函数项级数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,*,第,4,章 无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,函数项级数,2010年2月22日,1,南京航空航天大学 理学院 数学系,第,4,章 无穷级数,第,1,节 常数,项级数,第,2,节,函数项级数,第,3,节,幂级数,第,4,节,Fourier,级数,2010年2月22日,2,南京航空航天大学 理学院 数学系,函数项级数的,定义,第,2,节,函数项,级数,（,1,）,2010年2月22日,3南京航空航天大学 理学院 数学系,2.1,函数项级数处处收敛性,2.2,一致收敛性及其判定义,2.3,一致收敛级数的性质,第,2,节,函数项,级数,2010年2月22日,4,南京航空航天大学 理学院 数学系,2.1,函数项级数处处收敛性,数项级数,定义,2.1,（,函数项级数处处收敛性与和函数,）,2010年2月22日,5,南京航空航天大学 理学院 数学系,设,是函数项级数,的收敛域。,设对应的级数和为,，这样，便在,中定义了一个函数,，称为该函数项级,数的,和函数,。,2010年2月22日,6,南京航空航天大学 理学院 数学系,则当,时，有,为该函数项级,称,数的余项和。,的前,设,是函数项级数,项和，,显然，,2010年2月22日,7,南京航空航天大学 理学院 数学系,例如，几何级数,它的收敛域为,，发散域为,；在,，即有,收敛域内，和函数是,2010年2月22日,8,南京航空航天大学 理学院 数学系,例,1,讨论函数,项级数,的收敛性，并求其和函数。,解,书上,P282,例,2.2,2010年2月22日,9,南京航空航天大学 理学院 数学系,例,2,解,级数收敛,级数发散,级数发散,故级数的收敛域为（,0,，,+,）,2010年2月22日,10,南京航空航天大学 理学院 数学系,因为对任意,x,都有,:,所以它 在,(,+),内处处收敛，,例,3,函数项级数,解,求其收敛域2010年2月22日,11,南京航空航天大学 理学院 数学系,有限项和的极限、连续、导数和积分的性质,对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？,问题的引入,2010年2月22日,12,南京航空航天大学 理学院 数学系,得和函数：,该级数每一项都在,0,1,是连续的，,考察,例,1,的,函数项级数,和函数的连续性,2010年2月22日,13,南京航空航天大学 理学院 数学系,因为对任意,x,都有,:,所以它 在,(,+),内处处收敛，,但各项求导后的级数,其,一般项不趋于,0,所以对任意,x,都发散,.,例,3,函数项级数,问题,:,对什么样的函数项级数才有,:,逐项连续,和函数连续,;,逐项求导,=,和函数求导,;,逐项积分,=,和函数积分,函数项级数,一致收敛性的条件很重要！,2010年2月22日,14,南京航空航天大学 理学院 数学系,?,?,?,?,2010年2月22日,15,南京航空航天大学 理学院 数学系,定义,2.2,2.2,一致收敛性及其判定,2010年2月22日,16,南京航空航天大学 理学院 数学系,解,级数收敛,级数发散,级数均发散,原级数的收敛域为,2010年2月22日,17,南京航空航天大学 理学院 数学系,x,y,o,几何解释,:,2010年2月24日,18,南京航空航天大学 理学院 数学系,定理,2.1,（,Cauchy,一致收敛准则）,上一致收敛的充分必要条件是：,在,当,时，对,及任何的自然数,，有,有,2010年2月24日,19,例,4,解,余项的绝对值,20,南京航空航天大学 理学院 数学系,21,南京航空航天大学 理学院 数学系,例,5,研究例,1,中的级数,在区间,(0,1,）内的一致收敛性,.,(1,1),1,2010年2月22日,22,南京航空航天大学 理学院 数学系,例,5,研究例,1,中的级数,在区间,(0,1,）内的一致收敛性,.,解,对于任意一个自然数,23,南京航空航天大学 理学院 数学系,因此级数在,(0,1),内不一致连续,说明,:,从下图可以看出,:,但,虽然函数序列,在,(0,1),内处处,在,(0,1),内各点处收,收敛于,敛于零的“快慢”程度是不一致的,2010年2月24日,24,南京航空航天大学 理学院 数学系,(1,1),1,小结,一致收敛性与所讨论的区间有关,2010年2月24日,25,南京航空航天大学 理学院 数学系,定理,2.2,（魏尔斯特拉斯,(Weierstrass),判别法）,一致收敛性简便的判别法：,也称,M-,判别法,2010年2月24日,26,南京航空航天大学 理学院 数学系,证,2010年2月24日,27,南京航空航天大学 理学院 数学系,例,证明级数,证,2010年2月24日,28,南京航空航天大学 理学院 数学系,说明,:,1.,维尔斯特拉斯判别法也称为,M,判别法,2.,当不易观察到不等式,可,利用导数求,例如,级数,用,求导法可得,已知,收敛,因此原级数在,0,+),上,一致,收敛,.,2010年2月24日,29,南京航空航天大学 理学院 数学系,2.3,一致收敛级数的性质,?,?,?,?,2010年2月24日,30,南京航空航天大学 理学院 数学系,定理,2.3,2010年2月24日,31,南京航空航天大学 理学院 数学系,(1),(2),同样有,证,32,南京航空航天大学 理学院 数学系,(3),由,(1),、,(2),、,(3),可见,2010年2月24日,33,南京航空航天大学 理学院 数学系,定理,2.4,(4),34,南京航空航天大学 理学院 数学系,证,2010年2月24日,35,南京航空航天大学 理学院 数学系,根据极限定义，有,即,2010年2月24日,36,南京航空航天大学 理学院 数学系,定理,2.5,(5),2010年2月24日,37,南京航空航天大学 理学院 数学系,注意,:,级数一致收敛并不能保证可以逐项求导,.,例如，级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,2010年2月24日,38,南京航空航天大学 理学院 数学系,小结,1,、函数项级数一致收敛的定义；,2,、一致收敛级数的判别法,魏尔斯特拉斯判别法；,3,、一致收敛级数的基本性质；,2010年2月24日,39,南京航空航天大学 理学院 数学系,注意,:,这里,(1),都必须先求得其极限函数,(,或和函数,),2010年2月24日,40,南京航空航天大学 理学院 数学系,