大学数学函数的连续性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的连续性,(continuity),气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是,函数的连续性,。,当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为,连续性,。,连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。,自变量的增量,函数的增量,增量的概念,定义,1,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,的某一邻域内有定义，,在区间,(a,b),上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,若在该区间左右端点处连续,称函数是闭区间上的连续函数。,x,y,o,如果函数,y=,f(x,),在,x,0,点连续,则必须,同时,满足下列三个条件：,(1),f(x,),在,x,0,的某个邻域内有定义,极限值 存在,极限值与函数值 相等,定义,2,设函数,y=f,(,x,),在点,x,0,的某一邻域内有定义，如果当自变,量的增量,x,=,x,-,x,0,趋于零时，对应的函数的增量,y,=,f,(,x,0,+,x,)-,f,(,x,0,),也趋于零，,即,那末就称函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,连续,.,连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线,.,函数在一点处连续的本质特征：,当自变量改变很微小时，,函数值变化也很微小,连续性举例,1.,讨论绝对值函数在,x=0,处的连续性,.,解 因为,所以,所以绝对值函数在,x=0,处连续,2.,作为例子我们来证明函数,y,=,sin,x,在区间 内是连续的,由,三角公式有,一般地,证明一个函数在某个区间内连续时,宜使用等价定,义式,;,若要证明函数在某点处连续,则宜使用原定,义式,.,3.,设有函数,问 为何值时,函数,在 点连续,?,解,因为,要使函数在 点连续,则应有,所以,函数的间断点,discontinuity,x,y,o,1,2,3,4,1,2,Discontinuity at,x,=1 and,x,=2,若函数 有下列,三种情形之一则称函数 在点 处不连续，点 称为函数 的,间断点,。,不连续点,即为间断点,可去间断点,(1),第一类,点,x,=1,是函数,f,(x),的,可去间断点,x,y,o,1,1/2,1,函数的,间断点的类型,可去间断点,(2),第一类,函数的,间断点的类型,例如,但 不存在,点 称为函数的,可去间断点。,1,跳跃间断点,第一类,y,x,o,点,x,=0,是函数,f,(x),的,跳跃间断点,。,函数的,间断点的类型,函数的,间断点的类型,无穷间断点,第二类,振荡间断点,第二类,点,x,=0,是函数,f,(x),的,振荡间断点,。,函数的,间断点的类型,1,-1,解,这是一个初等函数，其定义域为,找出函数 的间断点，并判别其类型。,而,所以，,x,=1,是函数的,第一类,的,可去间断点,；,x,=2,是函数的,第二类,的,无穷间断点,。,不存在,而,例题,设,求函数的间断点，并判别其类型。,解,由 的定义可知，函数在 内连续,而,所以，,x=1,是函数的第二类间断点,(,无穷间断点,),，,x=0,是函数的第一类间断点,(,跳跃间断点,),。,求 的值，使函数在点 处连续。,例题,解,由连续性的定义可知，要使函数在,x=0,点连续，则应有,而,连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值，即极限号,lim,与函数号,f,可以交换次序。,连续函数求极限法则,例如,一、连续函数的和、差、积、商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,例,反三角函数在其定义域内皆连续,.,定理,1,单调连续函数的反函数仍是单调连续函数。即,例,定理,2,连续函数的复合函数仍是连续函数。即,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,(,均在其定义域内连续,),基本初等函数在定义域内是连续的,.,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的,.,初等函数求极限的方法代入法,.,例,1,解,例,2,解,例,3,解,例,4,求,解,如果函数,f,(,x,),在开区间,(a,b),内连续,在右端点,b,左连续,在左端点,a,右连续,那么函数,f,(,x,),就是在闭区间,a,b,上连续的,定义,闭区间连续函数的性质,最值定理（,The max-min theorem,）,a,b,x,y,o,在区间内部取得最大值和最小值,y,a,b,x,o,在区间端点取得最大值,在,闭区间,a,b,上,连续的函数,一定能取得它的最大值和最小值。,说明：可在,区间内部,取得最值，也可在,区间端点,取得最值。,注意,:,1.,若区间是开区间,定理不一定成立,;,2.,若区间内有间断点,定理不一定成立,.,介值定理,The intermediate value theorem,设函数,在闭区间,a,b,上连续，且在这区间的端点取不同的,为介于,与,之间的任意,则在开区间,(,a,b,),，,函数值,一个数，即,内至少有一点，使得,根的存在定理,设函数,f,(x),在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),与,f,(,b,),异号,那末，在,开区间（,a,b,）,内,至少存在一点,，,使得,o,几何解释,:,例题,证,由,零点定理,由,零点定理,可知，原方程在,-1,，,5,内必有根。,解,又,练习,