变分法第八章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,若偏微分方程复杂或边界条件不规则时，则方程难以求得解析解，不得不求满足近似程度要求的近似解。,变分法是常用的近似方法之一，而且，变分法的原理和应用遍及物理学的各个领域。,所谓变分法即为泛函的极值问题。,前述各章讨论的数理方程的解均为解析解,第八章 变分法,本章将从数学在物理学中应用的角度，来讨论变分法的基本概念、原理，以及用来求解当选理方程的思路,泛函分析是一门较为专业的数学课程。,1,泛函的概念,最速落径问题,如图所示,A,、,B,两点不在同一铅垂线，也不在同一高度,8.1,泛函与泛函的极值,A,B,x,x,y,),我们知道，质点下落速率与下落高度间的关系为,一质点在重力作用下无磨擦沿某曲线从,A,滑到,B,，求下滑的最短时间。或沿哪条曲线用时最短。,所以,T,称为,y,(,x,),的,泛函,y,(,x,),可取的函数种类，称泛函的定义域,泛函是函数的涵数（不指复合函数）,一般地，,C,是,函数的集合，,B,是,实数（或复数）的集合，若对于,C,中的任一称元素,y,(,x,),，在,B,中均有一元素,J,与之对应，则称,J,为,y,(,x,),的泛函是函数。,记为,与通常函数的定义不同，泛函的值决定于函数的取形。,即,如上例中，,T,的变化决定于 的变化，而非某一个自变量,x,的值进而某一个函数,y,的值。,而是决定于函数集合,C,中的函数关系，即决定于函数的取形。,通常，泛函多以积分形式出现，如,称为泛函的核,其中,2,泛函的极值与变分,在泛函的概念下，最速落径问题归结为泛函,的极值问题，所谓变分法,就是求泛函的极值问题。,研究泛函极值问题的方法归为两类：直接法与间接法,要讨论间接法，先讨论泛函的变分问题。,设有连续函数,即,导数的变分等于变分的导数,变分微分运算可交换次序。,将其微小变形为,其中,t,是一个小参数，,称为 的变分，,记为,此时，函数,相应变形为,设,对,x,y,y,二阶可导，,y,连续,中,相对于,y,、,y,作,Tayler,展开,抵消,t,的,0,次项，保留,t,的,1,次项，略去,t,的高阶项,有变分,d,y,时，泛函,J,的变化为,则函数,可得,上式称泛函,J,y,（,x,）,第一次变分，简称变分，记为,3,泛函极值的必要条件,欧拉方程,设泛函,J,y,（,x,）,的极值问题有解，记为,y,=,y(,x,),现在来推导此解,y,（,x,）满足的常微分方程,设,y=,y,（,x,）有变分 ，则,可视为,t,的函数,表示为,当,t=0,时,亦即,F,(t,),函数取极值。,即 取极值,这样，就把原来的泛函的极值问题转变成,F,(t,),这种普通函数的极值问题。,令,即,将,代入上式，得,即,泛函取极值的必要条件是其变分为,0,，或者说，泛函,J,的极值函数,y,(,x,),必须是满足泛函的变分,d,J,=0,的函数类,所以泛函的极值问题称为变分问题,在简单变分问题中，,端点是固定的,同乘,t,得,即,又因为,（分步积分）,欧拉,(Euler),方程，泛函有极值的必要条件。,所以，得,）单变量多函数的泛函,以上为单变量单函数泛函极值问题的欧拉方程，较复杂的泛函欧拉方程可仿照上述方法导出。,如,与求多元函数的偏导数相似，分别对多函数泛函之某一函数取变分，其余函数保持不变。,可得,i=1,2,n,）高阶导数的泛函,取,相应的欧拉方程为,或写成,）多元函数的泛函,取,相应的欧拉方程为,例,1,最速落径问题，即求解变分问题,代入,得,解：由于,欧拉方程变形为,不显含,x,求出偏导数，有,通分并取平方,取,得,令,代入上式,摆线的参数方程,常数,c,1,、,c,2,由,A,、,B,位置决定,4,泛函的条件极值问题,若变量函数,y,（,x,）受到附加条件的限制，则相应的极值问题，称为条件极值问题。,典型的也是最重的限制是用积分形式表示的,如,即所谓等周问题,均为常数，可仿照函数条件极值问题的,Lagrange,乘子法，即,其中,将附加条件乘以参数,确定特解,l,，求其变分，有,这是通过,a,和,b,两点的,y,(,x,),在附加条件下,使泛函取极值的必要条件。,则问题转化为一般的泛函变分问题，相应的欧拉方程为,关于,y,(,x,),的二阶常微分方程，一般含三个参数，即,l,和两个积分常数，泛函取极值的必要条件。,由,来确定,例,2,求 的极值，其中,y,是归一化的，即,得,解：此泛函的条件极值问题，可转化为变分问题,代入欧拉方程，有,这里,且已知,的通解为,代入归一化条件，得,所以,而泛函的极值为,使泛函取极小值,p,2,当,n=1,时，泛函,满足条件,5,求泛函极值的直接方法,(Ritz,方法,),从泛函自身出发，,不经微分方程直接求出极值曲线，称为泛函极值问题的直接方法。,Ritz,方法,典型的直接方法：要点是不将其放在它全部定义域来考虑，而是在定义域的某一部分来考虑。,使,J,转化为,设某种完备的函数系,试偿以其中的前几项来表示变分问题,d,J,=0,的解,其中,为待定系数,的,n,元函数,所以按多元函数求极值的方法，令,不过这样得出的函数并非,变分问题,d,J,=0,的严格解,由于,f,的形式是我们预先选定的，比如,即,由此解出,便确定出了函数,y,(,x,),而是近似,解,记为,y,n,(,x,),，严格解应为,Ritz,法中函数系,j,i,的选取至关重要，如何选取？,例,3,用,Ritz,方法求例,2,。即求,采用试探解,项的选取是为了满足,解：以,作为选取的函数系,将其代入,得,下的变分问题。,在约束条件,且已知,由,即,结果是,把,代入,得,显而易见，在,c,1,=0,时，,Jy(,x,),最小，最小值为,10,所以,对比,近似解，抛物线,严格解，正弦曲线,且,1,）把偏微分方程的本征值问题或定解问题，与泛函的极值问题联系起来，使原来的方程是泛函的欧拉方程；,2,）用直接方法求出泛函的极值函数，由于此函数一定满足欧拉方程，所以，也一定满足原方程，即一定是原方程的解。,用变分法求数理方程的基本原理,本节以,Helmhotz,方程的本征值问题和,Poisson,方程的边值问题为例，讨论把上述问题转化为泛函极值问题或变分法的基本方法，然后来求解极值问题（用直接方法）。,8.2,用分法求解数理方程,（设,u,在区域,t,内有连续的二阶导数，,l,为参数,s,为,t,的,边界）,取泛函,令,1,本征问题与变分问题的关系,Helmhotz,本征值问题,由第一格林公式,则有,或,其中,对应的欧拉方程为,对于三元函数的泛函，,其变分问题为,所以,即泛函,中,把,代入欧拉方程，得,欧拉方程变为,极值问题的欧拉方程,就是,Helmhotz,方程在,边界条件下本征值问题,而且，此泛函变分问题与泛函,在附加条件,就是说，,Helmhotz,方程的本征值问题，可归结为归一条件下,J,1,u,的极值问题。,下的变分问题等价。,所对应的泛函同样为,若为第二类边界条件,同样亦有,即本征值问题,若为第三类边界条件,类似地有,则本征值问题,记,和边界条件 下,的极值问题,可归结为在附加条件,求泛函,2,泛函极值与本征值问题的关系,仍以,Helmhotz,方程为例，先给出一重要结论：,的最小值,l,0,就是本征值问题,泛函,的最小本征值,而使泛函,J,1,u,在边界条件,和附加条件,u,0,就是该本征值问题对应本征值,l,0,的本征函数。,取得最小值的函数,结论的证明：,有最小值,l,0,的极值函数，则有,设,u,0,是使泛函,由边界条件,知,的欧拉方程为,又，在附加条件,下,所以,u,0,满足,或,代入,J,1,u,0,有,u,0,是本征函数。,再证明：,即,l,0,是本征值，,设,l,0,是最小本征值。,相应的本征函数为,u,1,则有,这与,是,的最小值相矛盾,结论得证。,有次小值,l,1,的极值函数，,类似地还可证明，若设,u,1,是使泛函,且满足边界条件,和附加条件,除此之外，还同时满足与,u,0,正交的条件。,即,设,相应的本征函数为,u,1,满足,依此类推，泛函取第,i,个极值的极值函数,u,i,满足,且满足边界条件,和附加条件,除此之外，还同时满足正交条件,即,由此得到的泛函的次极小值,就是本征值问题,的次极小值,对于一系列本征值,相应的本征函数为,例 用变分法求边界固定的圆膜横振动的本征振动。,代入上式，得,引入无量纲变量,解：取平面极坐标，定解问题为,令,旋转对称,记,得,这是一个二阶常微分方程的本征值问题，用变分法,对于任意的二阶常微分方程的本征值问题，形如,在归一化条件,能够证明，可转化归结为：,及相应边界条件下求泛函,的极值问题,二方程对比,在归一化条件,有,下，求泛函,的极值问题,所以方程的求解,采用直接方法（,Ritz,方法）求解,令,代入 归一化条件和泛函，得,（如此取形使,x,=0,处,不出现尖点）,算出各积分，得,I,J,两个关于,c,1,，,c,2,的函数为,由,Lagrange,乘子法，取极值的条件为,其中,:,k,=l,b,2,c,1,、,c,2,非零解存在的条件是：,解出,k,的两个解为，,最小本征值为,因,l,=b,2,/,k,将其代入,c,的方程和归一化条件,解出,本例的严格解可由分离变量法得出，结果为,为最小本征值,为相应的本征函数,称为零阶,Bessel,函数，,称为零阶,Bessel,函数的第一个零点。,第一类边值问题,3,边值问题与变分问题的关系,以,Poisson,问题为例来讨论,s,为,t,的边界,取,对,取变分，有,但,由泛函取极值的条件为，,所以相应的欧拉方程为,（前式利用格林第一公式）,并非原,Poisson,边值问题,或,即求解,本征值问题,可归结为在边界条件下,Ju,的极值问题。,也就是说,取泛函,相应的欧拉方程,就是原,Poisson,边值问题的方程,令,若为第二、三类边界条件,二类,h,为零，三类,h,不为零,取变分,类似地有,故,即在边界条件 下,的极值问题,的定解问题可归结为泛函,方程,