第65讲空间角及其计算.ppt

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盗版必究,新课标高中一轮总复习,第九单元,直线、平面、简单几何体和空间向量,第,65,讲,空间角及其计算,1.,理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,.,2.,掌握求空间角的基本方法及空间角向平面角的转化技巧,.,3.,培养依据不同问题情境选择传统的构造法或向量法计算空间角的思维习惯,.,4.,培养学生的转化化归思想和数形结合思想,提高学生的空间想象能力,.,1.,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,1,、,F,1,分别是棱,A,1,B,1,、,C,1,D,1,上的点,且,B,1,E,1,=,D,1,F,1,=,则,BE,1,与,DF,1,所成角的余弦值为,(),B,A.B.,C.D.,在,A,1,B,1,上取一点,G,并使,A,1,G,=,连接,AG,再在,AB,上取一点,H,，连接,GH,.,则,AGH,为异面直线,BE,1,与,DF,1,所成的角,.,不妨设,A,1,B,1,=4,，,则,AG,=,GH,=.,所以在,AGH,中，,cos,AGH,=,=.,2.,在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的,2,倍，则二面角的度数为,.,30,如图，过点,C,作平面,的垂线，垂足为,D,，过,D,作,DE,垂直,AB,于,E,，连接,CE,.,由三垂线定理得,CED,为,-,AB,-,的平面角,.,由题意可知,CED,=30.,3.,已知正四棱锥,S,-,ABCD,中，,SA,=,AB,=,a,则侧棱与底面所成角的大小为,.,45,如图，由,S,作,SO,平面,ABCD,则,O,是正方形,ABCD,的中心，,AO,是,SA,在平面,ABCD,上的射影，,所以,SAO,为侧棱与底面所成的角,.,又在,ABO,中，易得,AO,=,a,所以,SAO,45.,4.,如图，已知,AB,为平面,的一条斜线,B,为斜足，,AO,，,O,为垂足,BC,为,内的一条直线,ABC=60,OBC=45,则斜线,AB,和平面,所成的角为,.,45,由斜线和平面所成的角的定义可知,ABO,为斜线,AB,和平面,所成的角,.,又因为,cos,ABO,=,所以,ABO=45.,一、异面直线所成的角,1.,异面直线所成的角,:,在空间中任取一点,O,过,O,点分别作两异面直线的,线所成的,叫做两条异面直线所成的角,.,2.,异面直线所成的角的范围是,当,=,时,这两条异面直线垂直,.,平行,锐角或直角,(0,二、直线与平面所成的角,1.,直线和平面所成的角：,(1),如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为,.,(2),如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为,.,(3),如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的,所成的,角，称之为直线和平面所成的角,.,2.,直线和平面所成的角的范围是,.,0,射影,锐,0,三、二面角的平面角,1.,二面角的平面角：从一条直线出发的两个,组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上,一点为端点，在两个面内分别作,两条射线,.,这两条射线所成的角叫做,.,平面角是,角的二面角叫做直二面角,.,2.,二面角的范围是,.,3.,作二面角的平面角的常用方法有,.,.,四、求空间角的基本方法,1.,构造法（传统法2.,空间向量法,.,11,半平面,任意,12,垂直于棱的,13,二面角的平面角,14,直,15,0,定义,法、线面垂直法、垂面法,例,1,题型一,异面直线所成的角的求法,如图，直四棱柱,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,的底面,ABCD,为平行四边形，其中,AB,=,，,BD,=,BC,=1,，,AA,1,=2,，,E,为,DC,的中点，,F,是棱,DD,1,上的动点,.,(1),求异面直线,AD,1,与,BE,所,成角的正切值；,(2),当,DF,为何值时,EF,与,BC,1,所成的角为,90?,依异面直线所成角的定义或推理寻找或平行移动作出异面直线所成角对应的平面角,.方法一）,（,1,）,连接,EC,1,.,在直四棱柱,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AD,1,BC,1,，,则,EBC,1,为异面直线,AD,1,与,BE,所成的角,.,又底面,ABCD,侧面,DCC,1,D,1,BD,=,BC,E,为,CD,的中点,BE,侧面,DCC,1,D,1,BE,EC,1,.,在,Rt,BEC,1,中，,BE,=,，,EC,1,=,，,所以,tan,EBC,1,=3.,BE,CD,(2),当,DF,=,时,EF,与,BC,1,所成的角为,90.,由（,1,）知，,BE,侧面,DCC,1,D,1,BE,EF,.,又,DE,=,EC,=,，,CC1,=,AA,1,=2.,当,DF,=,时，,因为,=,，,=,，,所以,DEF,CC,1,E,，,所以,DEF,+,CEC,1,=90,，,所以,FEC,1,=90,，即,FE,EC,1,.,又,EB,BC,1,=,E,，所以,EF,平面,BEC,1,，所以,EF,BC,1,即,EF,与,BC,1,所成的角等于,90.,（方法二）,由,BC,2,+,BD,2,=,DC,2,可知,BD,BC,，分别以,BD,、,BC,、,BB,1,分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系，如图，,则,B,(0,0,0),A,(1,-1,0),D,(1,0,0),D,1(1,0,2),C,(0,10),C,1,(0,1,2),E,(,，,0).,(1),因为,=(0,1,2),，,=(,，,0),所以,cos,，,=,，,所以,sin,，,=,所以,tan,，,=3,，,即,AD,1,与,BE,所成的角的正切值为,3.,(2),设,F,(1,0,q,),，则,=(,，,-,q,).,又,=(0,1,2),，,由,=0-1+,q,2=0,，得,q,=,，,即,DF,=,时，,EF,BC,1,.,异面直线所成角的求法有传统的构造法和空间向量法两种，解题可依据问题情境恰当选用,.,例,2,题型二,直线与平面所成角的求法,如图，在矩形,ABCD,中，,AB,=4,，,AD,=2,，,E,为,CD,的中点，将,ADE,沿,AE,折起，使平面,ADE,平面,ABCE,，得到几何体,D,-,ABCE,。,(1),求证：,BE,平面,ADE,，并求,AB,与平面,ADE,所成的角的大小；,(2),求,BD,与平面,CDE,所成角的正弦值,.,(1),在矩形,ABCD,中，连接,BE,，,因为,AB,=2,AD,，,E,为,CD,的中点，,所以,AD,=DE,，,EAB,=45,，,从而,EBA,=45,，故,AE,EB,.,过,D,作,DO,AE,于,O,.,因为平面,ADE,平面,ABCE,，,所以,DO,平面,ABCE,，所以,DO,BE,.,又,AE,DO,=,O,，所以,BE,平面,ADE,.,可知,AE,为,AB,在平面,ADE,上的射影，,从而,BAE,为,AB,与平面,ADE,所成的角,大小为,45.,(2),由,(1),可知，,DO,平面,ABCE,，,BE,AE,，过,O,作,OF,B,E,，以,O,为原点，,OA,、,OF,、,OD,分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,则,D,(0,0,),E,(-,0,0),B(-2,2 ,0),C(-2 ,2,0).,设平面,CDE,的法向量,n,=(,x,y,z,).,又,=(2 ,-,2),，,=(,-,0),，,n,=2,x,-,y,+,z,=0,z,=-,x,n,=,x,-,y,=0,y,=,x,.,取,x,=1,，得,n,=(1,1,-1).,又,=(-,2 ,-),，,cos,n,=.,则,BD,与平面,CDE,所成角的正弦值为,.,则,，得,本例的求解策略说明，若方便获知直线在平面内的射影，则可用传统的构造法求直线与平面所成的角；若找直线在平面内的射影较难，则可用向量法求直线和平面所成的角,.,例,3,题型三,二面角的求法,如图，在直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,=,AD,=2,，,DC,=23,AA,1,=3,AD,DC,AC,BD,垂足为,E,.,(1),求证：,BD,A,1,C,；,(2),求二面角,A,1,-,BD,-,A,的大小,.,方法一）,(1),证明：在直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，因为,AA,1,平面,ABCD,，则,AA,1,BD,.,因为,BD,AC,，所以,BD,平面,AA,1,C,，,故,BD,A,1,C,.,(2),连接,A,1,E,与,(1),同理可证,:,BD,A,1,E,BD,AE,所以,A,1,EA,为二面角,A,1,-,BD,-,A,的平面角,.,因为,AD,DC,，,所以,ADC,=90.,又,AD,=2,，,DC,=2 ,AA,1,=,且,AC,BD,可得,AC,=4.,又,AD,2,=,AE,AC,，所以,AE,=1.,又,AA,1,=,，所以,A,1,EA,=所以,A,1,EA,=60,，,即二面角,A,1,-,BD,-,A,的大小为,60.,(,方法二,),在直四棱柱,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AD,DC,，故建立空间直角坐标系如图,.,则,D,(0,0,0),A,(2,0,0),C,(0,2 ,0),A,1,(2,0,).,设,B,(,x,y,0).,因为,AB,=2,，,AC,BD,，,又,=(-2,2 ,0),=(,x,y,0),=(,x,-2,y,0),(,x,-2),2,+,y,2,=4,x,=3,-2,x,+2,y,=0,y,=3,x,=0,y,=0(,舍,),即,B,(3,0).,得,解得,或,(1),因为,=(3,0),，,=(-2,2 ,-),所以,=3(-2)+2 +0(-3)=0,所以,，所以,DB,A,1,C,.,(2),平面,ABD,的法向量为,=(0,0,),又,=(2,0,),，,=(,1,0),，,设平面,A,1,BD,的法向量,n,=(,x,y,z,),，,n,=2,x,+,z,=0,n,=,x,+,y,=0,，,则,取,x,=,，得,n,=(,-3,-2),cos,n,，,=-,故,n,，,=120,，,从而二面角,A,1,-,BD,-,A,的大小为,60.,如图，在棱长为,1,的正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,是棱,BC,的中点，点,F,是棱,CD,上的动点,.,(1),试确定点,F,的位置，,使得,D,1,E,平面,AB,1,F,;,(2),当,D,1,E,平面,AB,1,F,时，,求二面角,C,1,-,EF,-,C,的正切值的大小,.,欲使,D,1,E,平面,AB,1,F,，只需,D,1,E,垂直于平面,AB,1,F,内的两条相交直线,AF,和,AB,1,.,而异面直线垂直的问题可利用线面垂直的定义来证明；,(2),的解决关键是由二面角的定义，只需作出棱,EF,的垂面，计算平面角的大小即可,.,(1),如图，连接,A,1,B,、,DE,.,因为,A,1,B,AB,1,A,1,D,1,AB,1,所以,AB,1,平面,A,1,BED,1,所以,AB,1,ED,1,.,又因为,E,为线段,BC,的中点，,D,1,D,AF,所以,F,为线段,DC,的中点时，有,DE,AF,则,AF,平面,D,1,DE,所以,D,1,E,AF,，故,D,1,E,平面,AB,1,F,.,(2),连接,C,1,E,、,C,1,F,、,AC,、,EF,AC,与,EF,交于点,H,连接,C,1,H,.,由（,1,）知，,AC,EF,.,又,C,1,C,EF,所以,EF,平面,C,1,HC,所以,C,1,HC,就是二面角,C,1,-,EF,-,C,的平面角,.,易知在,Rt,C,1,HC,中，,C,1,C,=1,CH,=,所以,tan,C1,HC,=2 .,1.,空间角包括：两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角,.,求空间角首先要把它转化为平面角，然后再用代数的方法、三角的方法求解；当上述目标实现较困难时，可考虑用向量方法求解,.,2.,构造法求空间角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算,.,作（找）出所求的角是计算的基础,.,异面直线所成的角一般通过作平行线来作出，而直线与平面所成的角最关键是找一条与平面垂直的垂线，二面角的平面角多采用定义法或线面垂直法等方法来寻找,.,最后，一般通过解三角形求出角的大小,.,学例,1,(2009,福建卷,),如图，四边形,ABCD,是边长为,1,的正方形，,MD,平面,ABCD,，,NB,平面,ABCD,，且,MD,=,NB,=1,，,E,为,BC,的中点,.,(1),求异面直线,NE,与,AM,所成角的余弦值,;,(2),在线段,AN,上是否存在点,S,，使得,ES,平面,AMN,？,若存在，求线段,AS,的长；,若不存在，请说明理由,.,(1),如图，以,D,为坐标原点，建立空间直角坐标系,D,-,xyz,.,依题意,易得,D,(0,0,0),A,(1,0,0),M,(0,0,1),C,(0,1,0),B,(1,1,0),N,(1,1,1),E,(12,1,0).,所以,=(-,0,-1),=(-1,0,1).,因为,cos,=-,所以异面直线,NE,与,AM所成角的余弦值为,.,(2),假设在线段,AN,上存在点,S,使得,ES,平面,AMN,.,因为,=(0,1,1),故可设,=,=(0,).,又,=(,-1,0),所以,=+=(,-1,).,=0 -+=0,=0 (-1)+=0.,故,=,此时,=(0,),|=.,经检验，当,AS,=,时，,ES,平面,AMN,.,故线段,AN,上存在点,S,使得,ES,平面,AMN,此时,AS,=.,由,ES,平面,AMN,得,即,学例,2,(2008,山东卷,),如图，已知四棱锥,P,-,ABCD,中，底面,ABCD,为菱形，,PA,平面,ABCD,，,ABC,=60,E,、,F,分别是,BC,、,PC的中点,.,（,1,）,证明：,AE,PD,；,（,2,）,若,H,为,PD,上的动点，,EH,与平面,PAD,所成最大角的正切值为 ，求二面角,E,-,AF,-,C,的余弦值,.,（,1,）,证明：由四边形,ABCD,为菱形，,ABC,=60,，可得,ABC,为正三角形,.,因为,E,为,BC,的中点，所以,AE,BC,，,又,BC,AD,，因此,AE,AD,.,因为,PA,平面,ABCD,，,AE,平面,ABCD,，,所以,PA,AE,.,而,PA,平面,PAD,AD,平面,PAD,且,PA,AD,=,A,，,所以,AE,平面,PAD,.,又,PD,平面,PAD,，所以,AE,PD,.,2),设,AB,=2,，,H,为,PD,上任意一点，连接,AH,、,EH,.,由,(1),知，,AE,平面,PAD,，则,EHA,为,EH,与平面,PAD,所成的角,.,在,Rt,EAH,中，,AE,=,，,所以当,AH,最短时，,EHA,最大，,即当,AH,PD,时，,EHA,最大,.,此时,tan,EHA,=,因此,AH,=.,又,AD,=2,，所以,ADH,=45,，,所以,PA,=2.,(,方法一,),因为,PA,平面,ABCD,PA,平面,PAC,，所以平面,PAC,平面,ABCD,.,过,E,作,EO,AC,于,O,，则,EO,平面,PAC,.,过,O,作,OS,AF,于,S,，连接,ES,，则,ESO,为二面角,E,-,AF,-,C,的平面角，,在,Rt,AOE,中，,EO,=,AE,sin30=,，,AO,=,AE,cos30=.,在,Rt,ASO,中，,SO,=,AO,sin45=.,因为,SE,=,所以在,Rt,ESO,中,cos,ESO,=.,即所求二面角的余弦值为,.,（方法二）,由（,1,）知,AE,、,AD,、,AP,两两垂直,.,以,A,为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又,E,、,F,分别为,BC,、,PC,的中点，,所以有,A,(0,，,0,，,0),B,(,，,-1,，,0),，,C,(,，,1,，,0),D,(0,，,2,，,0),P,(0,，,0,，,2),E,(,，,0,，,0),F,(,12,1),所以,=(,0,0),=(,1).,设平面,AEF,的一法向量为,m,=(,x,1,y,1,z,1,),m,=0,x,1,=0,m,=0,x,1,+,y,1,+,z,1,=0.,取,z,1,=-1,，则,m,=(0,2,-1).,因为,BD,AC,，,BD,PA,，,PA,AC,=,A,所以,BD,平面,AFC,，,故,为平面,AFC,的一法向量,.,又,=(-,3,0,）,所以,cos,m,=.,因为二面角,E,-,AF,-,C,为锐角，所以所求二面角的余弦值为,.,则,因此,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,