分叉计算的若干问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,分岔计算的若干问题,武际可 (,WU Jike),北京大学力学与工程科学系,Department of Mechanics and Engineering Sciences,Peking University,1,1,前言,2,弧长法与分岔点的判断,3 动力系统分岔的定义,4 非自治动力系统的等价分类,5 同宿(异宿)轨道的寻求,6 求解动力系统的伪弧长法,2,1,前言,3,著名理论物理学家、诺贝尔奖金获奖者费音曼（,Richard Phillips Feynmann,1918,1988）,在他的物理学讲义（,Lectures on Physics,）,中的一段话：,“,我们已经写下水流的方程，用实验的方法，我们发现了一系列用于理解的近似概念涡街、湍流尾迹、边界层。如果我们有稍许不同形式的类似方程，而且我们没有法子对这方程作实验，我想以哪怕是原始的、可怀疑的、含混的方式去求解这一方程，以求确定数量性态或数量结果。例如，我们的方程是对于太阳，把它看为无太阳黑子、表面无硬块的结构、没有凸凹不平的氢气球。尽管作了这样的简化，我们仍然还未找到求解的方法。,。人类智慧觉醒的下一世纪，也许可能产生了解方程定量含义的新方法。,”,Richard Phillips Feynmann,1918,1988,4分岔是非常普遍的现象。,分岔是系统两种性质上不同的状态转变点。,掌握系统的分岔点对把握系统的性质和行为非常重要。,分岔问题是实质非线性问题。,分岔的研究目前引起所有的可以精确化的科学的共同兴趣。,5,中青海省桥头发电厂六期扩建工程施工现场1998年,9,月19日上午发生一起重大伤亡,事故,，一座正在修建中的,冷却塔,在修至20米高处时，用于浇筑混凝土的钢模板突然全部坍塌脱落，致使正在施工的数十名工人全部从空中跌落下来，造成4人死亡，52人受伤。目前，,事故,原因正在调查中。图为,事故,现场。,6,中新社深圳2000年十一月二十八日电：正在施工中的深圳盐坝高速公路起点高架引桥昨晚九时左右突然坍塌，在桥面作业的六十九名工人随桥面滚落坠下，截至今天凌晨一时三十分，所有人员均被救出，三十三人被送医院急救，其中十人重伤，二十三人轻伤。图为桥梁倒塌现场(陈文 摄)。初步认定事故是因技术问题造成建桥支架失稳引发的。,7,空穴的萌生,假设 ，即弹性球的内半径趋于零。并且考虑，即在某个,p,作用下空穴半径从零突然增加到非零。在这样的条件下解有关方程，就会得到空穴萌生的条件。我们对这个问题进行了分析求解，并且对相应的分析表达式进行了数值计算，对于不同的值和不同的,v,值，得到值的结果表示在图上。从图上可以看出，当,时，趋于一个确定的值。这种情况正好是空穴从半径为零突然产生的临界情形。,a,b,8,2 弧长法与分岔点的判断,1.武际可，苏先樾.弹性系统的稳定性,科学出版社,1994.,2.周 鲲.动力系统,Hopf,分岔的数值计算及应用,硕士论文.,3.武际可,黄克服.分岔的数值方法,待出版.,9,用伪弧长法追踪非线性方程组的解曲线,：对于有限维静力状态方程，若记 ，忽略状态变量和参变量的差别，则原来方程改变为,：,而且已知有一点 是满足（1）的。,10,对(1)微分得,若令,若记,11,这里,表示划去该列.显然,引进弧长,这个辅助参数,并定义,空间中一维曲线的弧长由,来确定。,12,因而,是(1)式解曲线,的切向量,是其单位切向量.于是(1)式的求,解可以化归为求解,类似地,可将上式转化为常微分方程的,Cauchy,问题：,13,数值求解(2)式的最简单方式是,Euler,预报法，在求解过程中每前进一步或若干步后，可以做,Newton,型迭代修正，联合使用这两种方法，就形成了追踪解流形的一种有效算法，即预报修正法过程的延续算法。,(2),14,考虑动力系统,是它的平衡解即,对给定的动力系统作微小扰动,u,有,把上面的两个式子相减就可以得到,如果,u,有非零解，就说 是动力系统的分岔点,15,判断和确定解曲线上的分岔点:,为了寻求一种适于高维,问题的算法来判断和确定分岔点，我们可以引进一个变换：,矩阵,A,B,的特征值具有如下关系：,它将,A,的特征值所在复平面上的虚轴映射成了B,的特征值所在复平面上的特征圆.,16,因此,在初始状态(稳定状态),的特征值在复平面 的左半,平面上,而对应的,的特征值均在复平面的单位圆内.这样,通过,变换将寻求系统的分岔点的问题转化为用乘幂法（文献1）求矩阵,的具最大模的共轭复特征值的问题.如果我们搜索出具有最大,模,的点并能进一步判断,即对应,，则无疑,之,对应的点,就是静分岔点；否,则为,Hopf,分岔点。由于在实际计算中很难恰有,因此我们需要借助于变号法来搜索解曲线上的分岔点。,1.武际可，苏先樾.弹性系统的稳定性,科学出版社,1994.,17,分叉，即当,时的数值分析方法。根据定理,5.5.1(文献1),可以把求分,岔,方向化为线性特征值问题,其中，,是,的单位正交基底。,(3).,分岔方向的寻求,：对于静分岔方向的寻求，这里仅给出简单,18,首先要求出,的两个单位向量 ，,为了避免求向量,的微分，取适当小的正数,，计算,矩阵,19,对应的非零、单重实特征根的特征向量,就确定了近似,的分岔方向,对于多重分岔情形，文献1也给出具体的追踪方法。,当探寻到,Hopf,分岔点后，就需要追踪出周期性的闭轨。设闭,轨是,空间中的一封闭曲线,这里,是曲线弧长。,我们对,x(s),采用,m,个等距分点的,Hermite,插值，就会的戴一组非线性方程组。,这样.我们把追踪极限环这一动态问题转化为一个静态问题,而后者利用伪弧长算法可以毫无困难地进行.,于是线性特征值问题,20,若干算例,利用弧长法可以没有困难地计算材料软化、塑性流动曲屈后行为等一系列以前认为困难的问题。,悬臂槽钢的弯曲,21,栱的大变形,22,23,3 动力系统分岔的定义,24,其相应的平衡方程为,定义1,.令,是系统(4)的一个不动点，且矩阵,没有纯虚的特征值.如果在,的任意邻域内都存在异于,的两个不同的解,和,，且在这两点的稳定流行的维数，,则称,是(4)的静分岔点。,对于分岔问题，尽管人们十分关心，也已经研究了许多年，但是对于它的定义却没有认真地推敲。就以平衡解的分岔来说，就有两种不同的定义。,考虑动力系统,25,的两个不同的解,定义2.令,是系统3)的一个零解，且矩阵,没有纯虚的特征值.如果在,的任意邻域内都存在异于,和,，则称,是(3)的静分岔点。,我们在7、8中证明了在如下条件，即,：,是系统(3),的孤立奇点，0是矩阵,的单重特征值，以上两个定义是,等价的.但是当有重特征值是可以是不等价的,并且给出了反例.,定义3.如果存在,的某个点,，对于任给的,存在不同的,和,，使,而且对应(3)有两个不同的解,，即：,7 周鲲，武际可，谈谈分岔的定义，非线性动力学学报，,Vol.2,No.3,p.264-269,8 K.Zhou,J.K.Wu,On the definitions of bifurcation,International Journal of Bifurcation and Chaos,Vol.7,No.8,(1997),26,分别属于不同的等价类,则称,为(3)的一个分岔点.,在这个定义中，我们把动力系统的分岔同它的等价类相联系，,不同的等价类定义就有不同的分岔。,如果解,27,4,非自治线性动力系统,的等价类,5.Wu jike,Huang Kefu,Lin Wenhui,On the equivalence,of linear non-autonomous systems,Progress in,natural science,Vol.11,No.3,p.184-191,28,定义4,设在空间的区域,U给了两个动力系统,它们相应的流是,如果我们给了在两个动力系统的变量,x,和,y,之间的一类变换,H，,在,H,中,存在一个变换,在这个变换下，(5)和（6）或（5,）,和(6)具有相同的形式，,则称,两个动力系统在变换,H,下是等价的。,29,我们知道，对于线性自治系统,如果矩阵,A,没有实部为零的特征值，且有,个正实部特征值，,个负实部特征值,，则(8)等价于,这里,30,对于非自治系统,我们最近证明了如下的结果：,在非自治系统（,10,）中，若矩阵,A(t),和它的逆矩阵都连续且有界，它的特征值的实部有,个恒大于一,个正实数，有,个恒小于一个负实数,.而且,它的全部特征值满足如下条件：如果存在正常数,，,满足：,使对于充分大,的,或者,则（10）拓扑等价于(,9)。,31,的一个解是,，对这个解做小扰动,代入原方程得,把这两个方程相减，并且对右端的,线性化，就会得到一个关,于,的线性非自治系统:,在有了关于线性非自治系统等价类的结果以后，我们还可以讨论,动力系统的一个具体的解是否是分岔解。设动力系统,32,的分岔定义，如果解,有分岔点，我们就可以说,是一个分岔解。,仿照定义,4,可以给出关于,33,5 同宿(异宿)轨道的寻求,34,的一个以,T,为周期的闭轨,如果我们能够判断在相应的闭轨(12)上有一个（或多个）奇点,即,则这个闭轨就是同宿（或异宿）轨。,一般认为，同宿和异宿轨道的出现是动力系统从规则运动转化为混沌的通道。所以确定动力系统在什么条件下出现同宿和异宿轨道，对于讨论系统向混沌运动的转化具有十分重要的意义。,设我们已经追踪到动力系统,35,令,为闭轨上的点，,为奇点，把(13)在,展开，就得到,对上式补充一个方程,在上面,个方程中，,是非零向量，所以系数行列,式必然满足：,36,再代入(14)就可以得到,于是就可以判断,是否在闭轨上，从而确定已知的闭轨是否是同,宿(异宿)轨。,上面的求解过程是在参数,给定的条件下来求解的。所得到,的奇点,不一定在闭轨上，也不一定唯一。但是我们可以大致了解,奇点与闭轨的位置随,变化情况从而确定闭轨上奇点对应的,下面接着讨论在,变化的条件下确定同宿异宿轨的方法，令,为闭轨上的点，,对应于同宿(异宿)轨上的奇点,把,(13)在,点,展开，就得到,对上式求解就可以得到闭轨上的,37,对上式补充两个方程,在上面,个方程中，,是非零向量，所以,系数行列式必然满足,：,38,闭轨上的,再代入（12）就可以得到,于是就可以判断,是否在闭轨上，从而确定是否达到了同宿,(异宿)轨。,把上式与追踪闭轨的弧长方程联立求解就可以得到对应于,39,6,求解动力系统的伪弧长法,40,这里,文献1已经详细讨论了对于求解静力问题的弧长法。至于对动力问题，即带时间的微分方程的求解，有时引进弧长可以克服许多困难，使本来难于求解的问题变得容易。现在就来介绍我们在9中发展的弧长法。,考虑一个常微分方程组的初值问题,9,武际可，许为厚，丁红丽，求微分方程初值问题的一种弧长法，应用数学与力学，,Vol.20,No.8,p.875-880,41,令,s,为一个弧长参数，并且设,，则我们有,由这些方程，我们可以得到,令上式中的最左边的括号内的项为1，亦即,42,则（20）就可以写为,亦即,考虑到上式，（19）就可以写为,43,如果引进,维的向量,并且把上式右端项记为,维的向量,则方程（18）连同它的初条件可以统一记为,显然上面的初值问题是和（18）等价的。因此求解（18）的问题,经过这一引进弧长的变换改为求解初值问题（23）。,44,当问题(18)的右端项十分大时，即它的未知向量随时间的变化率特别大时，甚至发生间断时，按照(18)数值求解可能导致失败，而按照(23)来数值求解则是轻而易举的事。至于对(23)的求解，可以使用通常的,Runge-Kutta,方法。,例：,一个在刚性微分方程求解上的应用例子。,所谓刚性微分方程，是动力系统的方程的右端项比起它的导数项来说非常大，或者说它的左端导数项上有一个小参数。这类问题一直是微分方程数值求解中有很大困难的问题。下面我们举一个在文献10讨论过的一个非线性的例子，这是一个,Van der Pol,方程：,问题(23)的好处在于它的向量场,在非零向量点都是单位长.,45,方程中,令,并且令,把它代入(24)仍把,z,换作,y,就得到一个典型的刚性方程组：,初条件是,在文献10中(24)直接以隐式,Runge-Kutta,法求解，其结果示于,图1上，这个结果只能说明这个问题的求解是十分复杂的，其结,果没有多大参考意义。,46,图1 在文献10中计算（24）所得的结果,10E.Hairer,等，,Solving ordinary differential equations II,Stiff and differential-algebraic problems,Springer-Verlag,1991。,47,我们用本节叙述的弧长法求解了这个问题，结果表明，这个变换是十分有效的。我们用了弧长,s,算得增量步为0.001，共计算了10000步。后5000步的计算结果表示在图2上。曲线的尾部振荡（,c）,表明系统有一个极限环而系统的运动趋于极限环。,48,图2 利用,本节介绍的,弧长法求解,(24)所得的结,果,在10000,步中的后5000,步的结果。,49,图2(,B),对应于图1部分的计算结果。,50,图2(,C),10000步结束部分的结果。,51,我们还把弧长法用于求解偏微分方程，对于那些具有间断解的偏微分方程特别有效。文献9还举了一个对,Burgers,方程的求解算例以说明方法的有效性。,如果(18)是一个自治系统，即它的右端项不含时间,t，,则我们就不必考虑时间,t,是弧长,s,的函数，这时在方程(19)中略去,由此可以得到相应于（20）的方程为,52,如果我们令上式中的最左边的括号内的项为1，亦即,则（26）就可以写为,亦即,考虑到上式，（22）就可以写为,53,如果引进,维向量,并且把上式这点右端项记为,维向量:,54,则方程（28）连同它的初条件可以统一记为,所以对于自治系统来说，整个求解的过程可以分解为两步走。即先,对向量,求解为弧长,s,的向量函数，再对弧长求解时间,t,的函数。,55,参考文献,1.武际可，苏先樾.弹性系统的稳定性,科学出版社,1994.,2.周 鲲.动力系统,Hopf,分岔的数值计算及应用,硕士论文.,3.武际可,黄克服.分岔的数值方法,待出版.,4.武际可，黄克服，关于线性动力系统的数值追踪，非线性,动力学学报，,Vol.No.2,p.105-109,5.Wu jike,Huang Kefu,Lin Wenhui,On the equivalence,of linear non-autonomous systems,Progress in,natural science,Vol.11,No.3,p.184-191,武际可,关于非线性科学和分岔,太原工业大学校庆文集，1993，24：,Vol.4044,，N0.5，p577584,，1996.9。,7 周鲲，武际可，谈谈分岔的定义，非线性动力学学报，,Vol.2No.3,p.264-269,8 K.Zhou,J.K.Wu,On the definitions of bifurcation,International Journal of Bifurcation and Chaos,Vol.7,No.8,(1997),9,武际可，许为厚，丁红丽，求微分方程初值问题的一种弧长法，应用数学与力学，,Vol.20,No.8,p.875-880,10E.Hairer,等，,Solving ordinary differential equations II,Stiff and differential-algebraic problems,Springer-Verlag,1991。,56,谢谢大家,57,