及收敛域。,设：,解,：,双边序列，其,Z,变换为：,若,|,a,|1,，,则存在公共收敛域：,若,|,a,|1,，,则无公共收敛域，因此也就不存在,Z,变换的封闭函数，这种序列如图,1-27,。序列两端都发散。,1.4.2,Z,反变换,(1-63),则：,(1-64),若：,已知函数,X(z),及其收敛域，反过来求序列的过程称为,Z,反变,换，表示为：,x,(,n,)=,Z,-1,X,(,z,),Z,反变换的一般公式,1.,围线积分法（留数法）,(1-66),或：,(1-67),根据留数定理，若函数,F,(,z,)=,X,(,z,),z,n,-1,在围线,c,以内有,K,个极点,z,k,，而在,c,以外有,M,个极点,z,m,（,M,、,K,为有限值），则有,Res,X,(,z,),z,n,-1,z,k,表示函数,F,(,z,)=,X,(,z,),z,n,-1,在极点,z,=,z,k,上的留数。,(1-68),将式（,1-66,）及式（,1-67,）分别代入式（,1-64,），可得,:,(1-69,a,),(1-69,b,),X,(,z,),z,n-,1,在任一极点,z,r,处留数的计算方法,(1-70),如果,z,r,是,X,(,z,),z,n,-1,的多重极点，如,l,阶极点，则有：,(1-71),设,z,r,是,X,(,z,),z,n,-1,的单一（一阶）极点，则有：,例,1-10,已知,，求,Z,反变换,。,解,围线,c,以内包含极点,a,，,如图粗线所示。当,n,0,时，在,z,=0,处有一个,-,n,阶极点。因此：,式中，,a,是单阶极点。应用公式,(1-70),，则,在,z,=0,处有一个,-,n,阶极点（n,0,时围线,c,内无极点；而,n,0,时只在,z,=0,处有一个,-,n,阶极点。因此,即,在,n,0,时，也可用围线外极点,a,的留数来求，见式（,1-69b,）：,即：,2.,部分分式展开法,(1-72),方法：,将,X,(,z,),展开成部分分式的形式，然后利用表,1-1,的,基本,Z,变换对的公式求各简单分式的,Z,反变换（注意收敛域），,再将各个反变换相加起来，就得到所求的,x,(,n,),。,条件：,X,(,z,),可表示成,X,(,z,)=,P,(,z,)/,Q,(,z,),，,P,(,z,),及,Q,(,z,),都是实系数多项式，且没有公因式。,将上式展开成以下形式,:,式中，,c,k,是,X,(,z,),的非零零点，,d,k,是,X,(,z,),的非零极点。,（,1-74,）,（,1-73,）,式中,，,A,k,是常数,，,k,=1,2,N,。,1.,如果,M,max,|,d,k,|,，可以直接利用例,1-10,的结果，得：,（,1-75,）,系数,A,k,可利用留数定理求得：,（,1-76,）,2.,如果,M,N,，,且除一阶极点外，在,z=,d,i,处还有,s,阶极点，则,X,(,z,),可展开成,：,（,1-77,）,B,n,可用长除法求得。,A,k,可由式,(1-76),求出。系数,C,m,：,（,1-78,a,）,或：,（,1-78,b,）,展开式各项被确定后，再分别求右边各项的,Z,反变换，则,原序列就是各项的反变换序列之和。,例,1-12,设,试利用部分分式法求,Z,反变换。,解,X,(,z,),有两个极点，,d,1,=2,和,d,2,=0.5,，,收敛域为,|,z,|2,，,X,(,z,),的零极点如图,1-31,所示。由收敛域可知,x,(,n,),是一个右边序列。极点全部是一阶的，因此,X,(,z,),能表示为,:,用式（,1-76,）求得系数为,:,X,(,z,),为：,根据表,1-1,可得：,或表示为：,例,1-13,在这个例子中要考虑例,1-12,中给出的,X,(,z,),所,对应的全部可能序列。,解,X(z,),有三种不同的收敛域,:,（,1,）,|,z,|2,如例,1-12,情况,1,已经证明是一个右边序列。,(2),情况,2,对应于一个左边序列。,(3),情况,3,则对应于一个双边序列。,根据,X,(,z,),的三种不同的收敛域，根据表,1-1,可得：,情况,2,：,情况,3,：,情况,1,：,x,(,n,),的,Z,变换为：,只要在给定的收敛域内，把,X,(,z,),展成幂级数，则级数的系数就是序列,x,(,n,),。,3.,幂级数展开法（长除法）,例,1-14,若,X,(,z,),为,解：,直接将,X,(,z,),展开：,则,x,(,n,),为,：,或：,求,Z,反变换。,若,是因果序列，,X,(,z),应展成,z,的降幂次级数，应按降幂顺次,长除。,若,是左边序列，,X,(,z,),应展成,z,的升幂次级数，应按升幂顺,次长除。,1.4.3,Z,变换的性质,Z,变换满足叠加原理，即若有,:,Z,x,(,n,),=,X,(,z,),R,x,-,|,z,|,R,x+,Z,y,(,n,),=,Y,(,z,),R,y,-,|,z,|,R,y,+,1.,线性,对于任意常数,a,、,b,，,Z,变换都能满足以下等式：,Z,ax,(,n,)+,by,(,n,),=,aX,(,z,)+,bY,(,z,),-,|,z,|,R,+,(1-79),通常两序列和的,Z,变换的收敛域为两个相加序列的收敛域的公共区域,：,R,-,=max(,R,x-,R,y-,),R,+,=min(,R,x,+,R,y,+,),例,1-18,已知：,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),，,y,(,n,)=,a,n,u,(,n-N,),。,求,x,(,n,)-,y,(,n,),的,Z,变换,。,又：,解,由表,1-1,可知：,故,x,(,n,)-,y,(,n,),的,Z,变换为：,如果线性组合中某些零点与极点互相抵消，则收敛域可能扩大。,2.,序列的移位,位移,m,可以为正（右移）也可以为负（左移）。,(1-80),证：,若,Z,x,(,n,),=,X,(,z,),R,x,-,|,z,|,R,x,+,则：,3.,乘以指数序列（,Z,域尺度变换）,证,：,(1-81),则,:,若：,Z,x,(,n,),=,X,(,z,),R,x,-,|,z,|,R,x,+,4.,X,(,z,),的微分,证：,交换求和与求导的次序，则得,：,所以：,1.,部分分式展开法求,Z,反变换,条件：,X,(,z,),可表示成,X,(,z,)=,P,(,z,)/,Q,(,z,),，,P,(,z,),及,Q,(,z,),都是实系数多项式，且没有公因式。,（,1-77,）,式中,，,A,k,是常数,，,k,=1,2,N,。,如果,M,max,|,d,k,|,，可以直接利用已知的结果，得：,（,1-78,）,系数,A,k,可利用留数定理求得：,（,1-79,）,二,.Z,变换的性质,1.,线性,3.,乘以指数序列,2.,序列的移位,4.X(z),的微分,例,1-20,利用,X,(,z,),的微分特性求下面序列的,Z,变换。,x,(,n,)=,na,n,u,(,n,)=,n,a,n,u,(,n,),=,nx,1,(,n,),|,z,|,a,|,利用微分特性有：,|,z,|,a,|,解：,5.,复序列的共轭,(1-86),式中，符号“*”表示取共轭复数。,若,Z,x,(,n,),=,X,(,z,),R,x,-,|,z,|,R,x,+,，则：,6.,翻褶序列,(1-87),若,Z,x,(,n,),=,X,(,z,),R,x,-,|z,|,R,x+,，则：,对于因果序列,x,(,n,),，即,x,(,n,)=0,n,0,有：,7.,初值定理,设,x,(,n,),为因果序列，且,X,(,z,)=,Z,x,(,n,),的全部极点，除有一个一阶极点可以在,z=1,处外，其余都在单位圆内，则：,8.,终值定理,(1-89),(1-88),由于 是,X,(,z,),在,z,=1,处的留数，因此终值定理也可用留数表示，即,:,(1-90),9.,序列卷积（卷积定理）,则,:,(1-91),若,:,例,1-21,设,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),，,h,(,n,)=,b,n,u,(,n,)-,ab,n,-1,u,(,n,1),；,求,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,),。,解：,所以,:,其,Z,反变换为：,图,1-32,Y(z),的零极点及收敛域,10.,序列乘积（复卷积定理）,若：,则：,(1-93),式中，,c,是哑变量,V,平面上,X,(,v),与,Y,(,z/v,),的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线。,(1-92),V,平面收敛域为：,(1-94),复卷积公式可用留数定理求解：,(1-96),式中，,d,k,为,在围线,c,内的全部极点。,例,1-22,设,应用复卷积定理求两序,列的乘积即,w,(,n,)=,x,(,n,),y,(,n,),。,解,:,利用复卷积公式,（,1-92,）,根据式（,1-94,），围线,c,所在的收敛域为,max,1/3,0,|,v,|min,2|,z,|,或,1/3|,v,|1/6,，,则,:,验证,:,则,:,11.,帕塞伐（,Parseval,）,定理,X,(,z,)=,Z,x,(,n,),R,x,-,|,z,|R,x,+,Y,(,z,)=,Z,y,(,n,),R,y,-,|,z,|,R,y,+,R,x,-,R,y,-,|,z,|=1,R,x+,R,y,+,那么：,(1-97),若有两序列,x,(,n,),、,y,(,n,),，其,Z,变换分别为,:,它们的收敛域满足以下条件,：,式中，“*”表示取复共轭，积分闭合围线c,应在,X,(,v,),和,Y,*(1/,v,),的公共收敛域内，即 ：,序列的能量：一个序列值的平方总和。,由公式（,1-95,），如果有,y,(,n,)=,x,(,n,),，则,1.5,拉氏变换、傅氏变换与,Z,变换,设连续信号为,x,a,(,t,),，,采样信号为 ，,它们的拉普拉斯变换分别为,:,1.5.1,拉氏变换与,Z,变换,一,、,序列的,Z,变换与理想采样信号的拉普拉斯变换的关系,1,、变换关系,理想采样信号 的拉氏变换为：,采样序列,x,(,n,)=,x,a,(,nT,),的,Z,变换为：,(1-100),当,z,=,e,sT,时，采样序列的,Z,变换就等于其理想采样信号的拉普拉斯变换：,(1-101),由复变量,S,平面到复变量,Z,平面的映射，其映射关系为,:,(1-102),2,、标准变换的映射关系,(1-103,b,),(1-103,a,),故,:,S,平面用直角坐标表示为：,s,=,+j,Z,平面用极坐标表示：,z,=,r,e,j,将它们代入式,（,1-102,）,中：,z,的模,r,对应于,s,的实部,，,z,的相角,对应于,s,的虚部,。,1,）,s,的实轴,与,z,的模,r,的关系,=0,（,S,平面的实轴）,=0,（,Z,平面正实轴）,由,-/T,增至,0,由,-,增至,0,由,0,增至,/,T,由,0,增至,=0,（,S,平面虚轴）,r,=1,（,Z,平面单位圆上）,0,（,S,的左半平面）,r,0,（,S,的右半平面）,r,1(Z,平面单位圆外部）,2,）,s,的虚轴,与,z,的相角,的关系,图,1-34,S,平面与,Z,平面多值映射关系,3,、,X,a,(s),与,X,(,z,),之间的关系,将此式代入到式（,1-98,），即得,X,(,z,),与,X,a,(,s,),的关系,：,(1-104),将,1.2,节中的式（,1-34,）重写如下,：,1.5.2,连续信号的傅氏变换与序列的,Z,变换,(1-105),采样序列在单位圆上的,Z,变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换 。,将,s,=j,与,z=e,j,T,这两个关系代入到式（,1-101,）可得：,1.5.3,序列的傅氏变换与,Z,变换,（,1-107,）,数字频,率与模拟域频率,的关系：,将式（,1-107,）代入式（,1-105,）可得,:,(1-105),（,1-108,）,1,、序列的傅氏变换与,Z,变换的关系,2,、序列傅立叶变换定义,序列的傅里叶反变换公式,:,序列傅里叶变换的定义为,:,（,1-109,）,（,1-110,）,序列付里叶变换表征的是时域离散非周期信号及其频谱之间的关系，,1,）、序列绝对可和,(1-111),3,、序列傅立叶变换存在的条件,(1-112),绝对可加性是傅里叶变换存在的一个充分条件。即序列,x,(,n,),绝对可和，则它的傅里叶变换一定存在且连续。,2,）、能量有限的序列,M,为整数,4,、序列傅里叶变换的性质,1,）,.,DTFT,的周期性,由,FT,定义，得：,序列的,FT,是以,2,为周期,的周期函数,则称,x,e,(,n,),为,共轭对称（偶）序列,。若,x,e,(,n,),为,实序列，,则：,3,）,.,FT,的时域对称性,（,1,）,共轭对称与共轭反对称序列,若,x,e,(,n,),满足下式：,x,e,(,n,),用其实部与虚部表示：,共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数,。,则称,x,o,(,n,),为,共轭反对称（奇）序列,。若,x,o,(,n,),为,实序列，,则,：,若,x,o,(,n,),满足下式：,x,o,(,n,),用其实部与虚部表示：,共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数,则有：,例补 试分析,x,(,n,)=e,j,n,的对称性。,(2),序列的共轭,对称序列与共轭反对称序列表示方法,式中：,（,3,）实因果序列的对称性,若,x,(,n,),是实因果序列，则：,（,1-123,）,（,1-124,）,4,）,.,FT,的频域对称性,（,1,）,共轭对称与共轭反对称序列,共轭对称（偶）序列：,共轭反对称（奇）序列：,且：,式中：,（,1-125,）,（,1-126,）,（,1-127,）,（,1-128,）,（,1-129,）,5,）,.,序列,FT,的对称性,（,1,）,共轭对称序列的对称性,若：,（,2,）,共轭反对称序列的对称性,（,3,）,翻褶序列的对称性,（,1-130,）,（,1-131,）,（,1-132,）,4,）、序列实部,FT,的对称性,5,）、序列虚部,FT,的对称性,6,）、序列共轭对称部分,FT,的对称性,7,）、序列共轭反对称部分,FT,的对称性,（,1-133,）,（,1-134,）,（,1-135,）,（,1-136,）,序列,FT,表示为：,当,x,(,n,),是实序列时,（,1-137,）,（,1-138,）,由傅立叶变换定义与性质：,解：,【,例,1-26】,若序列,h,(,n,),是实因果序列，其傅立叶变换的实,部为 ，求序列,h,(,n,),及其傅立叶变换,。,比较得：,由式（,1-123,），得：,故：,序列的,Z,变换与理想采样信号的拉氏变换的关系：,(1-101),序列的傅氏变换与,Z,变换,（,1-108,）,标准映射关系：,序列在单位圆上的,Z,变换，就等于其傅里叶变换。,1,、各变换间的关系,2,、序列傅立叶变换,序列的傅里叶反变换公式,:,定义为,:,（,1-109,）,（,1-110,）,序列付里叶变换表征的是时域离散非周期信号及其频谱之间的关系，,3,、傅立叶变换存在的条件,4,、傅立叶变换的对称性,1.6,离散时间系统的频域分析（,域和,Z,域）,LTI,系统的输入,x,(,n,),，,其输出,y,(,n,),为：,对等式两端取,Z,变换，得：,则：,(1-140),H,(,z,),即为,LTI,系统的系统函数，,它是单位脉冲响应的,Z,变换：,LTI,的系统函数,在单位圆上,(,z,=,e,j,),的系统函数就是系统的频率响应,H,(,e,j,),。,(1-142),单位脉冲响应,h,(,n,),为因果序列的系统称为因果系统，因果系统的系统函数,H,(,z,),具有包括,z=,点的收敛域，即：,(1-143),1.6.1,因果系统,(1-141),1.6.2,稳定系统,线性时不变系统稳定的充分必要条件为,h,(,n,),绝对可和，即,:,h,(,n,),的,Z,变换为：,1.6.3,因果稳定系统,(1-144),即系统函数的全部极点必须在单位圆内。,因果稳定系统的系统函数,H,(,z,),内收敛域必为：,稳定系统的系统函数,H,(,z,),的收敛域包括单位圆,|,z,|=1,，,H,(e,j,),存在。,1.6.4,系统函数和差分方程的关系,若系统起始状态为零，直接对上式两端取,Z,变换，利用,Z,变换的线性特性和移位特性可得：,N,阶常系数,线性差分方程的一般形式为：,系统函数为：,（,1-145,）,将其分别进行因式分解，可得,（,1-146,）,式中，,z,=,c,k,是,H,(,z,),的零点，,z=,d,k,是,H,(,z,),的极点，除了比例常数,b,0,/,a,0,以外，系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。,例,1-28,已知系统函数为,20.5,。,该系统的单位脉冲响应为：,为,IIR,系统。,例,1-31,一个,FIR,系统的单位脉冲响应为：,则系统函数为：,其零点：,k,=0,1,(,N,-1),z=a,处有一极点。若,N,=8,，,则极,-,零点图如图所示。其差分方程为线性卷积，即：,从式,H,(,z,),表示式可得另一种形式的差分方程：,y,(,n,)-,ay,(,n,-1)=,x,(,n,)-,a,N,x,(,n-N,),例补,-1,已知：,求所有可能的,x,(,n,),，并判断其稳定性和因果性。例补,-2,已知,用,X,(,e,j,),表示,FT,y,(,n,),。,1.6.6,系统频率响应的意义,线性时不变系统的单位脉冲响应为,h,(,n,),，则其输出为,：,1,、,系统的频域表示法,设,LTI,稳定系统的输入为,：,系统的频域表示法,:,式中,:,因此：,系统对复正弦序列的响应完全由其频率响应,H,(e,j,),决定，,H,(e,j,),是周期为,2,的周期函数,。,(1-156),频率响应,写成模和相位的形式：,式中，频率响应的模,|,H,(,e,j,)|,称做,幅度响应,，频率响应的相位,arg,|,H,(,e,j,)|,称做系统的,相位响应,。,例,1-32,LTI,稳定系统,的,输入为：,根据式（,1-125,），的响应为：,对,的响应为,根据线性系统的叠加原理可知系统对正弦输入,A,cos,(,0,n,+,),的响应为：,如果,h,(,n,),是实序列，则可证明,H,(,e,j,0,),满足共轭对称条件，即：,故有,:,将这些关系式代入式,(1-126),，可得响应为：,（,1-157,）,即：,(1-158),当系统输入为正弦序列，输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度,|,H,(,e,j,)|,加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。,取,傅里叶变换，得：,线性时不变系统输入与输出间的关系：,F,y,(,n,),=,F,x,(,n,)*h,(,n,),Y,(e,j,)=,X,(e,j,),H,(e,j,),(1-159),对,Y,(,e,j,),取傅里叶反变换，可求得输出序列为：,极坐标形式表示为：,(1-161),(1-162),例,1-33,设有一系统，其输入输出关系由以下差分方,程确定,设系统是因果的。,（,1,）求该系统的单位脉冲响应；,（,2,）由,(1),的结果，求输入,x,(,n,)=,e,j,n,的响应。,系统函数：,系统函数,的,极点：,z,1,=1/2,，收敛域为,|,z,|1/2,。,该收敛域包括单位圆，所以系统也是稳定的。,（,1,）,对差分方程两端分别进行,Z,变换可得：,解,对系统函数,H,(,z,),进行,Z,反变换，可得单位脉冲响应为：,或：,（,2,）解法一：,系统的频率响应为：,由于系统是线性时不变且因果稳定的，故当输入,x,(,n,)=,e,j,n,时，应用公式（,1-125,），可得输出响应为,解法二：,1.6.7,频率响应的几何确定法,(1-163),频率响应的几何确定法,：利用,H,(,z,),在,z,平面上的零、极点，,采用几何方法直观、定性地求出系统的频率响应,。,H,(,z,),用零、,极点表示为：,假设,M=N,，,这时用,z,=,e,j,代入，即得系统的频率响应为,：,(1-164),e,j,-,d,k,可以由极点,d,k,指向单位圆上,e,j,的向量,D,k,来表示：,在,z,平面上，,e,j,-,c,k,可以用一根由零点,c,k,指向单位圆上,e,j,点,的向量,C,k,来表示：,C,k,=e,j,-,c,k,D,k,=e,j,-,d,k,因此,(1-165),C,k,=,C,k,e,j,k,；,D,k,=,D,k,e,j,k,；,Y,(e,j,)=|,H,(,e,j,)|,e,j,(,),得到：,(1-166),(1-167),以极坐标表示有：,例,1-34,设一个因果系统的差分方程为,y,(,n,)=,x,(,n,)+,ay,(,n,-1)|,a,|1,a,为实数,求系统的频率响应。,单位脉冲响应为：,解,将差分方程等式两端取,Z,变换，