多项式插值唯一性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多项式插值的存在唯一性,拉格朗日插值,牛顿插值,埃米特插值与三次样条,数据拟合的线性模型,两种典型的正交多项式,数值分析,习题课,III,若插值结点,x,0,x,1,x,n,是,(,n,+1),个互异点,则满足,插值条件,P,(,x,k,)=,y,k,(,k,=0,1,n,),的,n,次插值多项式,P,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,n,x,n,存在而且惟一,。,多项式插值的存在唯一性定理,Laglarge,插值公式,插值基,(,k=,0,1,2,n,),2/18,插值,误差余项,其中,线性插值误差,:,二次插值,误差,:,思考:构造线性插值函数计算115的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有效数位数,。,3/18,已知,x,0,x,1,x,n,处的值,f,(,x,0,),f,(,x,1,),f,(,x,n,).,(,j=,0,1,n-1,),(,j=,0,1,n,-2,),均差的,定义,牛顿插值公式,(,k,=1,2,n,),思考:证明一阶差商的对称性：,f,x,0,，,x,1,=,f,x,1,，,x,0,，,进一步证明二阶差商的对称性。,4/18,牛顿插值余项,(,j=,0,1),三,次,Hermite,插值,5/18,给定,a,b,的分划,:,a=x,0,x,1,x,n,=b,.,已知,f,(,x,j,)=,y,j,(,j=,0,1,n,),如果,满足,:(1),S,(,x,),在,x,j,，,x,j,+,1,上为三次多项式,;,(2),S”,(,x,),在区间,a,，,b,上连续,;,(3),S,(,x,j,)=,y,j,(,j=,0,1,n,).,则称,S,(,x,),为三次样条插值函数,.,三次样条的,定义,6/18,(,j,=1,2,n-1),自然边界条件,三次样条,一阶导数值,:,S,(,x,j,)=,m,j,(,j=,0,1,n,),三次样条,二阶导数值,:,S”,(,x,j,)=,M,j,(,j=,0,1,n,),j=,1,n,1,自然边界条件,:M,0,=0,M,n,=,0,7/18,拟合函数,:,(,x,)=,a,0,0,(,x,),+,a,1,1,(,x,),+,a,n,n,(,x,),数据拟合的线性模型,离散数据,x,x,1,x,2,x,m,f,(,x,),y,1,y,2,y,m,超定,方程组,超定,方程组最小二乘解,:,8/18,对连续函数,f,(,x,),的正交多项式平方逼近,其中,Ex1.,设,x,0,，,x,1,，,x,n,是互异的插值结点,，,l,0,(,x,),为对应于,x,0,的拉格朗日插值基函数，试证明,9/18,Ex2.,设,x,0,x,1,x,2,x,n,为互异的结点,求证,Lagrange,插值基函数满足下列恒等式,(1),(2),(,k=,1,n,),证,:(1),令,在插值结点处,P,n,(,x,j,)=0,(,j=,0,1,2,n,),n,次多项式,P,n,(,x,),有,n,+1,个相异零点,P,n,(,x,)=0,10/18,所以,将,f,(,x,)=,x,k,(,k,n,),代入,得,(,k,=0,1,2,n,),思考题,:,f,(,x,),是,(,n+,1),次多项式且最高次项系数,为,1,，,取互异的插值结点,x,0,，,x,1,，,x,n,，,构造插值多项式,P,n,(,x,),，,证明,：,f,(,x,)=,P,n,(,x,)+(,x x,0,)(,x x,1,),(,x,x,n,),(2),取,f,(,x,)=,x,k,f,(,n+,1),(,x,)=0,R,n,(,x,)=0,11/18,Ex4.,设,x,0,x,1,x,2,，,从函数表,x x,0,x,1,x,2,f,(,x,),y,0,y,1,y,2,出发,利用,f,(,x,),的二次拉格朗日插值多项式,L,2,(,x,),推导出求,f,(,x,),的极值点,x,*,的近似值计算公式,.,Ex3.,设,P,(,x,),是不超过,n,次的多项式,而,n+,1,(,x,)=(,x x,0,)(,x x,1,)(,x,x,n,),证明存在常数,A,k,(,k=,0,，,1,，,n,),使得,12/18,Ex5设有数列,:,x,1,x,2,x,n,(1).,证明平方和数列,为,3,阶等差数列,证明,:(1),S,n,=n,2,2,S,n,=n,2,(,n-,1),2,=2,n-,1,3,S,n,=,(,2n-,1)-(2,n-,3)=2,故,平方和数列为,3,阶等差数列,.,(2).,证明,则,(2),令,g,(,n,)=,n,(,n,+1)(2,n,+1)/6,13/18,同理,(,k=,1,2,n,),显然,14/18,证明,:,F,x,0,x,1,x,n,=,Ex6.,记,n+,1,(,x,)=(,x x,0,)(,x x,1,)(,x,x,n,),(,j=,1,2,n,),对比,Lagrange,插值和,Newton,插值中,x,n,的系数,得,F,x,0,x,1,x,n,=,15/18,Ex7.,2,次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件,：,f,(,x,0,)=,y,0,，,f,(,x,1,)=,m,1,，,f,(,x,2,)=,y,2,，,插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解,。,思考,:,构造带导数条件的二次插值多项式公式,f,(0)=,y,0,，,f,(1)=,y,1,，,f,(0)=,m,0,；,16/18,解:设,H,(,x,)=,a,0,+,a,1,x+a,2,x,2,H,(,x,)=,a,1,+2,a,2,x,Ex8.,如果,x,a,b,t,-1,1,(1),证明联系两个区间的映射为,(2),对于,t,-1,1,上的,二次正交多项式,将其,转换为,x,a,b,上的二次,正交多项式,17/18,Ex9.,一个量,x,被测量了,n,次,其结果是,a,1,a,2,a,n,.,用最小二乘法解超定方程组,x=,a,j,(,j=,1,2,n),x,的值为多少,？,Ex10.,给定,五个观测值,y,j,(,j=k,2,，,k,1,，,k,，,k+,1,，,k+,2,),构造五点二次拟合函数（抛物线方程,）,P,(,t,)=,a,0,+,a,1,t+a,2,t,2,18/18,