1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,无穷级数,*,第九章 无穷级数,第一节 数项级数的基本概念及其性质,第二节 正项级数及其审敛法,第三节 任意项级数,第四节 幂级数,第五节 函数展开成幂级数,第六节 级数的应用,目 录,上一页,目录,下一页,退 出,一、函数项级数的一般概念,1.,定义,:,第四节 幂级数,2.,收敛点与收敛域,:,函数项级数的部分和,余项,(,x,在收敛域上,),注意,函数项级数在某点,x,的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题,.,3.,和函数,:,(,定义域是,?),例,1,试求函数项,级数的收敛域,.,解因为,s,n,(
2、x,)=1+,x,+,x,2,+,+,x,n,=,所以，当,|,x,|,1,时，,易知，当,|,x,|,1,时，级数发散故级数的收敛域为,(-1,，,1),解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛,.,原级数发散,.,收敛,;,发散,;,二、幂级数及其收敛性,1.,定义,:,2.,收敛性,:,证明,由,(1),结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义,:,正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,幂级数的收敛区间加上收敛的端点称为幂级数的,收敛域,.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径,?,证明,由比值审敛法,定理证毕,.,例,3,求下列幂级数的收敛域,:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛域为,(0,1.,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为,三、幂级数的运算,1.,代数运算性质,:,(1),加减法,(其中,(2),乘法,(其中,2.,和函数的分析运算性质,:,(,收敛半径不变,),(,收敛半径不变,),解,两边积分得,n,很讨厌啊,解,解,收敛区间,(-1,1),四、小结,2.,幂级数的收敛性,:,收敛半径,R,3.,幂级数的运算,:,分析运算性质,1.,函数项级数的概念,:,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思考题解答,不一定,.,例,它们的收敛半径都是,1,但它们的收敛域各是,
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