复变函数期末复习提纲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复变函数,一、判断题,（共,18,分，每小题,3,分）,二、填空题,（共,18,分，每小题,3,分）,三、选择题,（共,24,分，每小题,3,分）,四、计算题,（共,30,分，每小题,5,分）,五、综合题,（,10,分）,1,第一章 复数与复变函数,复数,复变函数,极限,连续性,代数运算,乘幂与方根,复数,表示,法,几何表示法,向量表示,法,三角及指数表示法,复,球面,复平面,扩充,曲线,与区域,判别,定理,极限,的计算,2,1.,复数的代数运算,1),两复数的和,2),两复数的积,3),两复数的商,4),共轭复数,2.,复数的几何表示,（,1,）几何表示法,（,2,）向量表示法,3,复数的辐角,复数的模,(,或绝对值,),注意,：,零的模为零，辐角不确定,4,辐角的主值,5,（,3,）三角表示法,利用欧拉公式,复数可以表示成,称为复数,z,的指数表示式,.,（,4,）指数表示法,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,6,3.,复数的乘幂与方根,1),乘积与商,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,;,两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和,.,则有,7,几何意义,复数相乘就是把模相乘,辐角相加,.,2),幂与根,(a),n,次幂,:,8,(b),棣莫佛公式,9,4.,复球面与扩充复平面,(1),复球面,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为,复球面,.,我们规定,:,复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作,.,因而球面上的北极,N,就是复数无穷大的几何表示,.,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面,.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面,.,(2),扩充复平面的定义,10,5.,曲线与区域,（,1,）邻域,（,2,）内点,如果,G,内每一点都是它的内点,那末,G,称为开集,.,(4),区域,如果平面点集,D,满足以下两个条件,则称它为一个区域,.,(a),D,是一个,开集,；,(b),D,是,连通的,即,D,中任何两点都可以用完全属于,D,的一条折线连结起来,.,(3),开集,11,(5),边界点、边界,(7),有界区域和无界区域,(6),区域,D,与它的边界一起构成闭区域,.,闭区域,(8),简单曲线,任意一条简单闭曲线,C,将复平面唯一地分成三个互不相交的点集,.,简单闭曲线的性质,(9),光滑曲线,(10),单连通域与多连通域,12,例,3,：描述下面式子分别表示的是什么？,13,6.,复变函数的概念,(1),复变函数的定义,(2),映射的定义,7.,复变函数的极限,函数极限的定义,注意,:,14,极限计算的定理,15,第二章 解析函数,复,变函数,导数,微分,解析函数,初等解析函数,指 数 函 数,三 角 函 数,对 数 函 数,幂 函 数,性质,解析函数,的判定方法,可导与微分的关系,可导,与解析的判定定理,双 曲 函 数,16,1,）导数的定义,1.,复变函数的导数与微分,17,2),可导与连续,函数,f,(,z,),在,z,0,处可导则在,z,0,处一定连续,但函数,f,(,z,),在,z,0,处连续不一定在,z,0,处可导,.,3),求导公式与法则,18,4),复变函数的微分,19,可导与微分的关系,20,1),定义,2.,解析函数,21,2),可导与,解析的判定,22,23,4),解析函数的判定方法,24,例,1,设 为解析函数，求,的值,.,解,设,故,由于 解析，所以,即,故25,3.,初等解析函数,1),指数函数,26,2),三角函数,27,(4),正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数,28,3,）对数函数,因此,29,30,4),幂函数,31,例,5,求出 的值,.,解,32,第三章 复变函数的积分,有向曲线,复积分,积分存在的,条件及计算,积分的性质,柯西积分定理,原函数,的定义,复合闭路 定 理,柯西积分,公 式,高阶导数公式,调和函数和,共轭调和函数,33,1.,有向曲线,2.,积分的定义,3.,积分存在的条件及计算,（,1,）化成线积分,（,2,）用参数方程将积分化成定积分,34,解：,所以,另解,:,35,4.,积分的性质,36,5.,柯西古萨基本定理,(,柯西积分定理,),37,6.,原函数的定义,(,牛顿,-,莱布尼兹公式,),38,7.,闭路变形原理,复合闭路定理,一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,.,那末,39,40,8.,柯西积分公式,9.,高阶导数公式,),2,1,(,d,),(,),(,2,!,),(,1,0,0,),(,n,z,z,z,z,f,i,n,z,f,C,n,n,L,=,-,p,=,+,41,10.,调和函数和共轭调和函数,任何在,D,内解析的函数,它的实部和虚部都是,D,内的调和函数,.,42,定理,区域,D,内的解析函数的,虚部,为,实部,的共轭调和函数,.,共轭调和函数,43,44,因此由柯西积分公式得,45,46,注意：此也可用留数定理求解！,47,解法一 不定积分法,.,利用柯西,黎曼方程,又由：,48,积分得,因为已知实变部中不包含常数，故,C,是纯虚数，故该解析函数可写为,49,解法二 全微分法,50,解：,利用柯西,黎曼方程,51,52,复数项级数,函数项级数,充,要,条,件,必,要,条,件,幂级,数,收敛半径,R,复 变 函,数,绝,对,收,敛,运算与性质,收敛条件,条,件,收,敛,复数,列,收敛半径的计算,泰勒级数,洛朗级数,第四章 级数,53,1),复级数的收敛与发散,充要条件,必要条件,54,非绝对收敛的收敛级数称为,条件收敛级数,.,2),复级数的绝对收敛与条件收敛,如果,收敛,那末称级数,为,绝对收敛,.,绝对收敛 条件收敛,55,-,阿贝尔,Abel,定理,如果级数,在,收敛,那末对,的,级数必绝对收敛,如果,在,级数发散,那末对满足,的,级数必发散,.,满足,收敛定理,4.,幂级数,56,在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出,一般的结论,要对具体级数进行具体分析,.,注意,.,.,收敛圆,收敛半径,2),收敛圆与收敛半径,57,方法,1,:,比值法,方法,2:,根值法,4),收敛半径的求法,那末收敛半径,那末收敛半径,复变幂级数在收敛圆内的解析性,设幂级数,的收敛半径,为,那末,是收敛圆,内的解析函数,.,它的和函数,即,(1),58,(2),在收敛圆,内的导数可将其幂,级数逐项求导得到,即,(3),在收敛圆内可以逐项积分,即,或,59,5.,泰勒级数,其中,泰勒级数,1),定理,设,在区域,内解析,为,内的一,为,到,的边界上各点的最短距离,那末,点,时,成立,当,60,2),常见函数的泰勒展开式,61,62,6.,洛朗级数,定理,1),函数,在圆环域内的,洛朗展开式,在圆环域内的,洛朗,(Laurent),级数,.,某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,这就是,f,(,z,),的洛朗级数,.,63,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开,.,2),间接展开法,2),将函数展为洛朗级数的方法,(1),直接展开法,64,答：原级数收敛，且绝对收敛,65,例,2,求下列幂级数的收敛半径,解,66,例,3,展开函数 成 的幂级数到 项,.,解,由此得,所以,解析函数展为幂级数的方法,利用定义来求,.,67,例,4,解,由：,68,例,5,解,有,69,70,第五章 留数,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与,极点的关系,对数留数,留数定理,留数在定积,分上的应用,辐角,原理,路西原理,71,1.,孤立奇点的概念与分类,孤立奇点,奇点,2,）,孤立奇点的分类,依据,在其孤立奇点,的去心邻域,内的洛朗级数的情况分为三类,:,i,),可去奇点,;,ii,),极点,;,iii,),本性奇点,.,72,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,的负幂项为有,的洛朗展开式中含有,限项,.,(a),由定义判别,(b),由定义的等价形式判别,(c),利用极限,判断,.,73,如果洛朗级数中含有无穷多个,那末孤立奇点,称为,的本性奇点,.,的负幂项,注意,:,在本性奇点的邻域内,不存在且不,为,iii,),本性奇点,74,i,),零点的定义,不恒等于零的解析函数,如果,能表示成,其中,在,解析且,m,为某一正整数,那末,称为,的,m,级零点,.,3),函数的零点与极点的关系,ii,),零点与极点的关系,如果,是,的,m,级极点,那末,就是,的,m,级零点,.,反过来也成立,.,75,1),留数定理,设函数,在区域,D,内除有限个孤,外处处解析,C,是,D,内包围诸奇,点的一条正向简单闭曲线,那末,立奇点,留数定理将沿封闭曲线,C,积分转化为求被积函数,在,C,内各孤立奇点处的留数,.,2.,留数,76,(1),如果,为,的可去奇点,则,如果 为 的一级极点,那末,a),(2),如果,为,的本性奇点,则需将,成洛朗级数求,展开,(3),如果,为,的极点,则有如下计算规则,2),留数的计算方法,77,c),设,及,在,如果,那末,为一级极点,且有,都解析，,如果 为 的 级极点,那末b,),78,79,3.,留,数在定,积分计算上的应用,1,）三角函数有理式的积分,当,历经变程,时,z,沿单位圆周,的,正方向绕行一周,.,80,2,）无穷积分,81,3,）混合型无穷积分,82,特别地,83,解,84,例,7,计算积分,解,极点为,其中,由留数定理，有,85,86,例,8,计算积分,解,在上半平面内有一级极点,87,放映结束，按,Esc,退出,.,88,第六章 共性映射,共形映射,分式线性映射,一一对应,性,保角,性,保圆,性,几个初等,函数构成,的映射,分式线性映射的确定,对确定区域的映射,保对称,性,幂函数,指数函数,89,1.,的几何意义,方向无关,.,90,2.,共形映射（保角映射）,91,分式线性映射的性质,1,）分式线性映射在扩充复平面上一一对应,.,2,）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性,.,92,解,将上半平面映射成单位圆的一般形式为,例,1,93,从而所求映射为,94,例,2,解,得,95,所以所求映射为,96,