概率论基础ch1.5.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,数科院,Ch1.5-,*,Ch1,：事件与概率,5,概率空间,一、走向概率的公理化结构,二、事件域,三、概率的公理化定义,四、可列可加性与连续性,五、概率空间,2026/5/27 周三,Ch1.5-,1,数科院,事件,1,、概率论缺乏严格的理论基础,直到,20,世纪初，概率论的一些基本概念还缺乏明确的定义。,一、走向概率的公理化结构,事件是,“,某些样本点的集合,”,，那么任意样本点的集合都是事件吗，或者说样本空间的子集都是事件吗？,2026/5/27 周三,Ch1.5-,2,数科院,概率,统计定义、古典定义、几何定义,各有适用范围，各有局限性,各种定义下的性质也略有不同,2026/5/27 周三,Ch1.5-,3,数科院,测度论的发展：,事件的运算与集合的运算完全相似,概率和测度有相同性质,19,世纪末，数学各分支的公理化潮流,2,、概率论公理化时机的逐渐成熟,1933,年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的,公理化定义,.,2026/5/27 周三,Ch1.5-,4,数科院,概率的,公理化定义,，即,通过规定概率应具备的基本性质来定义概率,.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，,但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦,.,2026/5/27 周三,Ch1.5-,5,数科院,样本点,：随机试验的可能结果，用表示；,可以看成是抽象的点,二、事件域,样本空间,：试验的所有可能结果组成的集合，即,样本点的全体，记作,事件,：样本空间,的一个子集，常用大写字母,A,、,B,、,C,等表示；事件,A,发生当且仅当,A,所包含,的样本点中在实验中出现,2026/5/27 周三,Ch1.5-,6,数科院,说明：,一般不把样本空间的一切子集都作为事件,必须把问题中感兴趣的事件都纳入研究之中,事件域,：事件的全体，记为,F,：样本空间的一些子集构成的集类,：是样本空间上的一个,-,域,2026/5/27 周三,Ch1.5-,7,数科院,2026/5/27 周三,8,数科院,定义：,若,F,为样本空间,的一些子集构成的一个,-,域，则称它为,事件域,F,中的元素称为,事件,，,W,称为,必然事件，,称,为不可能事件。,事件域可以选得很简单，也可以选得十分复杂，,需要根据不同要求选择适当的事件域。,2026/5/27 周三,9,数科院,一维博雷尔,域,B,包括一切开区间，闭区间，单个实数，可列个实数，以及由它们的可列并、可列交、补运算得出的集合。,类似可定义,n,维博雷尔,域,2026/5/27 周三,10,数科院,三、概率的公理化定义,在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即对应于事件域,F,中的每一个元素,A,有一个实数,P,(,A,),与之对应。,集合函数：从集合到实数的映射。,概率是定义在事件域,F,上,的集合函数。,在公理化结构中，只规定概率应满足的性质，而不具体给出它的计算公式或计算方法。,2026/5/27 周三,11,数科院,定义在事件域,F,上的一个集函数,P,称为概率，如,果它满足如下三个条件：,（,1,）,非负性,：,P,(,A,),（,2,）,规范性,：,P,(,W,)=1;,（,3,）,可列可加性,：,1.,概率的定义,2026/5/27 周三,12,数科院,证明,由概率的可列可加性得,2.,概率的性质,2026/5/27 周三,Ch1.5-,13,数科院,概率的有限可加性,证明,由概率的可列可加性得,2026/5/27 周三,Ch1.5-,14,数科院,证明,2026/5/27 周三,Ch1.5-15,数科院,证明,证明,2026/5/27 周三,Ch1.5-,16,数科院,证明,由图可得,又由性质,3,得,因此得,2026/5/27 周三,Ch1.5-,17,数科院,推论,1,、布尔不等式,2,、,Bonferroni,不等式,2026/5/27 周三,18,数科院,加法公式的推广,：三个事件和的情况,n,个事件和的情况,2026/5/27 周三,Ch1.5-,19,数科院,解,2026/5/27 周三,Ch1.5-,20,数科院,S,A,B,AB,2026/5/27 周三,Ch1.5-,21,数科院,例,2,小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲,乙二类问题的概率分别为,0.7,和,0.2,两类问题,都能答出的概率为,0.1.,求小王,解,事件,A,B,分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1),答出甲类而答不出乙类问题的概率,(2),至少有一类问题能答出的概率,(3),两类问题都答不出的概率,(2),(3),2026/5/27 周三,Ch1.5-,22,数科院,例,3,设,A,B,满足,P,(,A,)=0.6,P,(,B,)=0.7,在何条件下，,P,(,AB,),取得最大,(,小,),值？,最大,(,小,),值是多少？,解,最小值在 时取得,最小值,最大值,最大值在 时取得,2026/5/27 周三,Ch1.5-,23,数科院,例,4,某区域有,N,部卡车，车牌号从,1,到,N,，有一外地人到该区域去，把遇到的,n,部卡车的车牌号抄下来（可能重复），以,A,k,表示,“,抄到的最大号码正好为,k,（,1,k,N,）,”,，求,A,k,的概率,。,解,：记,A,k,=,记到的最大号码为,k,B,k,=,记到的最大号,码不超过,k,则,A,k,=,B,k,-,B,k-,1,。,2026/5/27 周三,24,数科院,例,5,（匹配问题）某人写好,n,封信，又写好,n,只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率。,解,：记,A,i,=,第,i,封信与信封符合,，则所求事件为,2026/5/27 周三,25,数科院,可列可加性,有限可加性,？,？,四、可列可加性与连续性,2026/5/27 周三,26,数科院,所以只需要下面条件成立,=,2026/5/27 周三,27,数科院,下连续性,可列可加性,有限可加性,下连续的定义,因此我们有：,？,2026/5/27 周三,28,数科院,若,P,是,F,上满足,P,(,W,)=,1,的非负集合函数，则它具有,可列可加性,的充要条件是,(,i),它是有限可加的,(,ii),它是下连续的,证明,：充分性：由前面的推导可得,必要性,:,(i),有限可加性很容易证明,(,ii),证下连续性,即证明对任意,F,中的 一个单调不减的集序列,S,n,，都有,定理,2026/5/27 周三Ch1.5-,29,数科院,(,定义,S,0,=,f),分析：要证,2026/5/27 周三,30,数科院,系,1,概率是下连续的,系,2,概率是上连续的,2026/5/27 周三,Ch1.5-,31,数科院,分析：,2026/5/27 周三,32,数科院,柯尔莫哥洛夫的概率,公理化结构,样本空间,事件域,F,概率测度,P,全空间（全集）,s,域,测度,(,集函数,),具体讨论问题时，假定（,W,F,P,）是事先给定的,如何给出（,W,F,P,）需要根据具体情况而定,五、概率空间,2026/5/27 周三,Ch1.5-,33,数科院,例,6,（有限概率空间）,W,:,n,个样本点（有限个样本点）,F,:,W,中所有子集的全体（有限个集合，,2,n,）,这样，每个样本点,w,i,本身是事件,P,：只要对样本点,w,i,给定,P,(,w,i,),满足,则由概率的可加性可知,2026/5/27 周三,34,数科院,总结：,（,1,）选定了（,W,F,）之后，概率的给定还有相当大的灵活性。（例如抛硬币）,（,2,）一旦,P(,w,i,),给定后，事件,A,的概率就不能,任意给定,2026/5/27 周三,Ch1.5-,35,数科院,例,8,离散概率空间,W,:,可列个样本点,w,1,，,w,2,F,:,W,中所有子集的全体。这样，每个样本点,w,i,本身是事件,P,：选可列个非负数,P,i,i,=1,2,满足,作为样本点,w,i,的概率。,这时，事件,A,的概率就取,A,所包含的样本点概率之和。,2026/5/27 周三,Ch1.5-,36,数科院,例,9,（,Borel,s,代数）,W,=R,1,：即样本空间由全体实数构成,F,:,直线上,Borel,点集全体,P,：对左闭右开区间定义概率,W,：,R,1,的一部分,F,:,直线上,Borel,点集,I,W,全体,P,：对,左闭右开区间,I,W,定义概率,2026/5/27 周三,Ch1.5-,37,数科院,例,10,（,n,维,Borel,代数）,W,=,R,n,F,:,n,维欧几里德空间中,Borel,点集全体,B,n,P,：见,Chapter,3,2026/5/27 周三,Ch1.5-,38,数科院,N,o4,作业,P50,习题一,36 37 39,2026/5/27 周三,Ch1.5-,39,数科院,问 题,已知,P,(,A,)=,P,(,B,)=,P,(,C,)=,1/4,P,(,AB,)=0,P,(,AC,)=,P,(,BC,)=1/6,第,4,周,则,A,B,C,全不发生的概率是多少,2026/5/27 周三,Ch1.5-,40,数科院,