D1_3连续性间断点.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第三节,函数的连续性,三、初等函数的连续性,四、闭区间上连续函数的性质,1,:,增量,:,自变量的增量,函数的增量,2:,一点连续的定义,:,一、函数连续性的定义,若,在,则称函数在该点连续。,的某一邻域内有定义，,设,注,1,、函数,在点,(1),在点,即,(2),极限,(3),连续必须具备下列条件,:,存在,;,有定义,存在,;,2,、由函数在一点有极限的充要条件有,:,一点连续的充要条件,:,在,在,二、函数的间断点,(1),函数,(2),函数,不,存在,;,(3),函数,存在,但,不连续,:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一,函数,f(x),在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为,间断点,.,在,无定义,;,间断点分类,:,第一类间断点,:,及,均存在,若,若,第二类间断点,:,及,中至少一个不存在,称,若,其中有一个为振荡,称,若,其中有一个为,则 为可去间断点,.,则 为跳跃间断点,.,为无穷间断点,.,为振荡间断点,.,为其,无穷间断点,.,为其,振荡间断点,.,为,可去间断点,.,例如,:,显然,为其,可去间断点,.,(4),(5),为,其跳跃间断点,.,、连续函数的运算法则,三、初等函数的连续性,、初等函数的连续性,定理,3,：,连续单调递增 函数的反函数,、连续函数的运算法则,定理,2,：,在某点连续的有限个函数经有限次和 差、积、,商,(,分母不为,0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数,.,(,递减,).,递增,(,递减,),也,连续单调,定理,4,：,连续函数的复合函数是连续的,.,定理,1,：,基本初等函数在其定义区间上连续。,例,1.,求,解,:,原式,例,2.,求,解,:,令,则,原式,说明,:,当,时,有,、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,四、闭区间上连续函数的性质,1,、,最值定理,2,零点定理（根的存在定理）,推论,:,2,、零点定理,定理,2(,零点定理,),至少有一点,且,使,在闭区间上连续的函数在该区间上有界,.,1,、最值定理,定理,1:,在闭区间上连续的函数,在该区间上一定有最大,值和最小值,.,例,1.,证明方程,一个根,.,证,:,显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明,:,分段函数在界点处是否连续需讨论,其左、右连续性,.,、初等函数的连续性,思考与练习,1,.,讨论函数,x,=2,是第二类无穷间断点,.,间断点的类型,.,2.,设,时,为,连续函数,.,答案,:,x,=1,是第一类可去间断点,至少有一个不超过,4,的,证,：,3,、,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证,.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根,.,