必修四任意角的概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,必修四,第一章,三角函数,1.1.1,任意角的概念,1,、角的概念,初中是如何定义角的？,从一个点出发引出的,两条射线,构成的几何图形,.,角也可以看成是由,一条射线绕着它的端点旋转,而成的。,初中学过的角的范围是：,0,至,360,。,然而,生活中有很多实例的角会不在该范围：,体操运动员转体,720,（即“转体,2,周”），跳水运动员向内、向外转体,1080,（“转体,3,周”）,；,经过,1,小时，时针、分针、秒针各转了多少度？,这些例子中有的角不仅不在范围：,0,至,360,，而且,方向不同,，有必要,将角的概念,推广,到,任意角,，那么用什么办法才能推广到,任意角,？,关键是用,运动的观点,来看待角的变化。,2,角的概念的推广,“,旋转,”形成角,如图：一条射线由原来的位置,OA,，绕着它的端点,O,按,逆时针方向旋转,到另一位置,OB,，就形成角,旋转开始,时的,射线,OA,叫做角,的,始边,，,旋转终止,的,射线,OB,叫做角,的,终边,，射线的,端点,O,叫做角,的,顶点,“正角”与“负角”、“零角”,我们规定：,按,逆时针,方向旋转,所形成的角叫做,正角,，,按,顺时针,方向旋转,所形成的角叫做,负角,，如图，以,OA,为始边的角,=210,，,=,150,，,=660,，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做,零角,即,零度角,（,0,）此时零角的始边与终边重合。,角的记法：,角,或可以简记成,，或简记为,.,如,=-150,0,，,=0,0,，,=660,0,等等,角的概念扩展的意义：,用“旋转”定义角之后，,角的范围,大大地,扩大,了,角有正负之分,;,如：,=210,=,150,=660,.,角可以任意大,;,实例：体操动作：旋转,2,周（,360,2=720,）,3,周（,360,3=1080,）,还有零角,一条射线，没有旋转,.,角的概念推广以后，它包括,任意大小的正角、负角和零角,要注意，正角和负角是表示具有,相反意义,的,旋转量,，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样,用旋转来描述角，需要注意三个要素：,旋转中心、旋转方向和旋转量,（,2,）旋转方向：旋转变换的方向分为,逆时针和顺时针,两种，这是一对,意义相反的量,，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；,（,1,）旋转中心：作为角的顶点,.,（,3,）旋转量：,当旋转超过一周时，旋转量即超过,360,，角度的绝对值可大于,360.,于是就会出现,720,，,540,等角度,.,旋转方向决定角的符号，旋转量决定角的大小。,3,象限角,为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。,角的顶点重合于,坐标原点,，角的,始边,重合于,x,轴的非负半轴,，这样一来，角的,终边,落在第几象限，我们就说这个角是,第几象限的角。,（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：,轴线角,）,例如：,30,、,390,、,330,是第一象限角，,300,、,60,是第四象限角，,585,、,1300,是第三象限角，,135,、,2000,是第二象限角等,4,终边相同的角,观察：,390,，,330,角，它们的终边都与,30,角的终边相同,.,探究：,终边相同的角都可以表示此角与,k,个周角的和,：,k,Z,390,=30,+360,(,k,=1),330,=30,360,(,k,=,1),30,=30,+0360,(,k,=0),1470,=30,+4360,(,k,=4),1770,=30,5360,(,k,=,5),结论：,所有与,终边相同的角,连同,在内可以构成一个,集合,：,|,=+k,360,，,k,Z,即：,任何一个与角,终边相同的角，都可以表示成,与整数个周角的和,的形式,。,注意以下四点：,k,Z,，,k,0,表示逆时针旋转，,k,0,表示顺时针旋转,.,是任意角；,k,360,与,之间是“,+”,号，如,k,360,30,应看成,(,30)+,k,360,；,终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差,360,的整数倍,.,所有与,终边相同的角连同,在内可以构成一个,集合,：,|,=+k,360,，,k,Z,即：任何一个与角,终边相同的角，都可以表示成,角,与整数个周角的和。,例,1.,在,0360,范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角,.,(1),120,；,(2)640,；,(3),95012,.,解：,120=240,+,（,1,）,360,，,120,的角与,240,的角终边相同，,它是第三象限角,640=280+1,360,，,640,的角与,280,的角终边相同，,它是第四象限角,即：,0,0,360,0,),解：95012=12948,+,（,3,）,360,，,95012,的角与,12948,的角终边相同，它是第二象限角,(3),95012.,例,1.,在,0360,范围内，找出与下列各角终边相同的角，,并判断它是哪个象限的角,.,例,2.,写出与下列各角终边相同的角的集合,S,，并把,S,中在,360720,间的角写出来：,(1)60,；,(2),21,；,(3)36314,.,解：,(1),S,=,|,=,60+,k,360,，,k,Z,S,中在,360,720,间的角是,0360+60=60,；,1360+60=,300,；,1360+60=420,(2),S,=,|,=,21,+,k,360,，,k,Z,S,中在,360,720,间的角是,0360,21=,21,；,1360,21=339,；,2360,21=699,(3)S=,|,=,36314,+k,360,，,k,Z,S,中在,360,720,间的角是,0360+36314=36314,；,1360+36314=314,；,2360+36314=,35646,例,2.,写出与下列各角终边相同的角的集合,S,，并把,S,中在,360720,间的角写出来：,(1)60,；,(2),21,；,(3)36314.,例,3,写出终边分别落在四个象限的角的集合,.,终边落在坐标轴上的情形,x,y,o,0,90,180,270,+,K360,+,K,360,+,K,360,+,K,360,或,360+,K,360,第一象限的角表示为,|k,360,90,+k,360,k,Z,；,第二象限的角表示为,|90,+k,360,180,+k,360,，,k,Z,；,第三象限的角表示为,|180,+k,360,270,+k,360,，,k,Z,第四象限的角表示为,|270,+k,360,360,+k,360,，,k,Z,例,4,、,写出终边落在,y,轴上的角的集合,.,x,y,o,0,90,180,270,+,K,360,+,K,360,+,K,360,+,K,360,例,4,解：,终边落在,轴,非负,半轴和非正半轴上的角的集合分别记为为,S1,，,S2,S1=,|,=90,+K360,KZ,S2=,|,=270+K360,KZ,=,|,=90+,180+K,360,K,Z,=,|,=90+,（,2K+1,）,180,，,KZ,即：,S2=,|,=90+180,的,奇,数倍,同理,S1=,|,=90+180,的,偶,数倍,终边落在,轴,上的角的集合为,S=S1S2,S=,|,=90+K 180,，,KZ,课堂练习,1,锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于,90,的角是锐角吗？区间,(0,90),内的角是锐角吗？,答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于,90,的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间,(0,90),内的角是锐角,2,已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在,x,轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？,(1)420,，,(2),75,，,(3)855,，,(4),510,答：,(1),第一象限角；,(2),第四象限角，,(3),第二象限角，,(4),第三象限角,.,3,、已知,角的终边相同，那么,的终边在（）,A,x,轴的非负半轴上,B,y,轴的非负半轴上,C,x,轴的非正半轴上,D,y,轴的非正半轴上,A,4,、终边与坐标轴重合的角的集合是（）,A,|,=k,360(,k,Z,),B,|,=k,180(,k,Z,),C,|,=k,90(,k,Z,)D,|,=k,180+90(,k,Z,),C,5,、已知角,2,的终边在,x,轴的上方，那么,是,(),A,第一象限角,B,第一、二象限角,C,第一、三象限角,D,第一、四象限角,C,6,、若,是第四象限角，则,180,是（）,A,第一象限角,B,第二象限角,C,第三象限角,D,第四象限角,C,7,、在直角坐标系中，若,与,终边互相垂直，那么,与,之间的关系是（）,A.,=,+90,o,B,=,90,o,C,=,k,360,o,+90,o,+,k,Z,D,=,k,360,o,90,o,+,k,Z,D,8,、若,90,135,，则,的范围是,_,，,+,的范围是,_;,(0,45),(180,270),9,、若,的终边与,60,角的终边相同，那么在,0,360,）范围内，终边与角 的终边相同的角为,_;,解：,=k,360+60,，,k,Z,.,所以,=,k,120+20,，,k,Z,.,当,k,=0,时，得角为,20,，,当,k,=1,时，得角为,140,，,当,k,=2,时，得角为,260.,