复变函数与积分变换第五章留数z.ppt

我并无过人的智能，有的只是坚持不屑的思索精力而已。今天尽你最大的努力去做好，明天也许能做的更好,.,-,牛顿,我反复思索好几个月，好几年；有九十九次都是错的，而第一百次我对了,.,-,爱因斯坦,第五章,留数,5.2,留数,5.1,孤立奇点,5.3,留数定理及其应用,主 要 内 容,本章介绍孤立奇点的概念、分类及其判别；留数的概念；孤立奇点处留数的计算；并将其应用于实函数积分的计算,.,5.1,孤立奇点,一、,引言,二、,零点,三,、,孤立奇点,四,、,孤立奇点的分类,五,、,如何进行孤立奇点的分类,回顾复积分的计算方法：,（,4,）柯西,-,古萨基本定理：,（,5,）,Cauchy,积分公式,6,）,Cauchy,高阶导数公式,一,、,引言,问题：,如何转化成含有的形式？,一,、,引言,本章重点解决闭路积分问题。,如图，考虑积分,D,r,C,G,(1),若 在,G,上连续，在,D,上解析，,则,(2),若 在,D,上有唯一的奇点,此时,一,、,引言,本章重点解决闭路积分问题。,D,r,C,如图，考虑积分,(1),若 在,G,上连续，在,D,上解析，,则,(2),若 在,D,上有唯一的奇点,则,此时，将函数 在 点的邻域内进行洛朗展开，,由,则积分 “,不难,?,”,得到。,G,则称 为 的,零点,；,(1),若,所谓函数 的,零点,就是方程 的,根,。,定义,设函数 在 处解析2),若,在,处解析且,则称 为 的,m,阶零点,。,二,、,零点,P81,定义,5.3,二,、,零点,定理,设函数 在 处解析，则下列条件是等价的：,(1),为 的,m,阶,零点,。,(2),其中，,(3),在 内的泰勒展开式为,充要条件,(,如何判断零点的阶数,?,),(,进入证明,?),其中，,二,、,零点,充要条件,(,如何判断零点的阶数,?,),定理,设函数 在 处解析，则下列条件是等价的：,(1),为 的,m,阶,零点,。,(2),(3),在 内的泰勒展开式为,收敛且解析,是 的三阶零点。,是 的三阶零点。,方法一,方法二,三,、,孤立奇点,邻域 内解析，,则称,为,孤立奇点使得 在去心,且存在,定义,设 为 的奇点，,例,为孤立奇点。,例,原点及负实轴上的点均为奇点，,但不是孤立奇点。,P79,定义,5.1,例,(1),令,为孤立奇点；,(2),也是奇点，,但不是孤立奇点。,邻域 内解析，,则称,为,孤立奇点,。,使得 在去心,定义,设 为 的奇点，,且存在,三,、,孤立奇点,x,y,o,这,说明奇点未必是孤立的,.,函,数,的,实,部,注,:,若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点,.,四,、,孤立奇点的分类,根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类,将 在 内,定义,设 为 的孤立奇点，,展开为洛朗级数：,(1),若,有,则称 为 的,可去奇点,。,(,即不含负幂次项,),P79,四,、,孤立奇点的分类,根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类,定义,将 在 内,设 为 的孤立奇点，,展开为洛朗级数：,则称 为 的,N,阶极点,；,(,即含有限个负幂次项,),(2),若,有,且,有,特别地，当 时，称 为 的,简单极点,。,四,、,孤立奇点的分类,根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类,定义,将 在 内,设 为 的孤立奇点，,展开为洛朗级数：,(,即含无限个负幂次项,),(3),若,有,则称 为 的,本性奇点,。,四,、,孤立奇点的分类,根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类,定义,将 在 内,设 为 的孤立奇点，,展开为洛朗级数：,小结,(1),可去奇点,不含负幂次项；,(2),N,阶极点,含有限多的负幂次项,且最高负幂次为,N,；,(3),本性奇点,含有无穷多的负幂次项。,可去奇点,本性奇点,N,阶极点,可去奇点,本性奇点,N,阶极点,五,、,如何进行孤立奇点的分类,定理,若,z,0,为,f,(,z,),的孤立奇点，则下列条件等价：,可去奇点的判定方法,(,不含负幂次项,),解,是 的奇点，,由,是 的可去奇点。,可知，,将 在 的去心邻域展成洛朗级数，有,或,如果约定 在 点的值为,1,，,则 在 点,就解析了，,因此称 为 的可去奇点。,定理,若,z,0,为,f,(,z,),的孤立奇点，则下列条件等价,（,都是,N,阶极点的特征,）：,(iii)z,0,是 的,N,阶零点,.,(,可去奇点作为解析点看,),N,阶极点的判定方法,定理,若,z,0,为,f,(,z,),的孤立奇点，则,z,0,为,f,(,z,),的极点的充要条件是,与不存在极限的区别,定理,若,零点，,则,(1),当 时，,(2),当 时，,即,为 的可去奇点。,为 的,(,n,-,m,),阶极点。,且 为 的,n,阶零点，为,的,m,阶,(,含有限个负幂次项，且最高负幂次为,2,),解,是 的奇点，,由,是 的极点。,可知，,将 在 的去心邻域内展成洛朗级数，有,注,可见，为 的二阶极点。,本性奇点的判定方法,定理,z,0,为,f,(,z,),的本性奇点,解,是 的奇点，,考察极限,是 的本性奇点。,因此，,将 在 的去心邻域内展成洛朗级数，有,注,(,含无穷多个负幂次项,),由,不存在且不为,可知，,是 的一阶极点。,判断函数 的奇点的类型。,例,是 的二阶极点。,解,由于,是 的可去奇点，,故,解,由于,是 的一阶极点，,故,由于 是 的四阶零点，,解,故 是 的二阶极点。,将 在 的去心邻域内展成洛朗级数，有,因此，为 的二阶极点。,注,直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握,且是 的二阶零点，,总结,:,孤立奇点,可去奇点,N,阶极点,本性奇点,Laurent,级数的特点,存在且为,有限值,不存在,且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,含有有限个负幂项,关于,的最高幂,为,小结,一,、,引言,本章重点解决闭路积分问题。,D,r,C,如图，考虑积分,(1),若 在,G,上连续，在,D,上解析，,则,(2),若 在,D,上有唯一的奇点,则,此时，将函数 在 点的邻域内进行洛朗展开，,由,则积分 “,不难,?,”,得到。,G,5.2,留数,一 留数的概念,二 留数的计算方法,0,(,高阶导数公式,),0,(,柯西,-,古萨基本定理,),5.2,留数,一、,留数的概念,将 在 的去心邻域,设 为函数 的孤立奇点，,定义,称 为 在 处的,留数,，,记作：,内展开成洛朗级数：,(,两边积分,),其中，,C,是 的去心邻域内绕 的一条简单闭曲线。,P83,定义,5.6,(,留数的产生,),而且在使用该方法时，,并不需要知道奇点的类型。,二、,留数的计算方法,若 为 的可去奇点，,方法,1.,可去奇点,若 为 的本性奇点，,方法,2.,本性奇点,则,“,只好,”,将 在 的去心,邻域内展开成洛朗级数。,(1),在具体展开的时候，并不需要写出,“完整”,的洛朗级数，,注,只需将其中负一次幂的系数 求出来就可以了。,(2),对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，,则,(1),若 为 的简单极点，,特别,则,(2),若,且,在,点解析，,则,P84,法则,3,二、,留数的计算方法,3.,极点,方法,(,法则,),若 为 的,m,阶极点，,P84,法则,2,是 的可去奇 点，,解,(1),和 均为 的一阶极点，,(2),(,罗比达法则,),是 的三阶极点，,解,(1),为 的二阶极点，,(2),是 的本性奇点，,解,将 在 的去心邻域内洛朗展开，,有,方法一,利用洛朗展式求留数,解,将 在 的去心邻域展开，,得,由于 是 三阶极点，,解,方法二,利用极点的留数计算法则求解,(,罗比达法则,),因此有,(,好麻烦,!),解,方法二,利用极点的留数计算法则求解,若,“不幸”,将 判断成了 的,六阶,极点，,巧合,?,(,非也,!),如果 为 的 阶极点,取正整数,法则,4,那么,注,(1),此类函数求留数，可考虑利,用洛朗展式。,(2),若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，,而不一定非得使用后面即将介绍的留数定理。,5.3,留数定理及其应用,一 留数定理,二 留数在定积分计算中的应用,D,C,一,、,留数定理,处处解析，且连续到边界,C,，,定理,设 在区域,D,内除有限个孤立奇点 外,注意,只需计算积分曲线,C,所围成的有限区域内奇点的留数。,如图，将孤立奇点用含于,D,内且,证明,互不重叠的圆圈包围起来，,根据复合闭路定理有,则,P86,定理,5.7,利用留数定理,计算复围线积分的步骤,：,1,明确积分曲线及内部奇点,2确定奇点类型,计算留数,3,应用留数定理,求积分,解,被积函数 在 内有两个奇点：,可去奇点,一阶极点,解,被积函数 在 内有两个奇点：,一阶极点,二阶极点,解,方法一,利用极点的留数计算法则求解,(,罗比达法则,),为被积函数 的二阶极点，,方法二,利用高阶导数公式求解,方法三,利用洛朗展式求解,解,将被积函数 在 的去心邻域展开，,极点,z,=3,在 的外部,.,分别是,f,(,z,),的,3,级和,1,级极点,都在 的内部,.,而,练习,计算积分,其中,C,是 的正向,.,记,显然,z,=0,和,z,=1,于是，根据留数基本定理,在高等数学中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如,或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如,二、留数在定积分计算中的应用,根据留数定理，用留数来计算定积分是计算定积分,显得有用。即使寻常的方法可用，如果用留数，也往往,首先，被积函数必须要与某个解析函数密切相关。这一,的一个有效措施，特别是当被积的原函数不易求得时更,感到很方便。当然这个方法的使用还受到很大的限制。,点，一般讲来，关系不大，因为被积函数常常是初等函,数，而初等函数是可以推广到复数域中去的。其次，,定积分的积分域是区间，而用留数来计算要牵涉到把,问题化为沿闭曲线的积分。这是比较困难的一点。下面,来阐述怎样利用复数求某几种特殊形式的定积分的值。,二、留数在定积分计算中的应用,1,、,形如 的积分,2,、,形如 的积分,3,、,形如 的积分,思想方法,:,封闭路线的积分,.,两个重要工作,:,1),积分区域的转化,2),被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,1,、,形如 的积分,方法,(1),令,则,要求,是,u,v,的有理函数，,即 是以,u,v,为变量,的二元多项式函数或者分式函数。,方法,即 是以,u,v,为变量,要求,是,u,v,的有理函数，,1,、,形如 的积分,的二元多项式函数或者分式函数。,其中，,是,在 内,的孤立奇点。,(2),1.,被积函数的转化,2.,积分区域的转化,例,计算积分,解,积分可以转化为,在复平面内有两个零点,:,在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解,.,下面用复变函数的方法求解该题,.,由于 因此 从而被积函数,1,级极点,z,1,.,所以,在单位圆周 内只有一个,其中，,P,(,x,),Q,(,x,),为多项式；,(2),分母,Q,(,x,),的次数比分子,P,(,x,),的次数至少,高二次,；,(3),分母,Q,(,x,),无实零点。,推导,(,略,),其中，,是,在上半平面内,的孤立奇点。,要求,(1),方法,2,、,形如 的积分,(,进入推导,?),2.,积分区域的转化,:,在上半平面取一条分段光滑的曲线,使其与实轴的,一部分构成一条简单闭曲线,包含,f,(,z,),在上半平面,的所有有限孤立奇点，并使,f,(,z,),在其内部除去,这种方法称为,围道积分法,.,1.,被积函数的转化,:,当,z,在实轴上时,f,(,z,)=,f,(,x,).,f,(,x,),f,(,z,),有限孤立奇点外处处解析,.,(1),令,解,(2),(3),在上半平面内，,i,与,3,i,为 一阶极点,。,3,、,形如 的积分,(2),分母,Q,(,x,),的次数比分子,P,(,x,),的次数至少,高一次,；,(3),分母,Q,(,x,),无实零点。,其中，,是,在上半平面内,的孤立奇点。,其中，,P,(,x,),Q,(,x,),为多项式；,要求,(1),方法,即：,在上半平面内，,1+3,i,为一阶极点,。,(1),令,解,(2),(3),(2),留数,计算方法,留数定理,留数,在定,积分,计算中的应用,本章内容总结,1.,留数的计算,3.,留数在定积分计算中的应用,本章的重点,2.,留数定理及在复变函数积分中的应用,第四章 完,Karl,Weierstrass,(1815.10.31-1897.2.19),德国数学家,.,曾在波恩大学学,习法律,1838,年转学数学,.,后来成,为中学教师,不仅教数学、物理,还教写作和体育,在这期间刻苦进行数学研究,.1856,年到柏林大学任,教,1864,年成为教授,.,Weierstrass,是将严格的论证引入分析学的一位,大师,他发现了处处不可微的连续函数,与其他一些,数学家一起共同结束了分析学的混乱局面,.,Eugene,Rouche,(1832.8.18-1910.8.19),法国数学家,.,在分析学和代数学方面均有贡献,.,1862,年发表了,Rouche,定理,.1875,年曾发表文章证明,了线性方程组存在解的系数矩阵秩准则,.,附：,留数,(,Residu,),的产生,柯西在,“,求沿着两条有相同起点与终点且包围着,函数极点的路径积分之差,”,时得到了这个概念,。,这也是使用该名称的缘故。,1829,年,柯西创建了留数理论。,1814,年,柯西第一个注意到了留数的概念。,(,即,留数,、,残数,、,剩余,),这个术语。,1826,年,柯西在他的研究报告中首次使用了“,residu,”,(,返回,),若 为 的,m,阶极点，,附：,关于极点的留数计算法则的说明,(,其中,),(,其中,),则,(,返回,),附：,关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,回顾,则 对应于,相应地，,记为,因此，,函数 在无穷远点,的,性态,可由,函数 在原点,的,性态,来刻画。,令,即,对应于,附：,关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式,?,由 在原点,的邻域 内的洛朗展式：,得 在无穷远点,的邻域 内的洛朗展式：,其中，,函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式,?,附：,关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,(1),可去奇点,：,(2),N,阶极点,：,(3),本性奇点,：,无穷远点的奇点类型的划分,不含正幂项；,含有限多的正幂项,且最高幂次为,N,，,含有无穷多的正幂项。,此时，,函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式,?,附：,关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,(1),可去奇点,：,(2),N,阶极点,：,(3),本性奇点,：,无穷远点的奇点类型的判别,不含正幂项；,含有限多的正幂项,且最高幂次为,N,，,含有无穷多的正幂项。,不存在且不为,(,常数,),；,此时，,函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式,?,附：,关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,函数 在,无穷远点的留数,(,两边沿,C,积分,),-,称 为函数 在,无穷远点的,定义,留数,。,由,有,(,返回,),