1、信息学院,罗捍东,第五节,曲线凸性、拐点与渐近线,问题,:,如何研究曲线的弯曲方向,?,图形上任意弧段位,于所张弦的上方,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,4.5.1,曲线凸性与拐点,1,定义：,设函数,y=,f,(,x,),在,(,a,，,b),内可导，如果曲线,y=,f,(,x,),上任意一点的切线都在曲线的上方，则称该曲线为,上凸的（凸弧）,，称区间,(,a,，,b),为该曲线的,上凸区间,；如果曲线,y=,f,(,x,),上任意一点的切线都在曲线的下方，则称该曲线为,下凸的（凹弧）,，称区间,(,a,，,b),为该曲线的,下凸区间,或,凹区间,。,规范的定义：,如果函数,y=,f
2、x,),在,(,a,，,b),内任意两点,x,1,，,x,2,都满足：,则称该曲线为,上凸。,如果函数,y=,f,(,x,),在,(,a,，,b),内任意两点,x,1,，,x,2,都满足：,则称该曲线为,下凸。,2,定理,1,：,设函数,y=,f,(,x,),在,(,a,，,b),内二阶可导,则有,(1),若在,(,a,，,b),内有,，曲线,y=,f,(,x,),在,(,a,，,b),内,下凸,。,(2),若在,(,a,，,b),内有,，曲线,y=,f,(,x,),在,(,a,，,b),内,上凸,。,3,例,1,：,解：,注意到,4,定义：,注意,:,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,.
3、证：,由可导函数取极值的条件,.,5,拐点的求法,6,例,2,：,解：,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,7,注意,:,曲线的上凸区间为 ，下,凸区间为,和 ，拐点为（,0,，,1,）和 。,8,例,3,：,解：,9,考研题欣赏,（,2004,年,3,，,4,）设 ，则,(,A),x,=0,是,f,(,x,),的极值点,，,但,(0,0),不是曲线,y=,f,(,x,),的拐点。,(,B),x,=0,不,是,f,(,x,),的极值点,，,但,(0,0),是曲线,y=,f,(,x,),的拐点。,(,C),x,=0,是,f,(,x,),的极值点,，,且,(0,0),是曲线,y=,f,(,x,),的拐
4、点。,(,D),x,=0,不是,f,(,x,),的极值点,，,(0,0),也不是曲线,y=,f,(,x,),的拐点。,答案：,(C),10,4.4.2,曲线的渐近线,定义,:,1.,垂直渐近线,11,例,1:,两条有垂直渐近线,:,解：,12,2.,水平渐近线,例,2:,有两条水平渐近线,:,解：,13,3.,斜渐近线,斜渐近线求法,:,14,注意,:,15,例,3,：,解：,16,17,考研题欣赏,（,2000,年,3,，,4,）曲线,（,A,）,仅有水平渐近线。,（,B,）,仅有铅直渐近线。,（,C,）,既有,铅直又有,水平渐近线。,（,D,）,既有,铅直又有,斜渐近线。,答案：,(D),18,考研题欣赏,（,2003,年,3,4,）曲线,的单调区间、极值、渐近线。,19,4.4.3,函数作图,利用函数特性描绘函数图形,.,第一步,第二步,20,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势,;,第五步,21,例,1,：,解：,定义域为,x,0,。,非奇非偶函数,且无对称性,.,22,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,:,不存在,拐点,极值点,间断点,23,作图,24,25,例,2,：,解：,偶函数,图形关于,y,轴对称,.,定义域为,R,。,26,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,:,拐点,极大值,拐点,27,28,
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