概率论课件-第三章 随机向量及其分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章 随机向量及其分布,3.1,随机向量的概念及其分布函数,3.2,二维离散型随机向量,3.3,二维连续型随机向量,3.4,二维随机向量函数的分布,许多随机试验的结果,，需要用,n,(,n,2,),个的随机变量,X,1,X,2,X,n,同时来描述，这,n,个的随机变量一起构成随机向量,(,二维或多维随机向量,),。例如，一次射击的弹着点的平面坐标可看作是二维随机向量,(,X,Y,),；,气象观测站观测每天某整点的天气状况，可将温度、湿度、风力和风向等观测值,可看作多维随机向量,(,X,1,X,2,X,n,),；,又如学生体检时的各项检查指标值可看作多维随机向量,。,由于同一个随机试验结果的各个随机变量之间一般有某种联系，因而需要把这些随机变量作为一个整体,(,即多维随机向量,),来研究。,需要讨论多维随机向量的各个随机变量分量，更需要研究这些分量与多维随机变量整体性质的联系。,从几何角度看，一维随机变量就是第,2,章讨论的随机变量，它可看作是直线,(,一维空间,),上的随机点；二维随机变量可看作是平面,(,二维空间,),上的随机点；三维随机变量可看作三维空间中的随机点。,由一维到多维的讨论会增添许多新问题，但二维与,n,维,(,n,3),没有本质上的区别,。,本章由随机向量的联合分布与边缘分布的一般概念入手，然后重点讨论二维离散型和二维连续型随机向量的联合分布与边缘分布，最后介绍二维随机向量函数的分布。,n,(,n,3),维的情况可以类推。,3.1,随机向量的概念及其分布函数,3.1.1,随机向量的定义和联合分布,定义,3.1.1,设,(,F,P,),为概率空间，如果,X,i,为随机变量,(,i,=1,2,n,),，则称,向量,(,X,1,X,2,X,n,),为,随机向量,。,说明,随机向量,(,X,1,X,2,X,n,),是基本事件空间,到,n,维实数空间,R,n,的一个映射：,即,随机向量是一个取向量值的随机变量的有序集合,。也称,随机向量,为,多维随机变量,。,随机向量的统计特性,(,分布规律,),由随机向量的,联合分布函数,来刻画。,定义,3.1.2,设,(,F,P,),为概率空间，,(,X,1,X,2,X,n,),为其上的随机向量，它的联合分布函数定义为,说明：,分布函数在点,(,x,1,x,2,x,n,),处的值是一个事件的概率，该事件由使得随机向量,(,X,1,(,),X,2,(,),X,n,(,),落入以,(,x,1,x,2,x,n,),为顶点的半无限区域,(,-,x,1,),(,-,x,2,),(,-,x,n,),的,构成。以下定理说明了可用联合分布函数刻画随机向量的统计特性。,定理,3.1.1,设,(,F,P,),为概率空间，随机向量,(,X,1X,2,X,n,),的联合分布函数为 ，则,定理,3.1.1,的,(1)(3),易于理解，对于,(4),以,n,=2,为例证明。,对任意两点,(,x,1,x,2,),(,x,1,+,h,1,x,2,+,h,2,),x,1,x,2,h,1,0,h,2,0,，则,F,(,x,1,+,h,1,x,2,+,h,2,),-,F,(,x,1,+,h,1,x,2,),-,F,(,x,1,x,2,+,h,2,),+,F,(,x,1,x,2,)0,说明随机点落在,(,阴影,),矩形区域里的概率非负。,关于二维随机变,(,X,Y,),的联合分布函数,F,(,x,y,),的说明,：,如果将二维随机变量,(,X,Y),看成是平面上随机点的坐标，则分布函数,F,(,x,y,),在,(,x,y,),处的函数值，就是随机点,(,X,Y,),落在右图所示的以,(,x,y,),为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。,由此，可证明,n,阶差分,定理,3.1.1,中的四条性质称为随机向量分布函数的特征性质。,若有定义于,R,n,上的实函数满足上述四条性质，则能构造一个概率空间,(,F,P,),和其上的随机向量,(,X,1,X,2,X,n,),，使,定理,3.1.1,称为柯尔莫哥洛夫存在定理。,联合分布与边缘分布关系的讨论,：,柯尔莫哥洛夫存在定理告诉我们，随机向量,(,X,1,X,2,X,n,),的联合分布函数 刻画了随机向量的整体统计特性。,根据整体与各个分量的关系，随机向量每个分量的统计特性也应当由其联合分布函数完全刻画。,由于随机变量的具体取值是有限的，可由随机向量,(,n,维随机变量,),的联合分布函数唯一确定,k,维随机变量,(1,ka,时，,当,x,a,时，,同理，可得关于,Y,的边缘密度,显然，,(,x,y,),X,(,x,),Y,(,y,),，由连续随机变量独立的充要条件知，,X,Y,不相互独立。,例,3.3.3,在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到的两个相互独立的信号的时间间隔小于,0.5,秒，则信号将相互干扰。求一分钟内两信号相互干扰的概率。,解,把一分钟取作区间,0,1,，设两信号进入收音机的时刻分别为,X,、,Y,(,单位,:,分钟,),由于,X,和,Y,相互独立，所以,(,X,Y,),的联合概率密度为,例,3.3.4,(,二维正态分布,),若随机向量,(,X,Y,),的概率密度函数为,则称,(,X,Y,),服从参数是,的正态分布，记为,由,(,X,Y,),的联合密度函数计算,X,和,Y,的边缘密度函数；并证明,X,与,Y,相互独立的充要条件是参数,=0,。,由此可见，,二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。,但联合密度中的,取不同数值时，得到不同的二维正态分布，而这些不同的二维正态分布却有相同的边缘密度,X,(,x,),，,Y,(,y,)即边缘密度与,无关,),。这表明，,关于,X,Y,的边缘分布不能确定,(,X,Y,),的联合分布；但联合分布可以唯一地确定边缘分布。,实际上，当,X,Y,相互独立时，边缘分布可唯一地确定联合分布。,证,X,Y,独立的充分性,若,=0,，由,有,x,y,=,X,x,Y,y,，即,X,Y,相互独立。,证,X,Y,独立的必要性,设,X,Y,相互独立，则对任意点,(,x,y,),，,有,f,X,Y,x,y,=,f,X,x,f,Y,y,取,x,=,1,，,y,=,2,，有,是,X,与,Y,的相关系数,定义,(,n,维正态分布,(,非退化情形,),),设,=,(,1,2,n,),T,为,n,阶正定矩阵记,X,=(,x,1,x,2,x,n,),T,若,则称,(,X,1,X,2,X,n,),T,服从,n,维正态分布，记作,X,N,(,),。,实际上，对二维正态分布,3.3.2,二维连续型随机向量的条件概率密度函数,设,(,X,Y,),为二维连续型随机向量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为,f,X,Y,(,x,y,),，,f,X,(,x,),和,f,Y,(,y,),。若,f,X,Y,(,x,y,),和,f,Y,(,y,),连续，则对使,f,Y,(,y,)0,的点,y,，可定义在,Y,=,y,发生的条件下,X,的条件概率密度函数为,对使,f,X,(,x,)0,的点,x,，可定义在,X,=,x,发生的条件下,Y,的条件概率密度函数为,例,设,(,X,Y,),的联合密度函数和边缘密度函数分别为,例,设,X,在区间,(0,1),上服从均匀分布,而当,X,=,x,(0,x,1),时，,Y,在,(,x,1),上服从均匀分布，试求：,(1)(,X,Y,),的联合密度函数,f,(,x,y,),；,(2),关于,Y,的边缘密度；,(3),概率,P(,X,+,Y,1),。,解,X,的密度函数为：,Y,的条件密度函数为：,(1),(2),Y,的边缘密度,y,0,或,y,1,时，,0,y,1,时，,(3),3.4,二维随机向量函数的分布,二维随机向量,(,X,Y,),的函数,Z,=,f,(,X,Y,),一般也是随机向量，其分布的求取是不容易的。它涉及到随机向量的分布类型和函数的复杂程度。,对离散型随机变量仅讨论其,和函数,的分布函数；对连续型随机变量则讨论其和、差、积、商等类函数的分布函数。,3.4.1,离散型随机向量的和函数的分布,设离散随机向量,(,X,Y,),的联合分布为,则和函数,Z,X,Y,的所有可能取值仍为非负数,0,1,2,，其分布列为,例,已知,XP,(,1,),，,YP,(,2,),，且,X,，,Y,相互独立，,求,Z,=,X,+,Y,的分布。,解,因为,XP,(,1,),，,Y P,(,2,),则,Z,=,X,+,Y,的取值为,z,=0,1,2,3,k,3.4.2,连续型随机变量函数的分布,若二维连续随机型向量,(,X,Y,),的联合密度为,f,X,Y,(,x,y,),若随机变量,(,X,Y,),的函数,Z,f,(,X,Y,),，可先求,Z,分布函数,F,Z,(,z,),，再确定,Z,的密度函数,f,Z,(,z,),。,(,式中的积分是由不等式,f,(,x,y,),z,所确定的平面区域。,),连续型随机变量和函数,Z,f,(,X,Y,)=,X,+,Y,的分布函数,F,Z,(,z,),当,X,Y,为独立随机变量时，有,独立的连续型随机变量和函数,Z,X,+,Y,的概率,密度函数：,一般将积分 称为,f,(,x,),与,g,(,x,),的卷积，记作：,卷积可交换，即,f,(,x,),g,(,x,)=,g,(,x,),f,(,x,),。,所以,结论：,两个独立的连续随机变量之和的概率密度是其边缘概率密度,的卷积,。,例,已知,X,Y,独立且同服从标准正态分布，求,Z,=,X,+,Y,的密度函数。,解,一般有,X,1,X,2,独立且,X,1,N,(,1,1,2,),X,2,N,(,2,2,2,),则,X,1,+,X,2,N,(,1,+,2,1,2,+,2,2,),，即,=,1,+,2,2,=,1,2,+,2,2,独立的正态分布随机变量的线性函数仍服从正态分布。,若,X,1,X,2,X,n,相互独立，且,X,i,N,(,i,i,2,)(,i,=1,2,n,)则,Z=,X,1,+,X,2,+,+,X,n,N,(,1,+,2,+,+,n,1,2,+,2,2,+,+,n,2,),更一般地，,若,X,1,X,2,X,n,相互独立，且,X,i,N,(,i,i,2,)(,i,=1,2,n,),，对线性函数,Y,=,a,1,X,1,+,a,2,X,2,+,+,a,n,X,n,+,b,，,(,n,为有限值,),，仍有,Y,N,(,2,),其中,=,a,1,1,+,a,2,2,+,+,a,n,n,+,b,2,=,a,1,1,2,+,a,2,2,2,+,+,a,n,n,2,命题,3.4.1,随机向量,X,=(,X,1,X,2,X,n,),T,服从,n,维正态分布的充要条件是对任,k,=(,k,1,k,2,k,n,),T,R,n,，,k,T,X,服从一维正态分布。,命题,3.4.1,随机向量,X,=(,X,1,X,2,X,n,),T,服从,n,维正态分布，期望向量为,=(,1,2,n,),T,，协方差矩阵为,，则对任意实矩阵,A,m,n,，有,AX,N,(,A,A,A,T,),连续型随机变量的差函数,Z,X,-,Y,的分布函数,F,Z,(,z,),连续型随机变量积的函数,Z,=,XY,的分布函数,连续型随机变量的商函数 的分布函数,M,=,max,(,X,Y,),及,N,=,min,(,X,Y,),的分布,设,X,，,Y,是相互独立的随机变量，其分布函数分别为,F,X,(,x,),和,F,Y,(,y,),，求,M,=,max,(,X,Y,),及,N,=,min,(,X,Y,),的分布函数。,由于,M=,max,(,X,Y,),不大于,z,等价于,X,和,Y,都不大于,z,，故有,P,M,z,=,P,X,z,Y,z,又由于,X,和,Y,相互独立，得,M,=,max,(,X,Y,),的分布函数为,F,max,(,z,)=,P,M,z,=,P,X,z,Y,z,=,P,X,z,P,Y,z,即,F,max,(,z,)=,F,X,(,x,),F,Y,(,y,),类似可求,N,=,min,(,X,Y,),的分布函数为,F,min,(,z,)=,P,N,z1,-,P,N,z,=1,-,P,X,z,Y,z,=1,-,P,X,z,P,Y,z,=1,-,1,-,P,X,z,1,-,P,Y,z,即,F,min,(,z,)=1,-,1,-,F,X,(,x,)1,-,F,Y,(,y,),将以上结果推广到,n,个独立的随机变量的情况,：,设,X,1,X,2,X,n,是,n,个相互独立的随机变量，其分布函数分别为,例,设系统,L,由两个相互独立的子系统,L,1,，,L,2,分别按,(1),串联，,(2),并联，,(3),备用,(,当系统,L,1,损坏时，系统,L,2,开始工作,),，如图所示。设,L,1,，,L,2,的寿命分别为,X,，,Y,，已知它们的概率密度分别为,解,(1),串联情况,由于,L,1,，,L,2,中有一个损坏时，系统,L,就停止工作，所以这时,L,的寿命为,Z,=,min,(,X,Y,),由已知的密度函数，,X,，,Y,的分布函数分别为,(2),并联情况,由于当且仅当,L,1,，,L,2,都损坏时，系统,L,才停止工作，所以这时,L,的寿命为,Z,=,max,(,X,Y,),按,F,max,=,F,X,(,z,),F,Y,(,z,),，得,Z,=,max,(,X,Y,),的分布函数为,(3),备用情况,由于这时系统,L,1,损坏时系统,L,2,才开始工作，因此整个系统,L,的寿命,Z,是,L,1,，,L,2,两者寿命之和，即,Z,=,X,+,Y,按 ，当,z,大于,0,时，,Z,=,X,+,Y,的概率密度为,书面作业,(P65P68),3.1,3.2,3.6,3.8,3.11,3.13,3.16,3.19,