高斯消元法与矩阵的初等变换.ppt

1.2,高斯消元法与矩阵的初等变换,一、引 入,二、高斯消元法与初等变换,三、初等矩阵,1,一、引入,2,齐次,方程组,：,AX,=0;,非齐次,方程组,：,AX,=,b,b,0,(,b,中至少有一分量不为零,),则称,X,为,AX,=,b,的,解,：,使得,AX,=,b,成立,，,定义,3,方程组,：,AX,=,b,问题,方程组何时有解,？,若有解，有多少解？如何求出其全部解,？,4,引例,用消元法解下列方程组的过程,二、高斯消元法与初等变换,5,解,6,7,用“回代”的方法求出解：,于是解得,8,故,方程组有无穷多解,9,小结,1,上述解方程组的方法称为,消元法,2,始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（它们是,同解变换,）,（,1,）两个方程互换；,（,2,）以不等于的数乘某个方程；,（,3,）一个方程加上另一个方程的,k,倍,称,以上三种变换为,线性方程组的初等变换,但线性方程组的初等变换，,实际上只对,增广矩阵,的系数作了相应的变化，,称为,增广矩阵的初等行变换,。,10,定义,下面三种变换称为,矩阵的初等行变换,:,对换变换,倍乘变换,倍加变换,11,下面三种变换称为,矩阵的初等列变换,:,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛,.,对换变换,倍乘变换,倍加变换,矩阵的,初等变换,初等,列,变换,初等,行,变换,12,用矩阵的,初等行变换,解方程组,1,）：,（,1,）,13,14,方程组的解为：,15,（,2,）零行,(,元素全为,0,),都在下方。,（,1,）对于每个非零行,(,元素不全为,0,),的非,0,首元都出现在上一行非,0,首元的右边；,是,行阶梯形矩阵,不是,行阶梯形矩阵,满足下列,2,个条件的矩阵称为,行阶梯形矩阵,16,（,1,）是行阶梯形矩阵；,不是,简化行阶梯形矩阵,（,2,）每一非,0,行的非,0,首元为,1,；,（,3,）每一非,0,首元,1,所在的列的其余元素均为,0,；,是,简化行阶梯形矩阵,满足下列,3,个条件的矩阵称为,简化行阶梯形矩阵,17,注,对于任何矩阵，总可以经过有限次初等,行,变换把它变为简化,行阶梯形矩阵,.,高斯消元法,解方程组的过程，,就是对其增广矩阵做,初等行变换,的过程，,目标是将增广矩阵化为,简化行阶梯形矩阵。,18,例,求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵进行,初等行变换,，,故,方程组无解,19,方程组无解,这时出现了矛盾方程,20,例,求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵进行,初等行变换,，,21,故,方程组有唯一解,22,方程组有唯一解,这时,没出现矛盾方程，且,行阶梯形矩阵,有,2,个非,0,行,（有,2,个非,0,首元）,23,例,求解非齐次方程组的通解,解,对增广矩阵进行,初等行变换,24,故,方程组有无穷多解,25,方程组有无穷多解,这时,故,方程组有无穷多解,没出现矛盾方程，且,行阶梯形矩阵,有,2,个非,0,行,（有,2,个非,0,首元）,26,线性方程组,一般情形,对,其,增广,矩阵作,初等,行,变换,，总可以化为如,下形式的,简化行阶梯矩阵,（必要时交换未知量的,下标）,27,28,这个方程组与原方程组,同解,29,自由未知量,.,解为,30,当方程为,齐次,方程组时，,齐次,方程组,至少有一组零解,特别地，,方程个数少于未知量个数的齐次方程组,:,一定有,非零解,.,31,例,求解齐次线性方程组,解,32,由此即得,齐次方程有,无穷多解,，,所以有,非零解,.,33,解线性方程组,解,练一练,34,简化行阶梯形矩阵,对应的方程组为,即,方程组有无穷多解,.,35,例,设有线性方程组,解,36,37,其,解,为,38,这时又分两种情形,：,39,矩阵的等价,初等变换的,逆变换,仍为初等变换,且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,40,矩阵等价关系的性质,41,定义,由,单位矩阵,I,经过,一次,初等变换得到的方,阵称为,初等矩阵,.,三种初等变换对应着,三种初等方阵,.,三、初等矩阵,42,第,列,第,列,(1),对调,I,中两行或两列，得,初等,对换,矩阵,.,43,第,列,(2),以数,乘,I,中某,行或,某列,，,得,初等,倍乘,矩阵,.,44,第,列,第,列,得,初等,倍加,矩阵,.,45,例,46,47,48,定理,设,A,是,m,n,矩阵，,对,A,施行一次初等,列,变换，,相当于在,A,的,左,边乘一个相应的,m,阶初等矩阵；,相当于在,A,的,右,边乘一个相应的,n,阶初等矩阵,对,A,施行一次初等,行,变换，,49,对矩阵作一次初等,行,(,列,),变换,在矩阵,左边,(,右边,),乘以一个初等矩阵,同样的行为,初等变换与初等矩阵的关系,矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算,.,50,“,左乘行，右乘列,”,定理的应用：,1.,若矩阵,B,是,A,经有限次,行,初等变换得到的，则存在,有限个初等矩阵,E,1,E,k,使得,2.,若矩阵,B,是,A,经有限次,列,初等变换得到的，则存在,有限个初等矩阵,E,1,E,k,使得,3.,若矩阵,B,是,A,经有限次初等变换得到的，则存在,有限个初等矩阵,P,1,P,k,Q,1,Q,t,使得,51,解,例,52,设矩阵,练一练,53,小 结,1.,初等行,(,列,),变换,3.,矩阵等价具有的性质,2.,初等变换,54,5.,利用矩阵的,初等行变换,解线性方程组,.,目标为化方程组的增广矩阵为,简化,行阶梯形矩阵,，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一解还是无穷多解,.,4.,单位矩阵,I,初等矩阵,.,一次初等变换,55,作业,P28 1(1)(3)(5),，,3,，,4,56,