1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第九节 二元函数的泰勒公式,二、二元函数的泰勒公式,三、极值充分条件的证明,一、问题的提出,一、问题的提出,一元函数的泰勒公式,问题,能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.,二、二元函数的泰勒公式,其中记号,表示,表示,一般地,记号,证,引入函数,显然,由 的定义及多元复合函数的求导法则,可得,利用一元函数的麦克劳林公式，得,),(,),0,(,0,0,y,x,f,=,F,),(,),1,(,0,0,k,y,h,x,f,+,+,=,F,将,及,上面求得的,直
2、到,阶导数在,的值,以及,在,),(,t,F,n,0,=,t,),(,),1,(,t,n,+,F,q,=,t,的值代入上式,.,即得,其中,证毕,其中,当,0,=,n,时,公式,),1,(,成为,上式称为,二元函数的拉格朗日中值公式.,例 1,解,其中,三、极值充分条件的证明,利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2,证,依二元函数的泰勒公式，,),1,(,设,0,2,-,B,AC,即,因,),(,y,x,f,的二阶偏导数在,),(,0,1,P,U,内连续,由,不等式,),7,(,可知,存在点,0,P,的邻域,),(,),(,0,1,0,2,P,U,P,U,蘿,使得对任一,),(,),(,0,
3、2,0,0,P,U,k,y,h,x,蝳,+,+,有,注:,将,),(,y,x,f,xx,在点,),(,0,0,k,y,h,x,q,q,+,+,处的值,记为,xx,f,其他类似,.,),2,(,设,0,2,-,B,AC,即,先假定,0,),(,),(,0,0,0,0,=,=,y,x,f,y,x,f,yy,xx,则,.,0,),(,0,0,箎,y,x,f,xy,分别令,h,k,=,及,h,k,-,=,则由,),6,(,式可得,及,其中,.,1,0,2,1,q,q,再证,),(,),(,0,0,0,0,y,x,f,y,x,f,yy,xx,与,不同时为零的情形,.,不妨,.,0,),(,0,0,箎,y
4、x,f,xy,先取,0,=,k,于是由,),6,(,式得,当,h,充分接近零时,f,D,与,),(,0,0,y,x,f,xx,同号,.,但如果取,),(,),(,0,0,0,0,s,y,x,f,k,s,y,x,f,h,xx,xy,=,-,=,其中,s,是异于零但充分接近于零的数,则可发现,当,s,充分小时,f,D,与,),(,0,0,y,x,f,xx,异号,.,),(,0,0,y,x,f,D,如此证明了,:,在点,的任意邻近,可取,不同符号的值,因此,),(,0,0,y,x,f,不是极值,.,考察函数,及,容易验证,这两个函数都以,),0,0,(,为驻点,且在点,),0,0,(,处都满足,0,2,=,-,B,AC,.,但,),(,y,x,f,在点,),0,0,(,处有极小值,而,),(,y,x,g,在点,),0,0,(,处却没有极值,.,
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