高等数学概率论.ppt

广东工业大学,概率论与数理统计,第四章,连续型随机变量,Continuous Random Variable,为了对离散型和连续型随机变量,r.v,（,random variable,）,以及更广泛类型的,r.v,给出一种统一的描述方法,引入了,分布函数的概念，它是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究 随机变量,.,本章首先引进分布函数的概念，然后给出连续型随机变量的定义，介绍几种常见的连续型随机变量及其数字特征。,4.1,连续型随机变量的概念,(,concept,of,Continuous Random Variable),为了对离散型和连续型随机变量,r.v,（,random variable,）,以及更广泛类型的,r.v,给出一种统一的描述方法，下面先引进分布函数的概念,.,除了离散型随机变量外，还有一类重要的随机变量,连续型随机变量，,由于这种随机变量的所有可能取值,可以取到区间,a,b,或,(-,，,+,),的一切值，取值无法像,离散型随机变量那样一一排列，因而也就不能用离散型随机变量的分布律来描述它的概率分布，刻画这种随机变量的概率分布可以用分布函数，或者更常用的方法是用所谓的概率密度。,或,例 设某厂生产某产品的规定尺寸为,25.40cm,已知某批产品的最小尺寸为,25.20cm,最大尺寸为,25.60cm.,现从这批产品中任取,100,件,得到100,个测量值,.,计算得如下数据表,:,分组,25.235-25.265 25.265-25.295 25.295-25.325 25.325-25.355 25.355-25.385 25.385-25.415 25.415-25.445 25.445-25.475 25.475-25.505 25.505-25.535 25.535-25.565,1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2,0.01 0.02 0.05 0.12 0.18 0.25 0.16 0.13 0.04 0.02,0.02,频数,频率,我们关心的是随机变量落在某一区间的概率，这可通过统计样本的尺寸,在每个小区间的频率近似得到。,25.235,25.565,建立频率柱形图如下,:,当,n,无限增大,组距无限减小时,频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线,此即为随机变量,X,的概率密度曲线,以该曲线为图形的函数称为,的,概率密度函数,.,记为,f(x,).,这样，随机变量落在某区间的概率为区间上曲边梯形的面积,产品尺寸,(mm,),曲边梯形的面积,又例如，对某一目标进行射击，记,r,表示着弹点到目标的距离，,我们关心的是,r,1,5000,，“,及格,”,注意到，,事件,aTb,=,Tb,-,T a,又,T a,Tb,P,a,Tb,=P,Tb,-P,T a,我们只要给形式如,P,Tx,概率，则随机变量,T,落在左开右闭的区间的概率可得到，进一步还可计算,T,落在任意区间（开区间，闭区间）及取任一点的概率。,a,b,由随机变量的定义可知，对于每一个实数,x,，,都是一个事件，因此有一个确定的概率,与之对应，,所以，概率,定义：设,是,一个,随机变量，,x,是任意实数，称函数,为,的分布函数,x,1,x,2,x,o,x,0,x,4.1.1,随机变量的分布函数,是随机变量,x,是参变量,.,F(x),是,r.v,取值不大于,x,的概率,.,由定义，对任意实数,x,1,x,2,，,随机点落在区间,（,x,1,x,2,的 概率为：,只要知道了随机变量,的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述,.,例,1.,设随机变量,的分布律为：,求,的分布函数,.,解：,当,x,0,时，满足,x,1,x,0,满足,x,的,取值为,=0,p,k,0,1,2,x,1,0,x,当,同理当,x,2,时,x,1,0,x,满足,x,的,取值为,=0,或,1,例,1.,设随机变量,的分布律为：,求,的分布函数,.,p,k,0,1,2,0,1 2,x,1,例,1.,设随机变量,的分布律为：,求,的分布函数,.,p,k,0,1,2,0,1 2,x,1,一般地，离散型随机变量,(,p,k,=,P,=,x,k,(,k,=1,2,),),的,分布函数,F,(,x,),在,x,=,x,k,处有跳跃，其跳跃值,(,高度,),为,p,k,=,P,=,x,k,.,分 布 函 数 的 性 质,根据分布函数,F,(,x,),的定义，可以得到任一分布函数具有以下基本性质：,1.,F,(,x,),是一个不减的函数,1=,性质,2,的证明：,由性质,1,知,F,（,x,）,单调有界，故,由,概率的可列可加性，,P(-,x,2,x,n,x,n,x,只需证明：,因为,F(x,1,)-F(x),=P(xXx,1,),故,证,毕！,知道一个随机变量,X,的分布函数，不仅得到形如事件,Xx,的概率，还可计算,X,落在任意区间（开区间，闭区间）、,X,取任一点的概率。,例如,P x,1,x=1-P,Xx,=1-F(x),P X=x=,P Xx=P,Xx,-P X=x=F(x-0),其中,x,n,x,P x,1,X x,2,=P x,1,X x,2,-P X=x,2,=F(x-0)-F(x,1,),例,2:,例,3.,已知离散型随机变量的分布律为,分布函数是,试确定其中的,a,b,c,d,e,的值。,解：由,F(-,)=0,，,F(+)=1,得,c,=0,e,=1,由,p,=1,=F(1)-F(1-0),得,1,-,3/4=,b,b,=1/4,又由,1/4+,a,+,b,=1,从而得,a,=1/2,由,p,=0,=F(0)-F(0-0),得,1/2=3/4-,d,，,从而,d,=1/4,即,a,=1/2,b,=1/4,c,=0,d,=1/4,e,=1,例,4,设随机变量,X,的分布函数为,解：由分布函数的性质，我们有,解方程组,得解,例,5,一个靶子是半径为,2,米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以,X,表示弹着点与圆心的距离,.,试求随机变量,X,的分布函数,.,解：,1.,若,x R,则,x,是必然事件，于是,x,2,0,R,1,F,(,x,),x,不难发现，如果设,综合得：,4.1.2,连续型随机变量,(Continuous Random Variable),则称,为连续型随机变量，而称,f(x,),为,的分布密度函数（或概率密度函数），简称分布密度（或概率密度）。,0,x,f(x,),x,面积,x,f(x,),b,面积,a,0,分布密度,f(x,),必须满足,:,密度函数的几何特征：,1,分布密度函数的曲线总在横轴的上方，在整个实数轴有定义。,(3),对于任意实数,0,x,f(x,),x,面积,=1,由概率密度函数,f,(,x,),与分布函数,F,(,x,),的关系即得结论,0,x,f(x,),x,面积,进一步可得,0,f,(,x,),x,x,+,x,x,f(x,),上式说明：,f,(,x,),不是,取值,x,的概率,但是它可反映在,x,点,附近,取值的概率的大小,注意,对于任意可能值,a,连续型随机变量取,a,的概率等于零,.,即,证明由此可得：,1,连续型随机变量的概率与区间的开闭无关,2,设,为连续型随机变量,=,a,是可能发生的事件,但总有,若,为离散型随机变量,例,6(,书例,4),：,确定,a,的值,;,求,的分布函数,F(x,);,求概率,P(,2,1,).,解：,(1),根据密度函数的非负性，有,a0,又由,解,例,7,x,f(x,),0,1 2 3 4,例,8,设,r.v,的分布函数为,(1),求,取值在区间,(0.3,0.7),的概率；,(2),求,的概率密度,.,解:,(1),P,(0.3,X,0.7)=,F,(0.7)-,F,(0.3),=0.7,2,-0.3,2,=0.4,(2),f(x)=,注意到,F(x),在,x,=,1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在,没意义的点,0,1,处，任意规定 的值,.,4.1.3,连续型随机变量的数学期望,定义：,否则称,的数学期望不存在,.,比较离散型情形：随机变量,的概率分布为,P(,=,x,n,)=,p,n,n,=1,2,.,若级数 绝对收敛,则称该级数为,的数学期望,记为,4.1.3.1,连续型随机变量的数学期望,f,(,x,),f(x,),x,设连续型随机变量 的概率密度为,在数轴上取分点,x,0,x,1,x,2,.,i,i,i,0,f,(,x,),x,x,+,x,x,f(x,),i,i,分布律,可视为,的离散近似,=max,x,i,0,解,例,9,例,10,：,设随机变量,X,服从柯西,(),分布,其密度函数为,解,:,由于积分,因此柯西分布的数学期望不存在,.,例,设,随机变量,X,服从,求E(X),解：,f(x,),x,设连续型随机变量 的概率密度为,在数轴上取分点,x,0,x,1,x,2,0),求,EW,。,解：,又设飞机机翼受到的正压力,W,是,V,的函数：,解：,解之得,例,12(,书例,8)(,供应随机需求的存贮问题,),大 的商业、生产系统常常会考虑存贮物资以满足销售或生产需求的问题，由于需求是随机的，如果存量足够多，当然能满足需求，但会带来积压资金、占用仓库、折旧等损失,;,反之，如果存量少了，则 会因缺货带来应取得的利润得不到的损失。,假设市场对资源的需求的随机变量,，其密度函数已知为,f(x,).,又已知存贮单位量物资的代价是,C,满足单位量需求的利润是,r,，问分析存贮量为多大时可使净利润最高？,解：设存贮量为,A,，则净利润,P,(,随机变量,),为,的函数,(A,是参数,),由于,P,是个随机变量，其值不能由,A,完全确定，因此考虑选择,A,，使,P,的期望达到最大,.,由,连续型随机变量,函数,g(,),的期望计算,公式,f,(,x,),为,分布密度函数,现,又设,的密度函数为,f(x,),x 0,则,结果是，选择,A,，使满足,x,y,0,y=1-Fx),A,可见当,1.,方差的计算,4.1.3.2,方差、切比雪夫不等式,由随机变量的函数的期望计算公式得：,比较,为离散型，,P,(,=,x,k,)=,p,k,-,=,),(,1,2,p,E,x,k,k,k,D,(,)=,证明,或利用公式计算,(,回顾离散型方差的性质,),方差是一个常用来体现随机变量,取值分散程度,.,D,(,),值越大,表示,取值分散程度越大,或者说,D,(,),值小,表示,的取值越集中,.,2.,方差的意义,(,与离散型同,),解：,例,13,于是,前面已算得：,2.,切比雪夫不等式,证明：,取连续型随机变量的情况来证明,.,切比雪夫不等式,证毕,切比雪夫不等式 的,等价形式,=0.75,=0.8889,=0.9375,切比雪夫不等式 说明了,任,一,随机变量落入区间,|,-E(,)|,的概率可由方差,D(,),估计,当,D(,),越小时，落入该区间的概率,越大，说明了方差,D(,),确实,反映,取值的集中,(,于期望,),程度。,D(,)=0,的充要条件是,P,=E(,)=,1,(,以概率,1,取常数,C=E(,),）,P|,-E(,)|,对,任意的,0,令,0,得,P,=E(,),=,1,进一步，我们还可证明：,充分性显然，下证必要性,设,D(,)=0,由切比雪夫不等式,证明：,例,14:,假设一批种子的良种率为,1/6,，从中任意选出,600,粒，试用切比晓夫（,Chebyshev,）,不等式估计：这,600,粒种子中良种数所占比例与,1/6,之差的绝对值不超过,0.02,的概率。,4.1.3.3,贝努里,大数,定律：,定理,2,设,n,是,n,重贝努里试验中事件,A,发生的次数，,A,在每次试验中出现的概率为,p,则对任意的,0,，有,证明：,由切比雪夫不等式,在上式令,n,取极限即,蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律,当投针次数,N,很大时，用针与线相交的频率,n/N,近似针与线相交的概率,p(A,),，从而求得,的近似值,.,针长,L,线距,a,贝努里大数定律建立了重复试验下事件发生的频率稳定于其概率,P,的性质，确定了“稳定的意义，给用频率估计概率的方法提供了理论基础。,A=“,针与任一平行直线相交”,已经算得,4.2,重要的连续型随机变量,4.2.1,均匀分布,概率密度函数图形,分布函数,分布函数图形,f(x,),例,1,设随机变量,在,2,5,上服从均匀分布,现对,进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于,3,的概率,.,的分布密度函数为,设,A,表示,“,对,的观测值大于,3,”,的事件,解,即,A,=,3.,因而有,设,Y,表示,3,次独立观测中观测值大于,3,的次数,则,解：,例,2,的分布密度函数为,方程 有实根的概率的充要条件为,均匀分布的期望和方差,则有,均匀分布的数学期望位于区间的中点,.,均匀分布的特征是：随机变量落在任意小区间的概率只与小区间的长度有关，而与小区间的位置无关。某种意义上表现随机变量取值的“等可能”性。,f,(,x,),4.2.2.1,正态分布,(,或高斯分布,),=2,，,=4,=5,正态概率密度函数的图形,正态分布的分布函数,标准正态分布的图形,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,;,人的生理特征尺寸如身高、体重等,;,正常情况下生产的产品尺寸,:,直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布,.,正态分布的应用与背景,正态分布的期望和方差,则有,正态分布下的概率计算,原函数不是初等函数，因此概率不能通过积分算出。,方法：转化为标准正态分布查表计算,解,例,3,查表,解,例,4,证明,:,例,5,证明,证明,:,-x,x,解,例,6(,书例,12,查表,查表,解,查表,查表,(,续,),例,7(,书例,13),已知电源电压,U,N(220,25,2,)(,单位,V),通常有,3,种状态：,电压不超过,200V;,电压在,200,240,之间,;,电压超过,240V.,在上述三种状态下，某类电子器件损坏的概率分别是,0.1,，,0.001,0.2.(1),求该类电子器件损坏的概率,;(2),对已经损坏的该电子器件,分析在损坏时电源电压所处的状态,.,解：设,A=“,电子器件损坏”,B,1,=“,电压不超过,200V”,B,2,=“,电压在,200V,240,V,之间”,B,3,=“,电压超过,240V”,P(B,1,)=P(U,200)=F(200),P(B,2,)=P(240U)=1-F(240),P(B,3,)=1-P(B,2,)-P(B,1,)=0.576,可算得：,又已知：,书例,13,已知电源电压,U,N(220,25,2,)(,单位：,V),通常有,3,种状态：,电压不超过,200V;,电压在,200,240,之间,;,电压超过,240V.,在上述三种状态下，某类电子器件损坏的概率分别是,0.1,，,0.001,0.2.(1),求该类电子器件损坏的概率,;(2),对已经损坏的该电子器件,分析在损坏时电源电压所处的状态,.,解：设,A=“,电子器件损坏”,B,1,=“,电压不超过,200V”,B,2,=“,电压在,200V,240,V,之间”,B,3,=“,电压超过,240V”,P(B,1,),P(B,2,)=0.576,，,由全概率公式：,书例,13,已知电源电压,U,N(220,25,2,)(,单位：,V),通常有,3,种状态：,电压不超过,200V;,电压在,200,240,之间,;,电压超过,240V.,在上述三种状态下，某类电子器件损坏的概率分别是,0.1,，,0.001,0.2.(1),求该类电子器件损坏的概率,;(2),对已经损坏的该电子器件,分析在损坏时电源电压所处的状态,.,解：设,A=“,电子器件损坏”,B,1,=“,电压不超过,200V”,B,2,=“,电压在,200V,240,V,之间”,B,3,=“,电压超过,240V”,P(B,1,),P(B,2,)=0.576,，,由贝叶斯公式,例,8(,书例,14),设已知测量误差,N(0,10,2,),现独立重复进行,100,次测量，求误差绝对值超过,19.6,的次数不少于,3,有概率,.,解：由已知,N(0,10,2,),故,A=|,|19.6,的,概率,可以算出,现独立重复进行,100,次，,100,次中,A,发生的次数,B(100,0.05),，,故所求的概率为,P,3,=,1-P,=0,-P,=1-P,=2,n,较大,p,较小,书例,15,某单位招聘,155,人，标准是以综合考试成绩从高到低分依次录用，现有,526,人报名应聘，假定考试成绩服从正态分布,N(,，,2,).,已知,90,分以上,12,人，,60,分以下,83,人，已知某应聘者成绩是,78,分，问此人能否被录用？,解：,此人能录用，取决于录用率和此人的成绩在所有应聘者成绩的地位,录用率,=155/526=0.2947,反查正态分布表,90,60,例,15,某单位招聘,155,人，标准是以综合考试成绩从高到低分依次录用，现有,526,人报名应聘，假定考试成绩服从正态分布,N(2,).,已知,90,分以上,12,人，,60,分以下,83,人，已知某应聘者成绩是,78,分，问此人能否被录用？,解得：,故该人可被录用,另法，根据录取率求出录取下限分数，也可得出结论,.,即录取下限分数是,75,分，因此该人可被录用,5.6,从二项分布到正态分布,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究,.,极限定理的内容很广泛，下面介绍最常用和简单的一种,中心极限定理,:,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响,.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响,.,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响,.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等,.,又如测量误差等均是由许多随机因素影响的综合结果,人们发现炮弹落点的坐标，测量误差近似服从,正态分布,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大,.,则这种量一般都服从或近似服从正态分布,.,下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题,.,当,n,无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？,由于无穷个随机变量之和可能趋于,，故我们不研究,n,个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限,.,可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布,.,独立同分布下的中心极限定理,它表明，当,n,充分大时，,n,个具有期望和方差的独立同分布的,r.v,之和近似服从正态分布,.,设,X,1,X,2,X,n,是独立同分布的随机变量序列，且,(,X,i,)=,，,D(X,i,)=,2,，,i,=1,2,n,，则,(,列维,-,林德伯格（,Levy,Lindberg,）定理,),应用：虽然在一般情况下，我们很难求出,X,1,+X,2,+,X,n,的分布的确切形式，但当,n,很大时，可以求出近似分布,.,定理,由定理,1,有结论成立。,定理,3,（德莫佛,-,拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数为,n,p(0p1),的二项分布，,(De,Moivre-Laplace,),则对于任意,x,，恒有：,特别地，当,X,i,为,(0,1),分布时，即为棣莫佛拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）。,，,则,说明：这个公式给出了,n,较大时二项分布的概率计算方法。,设随机变量 服从参数为,n,p(0ps,，则它再活,t,年以上的概率与已经活过的岁数无关。所又称指数分布为“永远年青”的分布。,设顾客到某服务窗口办事，需要排队等候，若等待的服务时间,(,单位：,min),服从指数分布,其概率密度为,1.,试求顾客等待服务的平均时间,?,书例,16,2.,某人到此窗口办事，在等待,15,分钟仍未能得到接待时，,他就要愤然离去，若此人在一月内共去该处,10,次，试求,(1),有,2次愤然离去的概率,(2),最多有,2,次愤然离去的概率,(3),至少有,2,次愤然离去的概率,解,1,因此,顾客平均等待,10,分钟就可得到服务,.,解,2,先求任一次等待时，愤然离去的概率,则在,10,次排队中，愤然离去的次数,B(10,0.2231),0.6735,(1),有,2,次愤然离去的概率,(2),最多有,2,次愤然离去的概率,(3),至少有,2,次愤然离去的概率,1.,试求顾客等待服务的平均时间,?,2.,某人在等待,15,分钟仍未能得到接待时，,就要离去，此人在一月内共去该处,10,次，试求,书例,17,假设一大型设备在任何长度为,t,的一段时间内发生故障的次数,(t),服从参数为,t,的泊松分布，若用,表示相邻两次故障之间的时间间隔，试求：,(1),的概率分布,;(2),在排除一次故障后，该设备能无故障运行,8,小时的概率,Q,1,;(3),该设备在已经无故障运行了,t,0,小时后，再无故障运行,8,小时以上的概率。,解,(1),先求,的分布函数，由定义,t0,时，先求,P(,t)=,1-,F(t,),由,的,定义,t,=,在长为,t,的时间内没有发生故障,=,在长为,t,的时间内发生故障,0,次,已知在长为,t,的时间内发生故障的次数,(t),P(,t,),=,(t),=,0,例,17,假设一大型设备在任何长度为,t,的一段时间内发生故障的次数,(t),服从参数为,t,的泊松分布，若用,表示相邻两次故障之间的时间间隔，试求：,(1),的概率分布,;(2),在排除一次故障后，该设备能无故障运行,8,小时的概率,Q,1,;(3),该设备在已经无故障运行了,t,0,小时后，再无故障运行,8,小时以上的概率。,解,(2),求,解,(3),求,由指数分布的,”,无记忆,”,性,习题四,x,j,(,x,),0,1,-,1,2.3.5.7,9.12.,习题四,x,j,(,x,),0,1,-,1,13.17.,20.23.26,