1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,在其,定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理,1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和,差,积,(,利用极限的四则运算法则证明,),商,(,分母不为,0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数,.,例如,定理,2,严格单调,的连续函数必有严格单调的连续反函数。,例如,反三角函数在其定义域内皆连续,.,在,上,连续,其,反函数,在,上也连续单调递增,.,又,如,单调 递增,定
2、理,3,意义,1.,极限符号可以与函数符号互换,;,例1,解,求,解,:,原式,例,2.,求,解,:,原式,说明,:,若,则有,定理,4,例如,二、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,的,连续区间为,(,端点为单侧连续,),的,连续区间为,的,定义域为,因此它无连续点,而,例,3.,设,解,:,讨论复合函数,的连续性,.,故此时连续,;,而,故,x,=1,为第一类间断点,.,在点,x,=1,不连续,三、,如何找间断点？,（,1,）初等函数：求定
3、义域,各子区间的边界点,（,2,）分段函数：讨论分段点,(,1,),(x,),在,x,0,是否处有定义？,逐步研究：,注意：,1,、初等函数在其定义区间内连续；,2,、分段函数在其定义域内不一定连续。,是可去间断点,是无穷远间断点,是可去间断点,一,、最值定理,二、介值定理,闭区间上连续函数的性质,注意,:,若函数在,开区间,上连续,结论不一定成立,.,一,、最值定理,定理,1.,在,闭区间,上连续的函数,即,:,设,则,使,值和最小值,.,或在闭区间内,有间断,在该区间上一定有最大,点,例如,无,最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,二、介值定理,由,定理,1,可知有,证,:,设,上,有
4、界,.,定理,2.,(,零点定理,),至少有一点,且,使,推论,在闭区间上连续的函数在该区间上有界,.,定理,3.,(,介值定理,),设,且,则对,A,与,B,之间的任一数,C,一点,证,:,作辅助函数,则,且,故由,零点定理知,至少有一点,使,即,推论,:,在闭区间上的连续函数,使,至少有,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值,.,例,1.,证明方程,一个根,.,证,:,显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明,:,内必有方程的根,;,取,的中点,内必有方程的根,;,可用此法求近似根,.,二分法,在区间,内至少有,则,则,内容小结,例2,证,由零点定理,内容小结,基本初等函数,在定义区间内,连续,连续函数的,四则运算,结果仍连续,连续函数的,反函数,连续,连续函数的,复合函数,连续,初等函数在定义区间内连续,说明,:,分段函数在界点处是否连续需讨论其,左、右连续性,.,内容小结,在,上达到最大值与最小值,;,上可取最大与最小值之间的任何,值,;,4.,当,时,使,必存在,上有界,;,在,在,证明至少存在,使,提示,:,令,则,易证,1.,设,一点,习题课,思考与练习,2,、,至少有一个不超过,4,的,证,：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证,.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根,.,
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