第二节 幂与根、平面概念及复球面.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,幂与根、平面概念及复球面,一、幂与根,二、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、,复球面,四、小结与思考,复平面上的曲线和区域,一、幂与根,1.,n,次幂,:,棣莫佛公式,棣莫佛介绍,2.,棣莫佛公式,当,k,以其他整数值代入时,这些根又重复出现,.,从几何上看,例,1,解,例,2,解,即,练习：,2,以方程 的根的对应点为顶点的,多边形的面积为,答案：,例,3,解,故,原方程可写成,故原方程的根为,(a),证明：二次方程,az,2,+,bz,+,c,=0(,a,0,),当,a,b,c,为复常数时的求根公式为,(b),用,(a),的结果求方程,z,2,+2,z,+(1-,i,)=0,的根,.,例,4,(a),证,明：,(b),方程,z,2,+2,z,+(1,i,)=0,的根是,练习：,解下列方程：,答案：,二、复平面上的曲线与区域,区域,邻域,边界点,边界,1.,区域,邻域,:,去心邻域,:,内点,:,开集,:,如果,G,内每一点都是它的内点,那末,G,称为开集,.,聚点：,若点,z,0,的任意邻域内都含有,G,的无穷多个,点，,则称,z,0,为,G,的聚点,.,闭集：,若,G,的聚点都属于,G,则称,G,为闭集,.,有界点集和无界点集,:,区域,如果平面点集,D,满足以下两个条件,则称它为一个区域,.,(1),D,是一个,开集,；,(2),D,是,连通的,就是说,D,中,任何两点都可以用完全属于,D,的,一条折线连结起来,.,有界区域和无界区域,:,边界点、边界,:,设,D,是,复平面内的一个区域,如果点,P,的任意小的邻域内总有,D,中的点,也有不属于,D,的点，这样的点,P,我们称为,D,的,边界点,.,D,的所有边界点组成,D,的,边界,.,说明,区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的,.,(1),圆环域,:,课堂练习,判断下列区域是否有界,?,(2),上半平面,:,(3),角形域,:,(4),带形域,:,答案,(1),有界,;(2)(3)(4),无界,.,2,、单连通域与多连通域,连续曲线,:,由复数方程,:,那么,所确定的平面点集称为复平面上的连续曲线,.,光滑曲线,:,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线,.,简单曲线,:,没有重点的曲线,C,称为简单曲线,(,或若尔当曲线,).,换句话说,简单曲线自身不相交,.,简单闭曲线的性质,:,任意一条简单闭曲线,C,将复平面唯一地分成三个互不相交的点集,.,内部,外部,边界,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线,?,答,案,简单,闭,简单,不闭,不简单,闭,不简单,不闭,单连通域与多连通域的定义,:,复平面上的一个区域,B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于,B,就称为单连通域,.,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域,.,单连通域,多连通域,例,5,解,所以它的复数形式的参数方程为,平面上曲线或区域可用复数形式的方程或不等式表示，反之亦然,.,例,6,解,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域,?,是,一条平行于实轴的直线,不是区域,.,单连通域,.,是,多连通域,.,不是区域,.,无界的单连通域,(,如图,).,例,7,求满足不等式,的点,z,所构成的点集，,作出它的图形,.,并指出它是有界还是无界区域，,是,单连通还是多连通的？,解,即,整理得,从而有,即,它是以,(,5/2,0),为圆心,以,3/2,为半径的圆周的外部，,是无界多连通区域,.,O,x,y,(,5/2,0),三、复球面,x,2,+,y,2,+,z,2,=1,球面上点,N,(0,0,1),称为北极,.,，,，,复平面上点,z,对应球面上点,P,.,点,P,坐标为,（,(1,t,),x,(1,t,),y,t,）,并且,点,P,坐标为,解得,反过来，球面上点,P,(,x,1,y,1,z,1,),对应着平面上的点,球面上的点,除去北极,N,外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系,.,我们可以用球面上的点来表示复数,.,我们规定,:,复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作,.,复平面上的无穷远点与,球面上的北极,N,相对应,.,因而球面上的北极,N,就是复数无穷大,的几何表示,.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为,复球面,.,复球面的定义,3.,扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面,.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面,.,对于复数,来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大,.,四、总结与思考,1.,幂与方根的计算,.,重点是方根的运算,.,2.,掌握曲线和区域的概念，重点是判别不等式或方程代表的是否是区域、何种区域,.,3.,重点掌握复平面上的点和复球面上的点如何对应,.,思考：,无穷远点的邻域和去心邻域应如何定义？,，,，,作业,:,P12 4,，,6,，,10(3),(4),放映结束，按,Esc,退出,.,Abraham de,Moivre,棣莫佛资料,Born:,26 May 1667 in,Vitry,(near Paris),France,Died:,27 Nov 1754 in London,England,