【线性系统课件】数学基础：多项式矩阵理论.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 数学基础：多项式矩阵理论,一些基本概念（6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6),多项式：,多项式矩阵：元为多项式的矩阵,注1：多项式的集合不构成域，是环；因其对乘逆运算不封闭；,注2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分工域，记为,R(s)。,总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和有理分式矩阵。,奇异和非奇异：对方多项式而言，,Q(s),线性相关和线性无关：,对象是有理分式域中的一组多项式向量,注意：,秩：与通常矩阵秩的定义相同,单模矩阵：一类特殊的多项式矩阵,方阵，非奇异,方多项式矩阵,Q(s)，,若,detQ,(s),是独立于,s,的一个非零常数，则称其为单模矩阵。,性质：,（1）,Q(s),为单模阵,Q(s),的逆也是多项式矩阵；,（2）,Q(s),为单模阵,Q(s),非奇异；,（3）单模矩阵的逆阵也是单模矩阵；,（4）单模矩阵的乘积也是单模矩阵。,初等变换：,（1）行（列）交换；,（2）用一非零实或复数乘以某行或列；,（3）用某行（列）乘以一个多项式加到另一行（列）上。,注：,（1）初等行（列）变换,初变换的矩阵,Q(s),左乘（右乘）初等矩阵；,（2）初等矩阵都是单模矩阵；,（3）对,Q(s),进行一系列初等变换，相当于,Q(s),左乘和（或）右乘单模矩阵；,（4）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。,6.7埃尔米特形,多项式矩阵的规范形之一。,Hermite,形的特征，见书；,化为,Hermite,的算法：,只通过一系列的行初等运算即可化为行,Hermite,形，即,性质：,对多项式矩阵做行（列）初等运算，不改变其,Hermite,形,6.8公因子和最大公因子,一.公因子的定义,相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式矩阵).假定,N(s),和,D(s),列数相同,若,则,R(s),称为,N(s),和,D(s),的右公因子.,相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子(是多项式矩阵).假定,B(s),和,As),行,数相同,若,则,Q(s),称为,B(s),和,A(s),的左公因子.,二.,gcd,(,最大公因子)的定义,gcrd,:,(1)R(s),是,N(s),和,D(s),的一个右公因子;,(2),R(s),是,N(s),和,D(s),的任一个其它右公因子,R1(s),的左倍式,即,R(s)=W(s)R1(s),则称,R(s),是,N(s),和,D(s),的,gcrd,.,gcld,:,(1)Q(s),是,B(s),和,A(s),的一个左公因子;,(2),Q(s),是,B(s),和,A(s),的任一个其它左公因子,R1(s),的右倍式,即,Q(s)=Q1(s)V(s),则称,Q(s),是B(s),和,A(s),的,gcld,.,三.如何求,gcd,以,gcrd,为例.,Why:,三.,Gcd,的性质,以,gcrd,为例,(1),gcrd,不唯一.,若,R(s),是,D(s),和,N(s),的,gcrd,W(s),是单模矩阵,则,W(s)R(s),也是,D(s),和,N(s),的,gcrd,.,Why:,(,2),D(s),N(s),的所有,gcrd,在非奇异性和单模性上相同,即,若,R1(s),是,D(s),N(s),的一个,gcrd,R2(s),也,是,D(s),N(s),的一个,gcrd,则,R1(s),非奇异,R2(s),非奇异,R1(s),单模,R2(s),单,模,3),(4),gcrd,R(s),可表示为,R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s),(5),gcrd,的多项式元的次数可以高于,D(s),N(s),元多项式的次数.,6.9 互质性,一.右互质和左互质,D(s),和,N(s),列数相同,可以定义,gcrd,.,若,gcrd,为单模阵,则称,D(s),和,N(s),右互质.,A(s),和,B(s),行,数相同,可以定义,gcld,.,若,gcld,为单模阵,则称,A(s),和,B(s),左互质.,二.右互质判据,判据1:贝佐特等式判据,D(s),N(s),右互质,存在,X(s),Y(s),多项式矩阵,使,X(s)D(s)+Y(s)N(s)I,证明:,必要性,:已知,D(s),N(s),右互质，证等式成立,充分性,：等式成立，证,D(s),N(s),右互质,令,R(s),为,D(s),N(s),的一个,gcrd,.,只要证,R(s),单模。,判据2：秩判据,判据3：非右互质判据,三.,Gcrd,构造关系式的一个性质,6.10 列次数和行次数,一.次数,多项式的次数：,多项式向量的次数：所有元多项式中，,s,的最高幂次。,多项式矩阵中，有列次数（列向量的次数）和行次数（行向量的次数）之分。,如,二.多项式矩阵的列（行）次表示式,1.列次表示式,上例中的,M(s),可表示为,一般地，,2.行次表示式,6.11,既约性,一.既约性的定义,此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。,M(s),列既约：,M(s),行既约：,注：,列既约和行既约之间无必然的联系；,M(s),为对角阵时，列既约等价于行既约。,二.既约性判据,如果已求出,detM,(s),则可利用定义判断；,利用列（行）次表示式,三.非既约矩阵的既约化,通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。,实质：降低行或列的次数,含义：在初等运算下，,degdetM,(s),不变。,实现既约化以后，次数不能被降低了。,6.12,S,mith,形,一.史密斯形的特征,特征：,二.,Smith,形的求法,见书。,三.对,Smith,形的一些讨论,（1）对给定的多项式矩阵,Q(s)，,其,Smith,形唯一。,（变换,U(s),V(s),不唯一）,(,2)若,Q1(s),和,Q2(s),具相同的,Smith,形，则称其在初等行和列运算下等价，记为,具有反身性，自反性，传递性等性质。,(3),存在单模矩阵,P(s),T(s)，,使,(4)若,A,B,同维，则,四.,S,mith,形的应用之一判断互质性,证明：,右互质的情况,